Ideale Gase und Gasgesetze
Wie das Modell des idealen Gases aufgebaut ist und wie man mit pV = nRT Volumen und Gasdichte berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein ideales Gas ist ein Modell aus punktförmigen Teilchen ohne Eigenvolumen und ohne Anziehungskräfte. Reale Gase nähern sich ihm bei niedrigem Druck und hoher Temperatur an.
- Nach der kinetischen Gastheorie bewegen sich die Teilchen ständig und geradlinig, stoßen elastisch und haben eine temperaturabhängige, nie verschwindende Geschwindigkeit.
- Das ideale Gasgesetz lautet \(pV = nRT\). Die Gaskonstante \(R = 8{,}314\) J/(mol·K) ist nicht dimensionslos, die Temperatur steht in Kelvin.
- Bei konstantem Druck ist \(V\) proportional zu \(T\). Am absoluten Nullpunkt wird das Volumen des idealen Gases null.
- Normalbedingungen sind 0 °C und 101 325 Pa mit 22,4 L/mol. Standardbedingungen sind 25 °C und 1 bar.
- Die Gasdichte folgt \(\rho = \frac{pM}{RT}\). Unter gleichen Bedingungen gilt \(\ce{H2}\) < Luft < Ar < \(\ce{CO2}\).
Worum es geht
Gase lassen sich mit einer einzigen Gleichung beschreiben, solange man sie als ideal betrachtet. Diese Gleichung verbindet Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge. In der Pharmazie braucht man sie etwa für Druckgasbehälter, Inhalationsgase oder die Dichte von Kohlenstoffdioxid.
Zustandsgrößen von Gasen
Den Zustand eines Gases legen vier Zustandsgrößen fest: Druck \(p\), Volumen \(V\), Temperatur \(T\) und Stoffmenge \(n\) (siehe Stoffmenge und molare Masse). Kennt man drei davon, folgt die vierte. Mehr zu Zustandsfunktionen steht unter Zustandsgrößen.
In Gasgleichungen steht immer die absolute Temperatur in Kelvin: \(T = \vartheta + 273{,}15\). Nur sie beginnt am echten Nullpunkt.
Ein ideales Gas ist ein Modell. Ein reales Gas weicht davon ab, weil seine Teilchen Platz brauchen und sich anziehen. Bei niedrigem Druck und hoher Temperatur verhalten sich reale Gase nahezu ideal.
Modell des idealen Gases
Die kinetische Gastheorie erklärt Gaseigenschaften aus der Bewegung der Teilchen. Für das ideale Gas trifft sie vereinfachende Annahmen:
- Die Teilchen sind punktförmig und haben kein Eigenvolumen.
- Zwischen ihnen wirken keine Anziehungskräfte, also keine intermolekularen Wechselwirkungen.
- Ihre Stöße untereinander und mit der Wand sind elastisch. Es geht keine Bewegungsenergie verloren.
- Sie bewegen sich ständig und zwischen zwei Stößen geradlinig.
Man kann sich das wie Billardkugeln ohne Reibung vorstellen, nur unendlich klein. Der Druck entsteht durch die Stöße gegen die Wand.
Die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen ist proportional zur absoluten Temperatur. Die Teilchengeschwindigkeit ist deshalb temperaturabhängig und oberhalb von 0 K nie null. Wärmer heißt schneller.
Reale Gase weichen vor allem bei hohem Druck und tiefer Temperatur ab. Bei hohem Druck fällt das Eigenvolumen ins Gewicht. Bei tiefer Temperatur wirken die zwischenmolekularen Kräfte, bis das Gas kondensiert.
Ideales Gasgesetz
Alle Annahmen des Modells münden in die Zustandsgleichung idealer Gase, das ideale Gasgesetz:
\[pV = nRT\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p\) | Druck | Pa |
| \(V\) | Volumen | m³ |
| \(n\) | Stoffmenge | mol |
| \(R\) | universelle Gaskonstante, 8,314 | J/(mol·K) |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Die Gaskonstante \(R\) hat eine Einheit und ist nicht dimensionslos. Wegen \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{Pa \cdot m^3}\) passen die Einheiten auf beiden Seiten zusammen.
Bei konstantem Druck gilt: doppelte absolute Temperatur, doppeltes Volumen. Bei konstanter Temperatur gilt: doppelter Druck, halbes Volumen. Verlängert man die Gerade nach unten, wird das Volumen am absoluten Nullpunkt (\(0\,\mathrm{K} = -273{,}15\,°\mathrm{C}\)) null. Reale Gase verflüssigen sich vorher.
Zwei Bezugszustände muss man auseinanderhalten:
0 °C (273,15 K) und 101 325 Pa. Molvolumen idealer Gase: 22,4 L/mol.
25 °C (298,15 K) und 1 bar. Molvolumen idealer Gase: etwa 24,8 L/mol.
Der Wert 22,4 L/mol gilt also nur bei 0 °C. Näheres zum molaren Volumen steht dort.
Rechenbeispiel: Volumen eines Gases
Welches Volumen nehmen 0,50 mol Stickstoff bei 27 °C und 100 kPa ein?
- Umstellen: \(V = \frac{nRT}{p}\).
- Einheiten anpassen: \(T = 27 + 273 = 300\,\mathrm{K}\), \(p = 100\,000\,\mathrm{Pa}\).
- Einsetzen: \(V = \frac{0{,}50 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{100\,000}\,\mathrm{m^3} = 0{,}0125\,\mathrm{m^3}\).
- Umrechnen: \(0{,}0125\,\mathrm{m^3} = 12{,}5\,\mathrm{L}\).
Setze die Temperatur immer in Kelvin ein, nie in °C. Mit \(R = 8{,}314\) J/(mol·K) braucht der Druck Pascal und das Volumen ergibt sich in m³.
Gasdichte
Die Dichte ist Masse durch Volumen. Mit \(m = n \cdot M\) folgt aus dem Gasgesetz:
\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot M}{R \cdot T}\]
Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur enthalten gleiche Volumina gleich viele Teilchen. Die Dichte hängt dann nur noch von der molaren Masse \(M\) ab. Schwerere Teilchen, dichteres Gas.
So ordnet man Gase ohne Rechnen. Die Dichten in der Tabelle sind für Normalbedingungen ideal berechnet:
| Gas | \(M\) in g/mol | \(\rho\) in g/L |
|---|---|---|
| \(\ce{H2}\) | 2 | 0,09 |
| Luft | 29 (Mittelwert) | 1,29 |
| \(\ce{Ar}\) | 40 | 1,78 |
| \(\ce{CO2}\) | 44 | 1,96 |
Die Reihenfolge lautet also Wasserstoff < Luft < Argon < Kohlenstoffdioxid. Deshalb steigt ein Wasserstoffballon auf, während sich \(\ce{CO2}\) in Kellern und Gärräumen am Boden sammelt.
Quiz
Aussage 1
Die universelle Gaskonstante \(R\) trägt die Einheit J/(mol·K).
\(R = 8{,}314\) J/(mol·K). Sie ist also keine dimensionslose Zahl.
Aussage 2
Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur ist Argon dichter als Kohlenstoffdioxid.
Die Dichte folgt der molaren Masse. \(\ce{CO2}\) hat 44 g/mol, Argon nur 40 g/mol, daher ist \(\ce{CO2}\) dichter.
Aussage 3
Im Modell des idealen Gases ziehen sich die Teilchen nicht an, besitzen aber ein eigenes Volumen.
Die Teilchen eines idealen Gases sind punktförmig und haben kein Eigenvolumen. Anziehungskräfte fehlen ebenfalls.
Aussage 4
Verdoppelt man bei konstantem Druck die absolute Temperatur eines idealen Gases, verdoppelt sich sein Volumen.
Aus \(pV = nRT\) folgt bei konstantem \(p\) und \(n\) die Proportionalität \(V \sim T\).
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