Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Radiokohlenstoff-Datierung
Wie radioaktive Kerne nach einem Gesetz 1. Ordnung zerfallen, wie man mit der Halbwertszeit Restanteile berechnet und wie die Radiocarbonmethode daraus das Alter organischer Funde bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Zerfallsgesetz \(N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\) beschreibt den radioaktiven Zerfall als statistischen Vorgang 1. Ordnung; die Aktivität \(A = \lambda N\) ist proportional zur Zahl der unzerfallenen Kerne.
- Die Zerfallsgeschwindigkeit eines Nuklids ist unbeeinflussbar durch Temperatur, Druck, Energiezufuhr, Ionisations- oder Anregungszustand und Bindungsform.
- Die Halbwertszeit \(t_{1/2} = \ln 2/\lambda\) ist unabhängig von der Anfangsaktivität; nach zwei Halbwertszeiten sind noch 25 % übrig.
- Den Restanteil berechnet man mit \(N/N_0 = (1/2)^{t/t_{1/2}}\), wobei \(t\) und \(t_{1/2}\) in derselben Einheit stehen müssen.
- \(\ce{^{14}C}\) entsteht in der oberen Atmosphäre aus \(\ce{^{14}N}\) durch Neutroneneinfang unter Protonenabgabe und hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren.
- Im lebenden Organismus ist \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) konstant; nach dem Tod sinkt es durch Beta-Minus-Zerfall zu \(\ce{^{14}N}\), woraus sich das Alter berechnen lässt.
Worum es geht
Radionuklide zerfallen nach einem einfachen Exponentialgesetz, das allein ihre Halbwertszeit festlegt. Damit berechnet man, wie viel Aktivität eines Präparats wie Technetium-99m nach einigen Stunden noch übrig ist. Nach demselben Gesetz datiert die Radiocarbonmethode Holz, Knochen und andere organische Funde.
Zerfallsgesetz und Aktivität
Ein Radionuklid zerfällt nicht auf einen Schlag. Jeder einzelne Kern hat in jedem Zeitabschnitt dieselbe Wahrscheinlichkeit zu zerfallen. Wann genau ein bestimmter Kern zerfällt, lässt sich nicht vorhersagen. Der Zerfall folgt rein statistischen Gesetzen, und erst bei sehr vielen Kernen ergibt sich ein gesetzmäßiger Verlauf.
Die Aktivität \(A\) ist die Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist das Becquerel: 1 Bq entspricht einem Zerfall pro Sekunde. Weil jeder Kern gleich wahrscheinlich zerfällt, gilt: doppelt so viele unzerfallene Kerne, doppelt so viele Zerfälle pro Sekunde. Die Aktivität ist also proportional zur Zahl der noch unzerfallenen Kerne \(N\).
\[A = -\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N \qquad N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A\) | Aktivität, Zerfälle pro Zeit | Bq = 1/s |
| \(N\) | Zahl der noch unzerfallenen Kerne zur Zeit \(t\) | 1 |
| \(N_0\) | Zahl der Kerne zu Beginn | 1 |
| \(\lambda\) | Zerfallskonstante, nuklidspezifisch | 1/s |
| \(t\) | verstrichene Zeit | s |
Das ist genau das Geschwindigkeitsgesetz einer Reaktion 1. Ordnung. Mit jedem Zerfall sinkt \(N\) und damit auch die Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit. Anders als bei einer Reaktion 0. Ordnung zerfällt also nicht in jeder Minute dieselbe Zahl von Atomen. Die Kurve fällt anfangs steil und flacht dann ab. Trägt man \(\ln N\) gegen \(t\) auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung \(-\lambda\).
Da \(A = \lambda N\) gilt, folgt die Aktivität demselben Gesetz: \(A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\). Die Aktivität zu einem bestimmten Zeitpunkt hängt deshalb immer von der Anfangsaktivität \(A_0\) ab. Ein chemisches Gleichgewicht ist die natürliche Radioaktivität nicht. Der Zerfall läuft nur in eine Richtung, eine Rückreaktion vom Tochternuklid zum Mutternuklid gibt es nicht.
Unbeeinflussbarkeit
Die Zerfallskonstante ist eine Eigenschaft des Atomkerns. Chemische und physikalische Bedingungen wirken dagegen auf die Elektronenhülle oder die Bewegung ganzer Atome. Ihre Energien liegen im Bereich von Elektronenvolt, Kernprozesse im Bereich von Megaelektronenvolt. Deshalb bleibt \(\lambda\) für ein Nuklid gleich, unter welchen Bedingungen es auch vorliegt:
- bei jeder Temperatur und jedem Druck
- bei äußerer Energiezufuhr, etwa durch Erhitzen oder Bestrahlen
- in jedem Anregungs- und Ionisationszustand der Elektronenhülle
- in jeder chemischen Bindungsform und Modifikation, ob als Element, Salz oder organische Verbindung
Auch die Art der ausgesandten Strahlung und die beim Zerfall frei werdende Energie legen die Zerfallsgeschwindigkeit nicht fest. Es gibt Alpha- und Beta-Strahler mit Halbwertszeiten von Sekundenbruchteilen bis zu Milliarden Jahren. Für eine gegebene Probe bestimmen allein \(\lambda\) und die Zahl der vorhandenen Kerne, wie schnell sie zerfällt. Beschleunigen oder bremsen lässt sich der Zerfall nicht.
Halbwertszeit
Die Zerfallskonstante ist wenig anschaulich. Deshalb kennzeichnet man Radionuklide meist über ihre Halbwertszeit.
Die Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der vorhandenen radioaktiven Kerne zerfallen ist. Nach dieser Zeit ist auch die Aktivität auf die Hälfte der Anfangsaktivität gesunken.
Setzt man \(N = N_0/2\) ins Zerfallsgesetz ein, folgt:
\[t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\]
Eine große Zerfallskonstante bedeutet also eine kurze Halbwertszeit. In der Gleichung kommt \(N_0\) nicht vor. Die Halbwertszeit ist daher unabhängig von der Anfangsaktivität: Ein Gramm und ein Kilogramm desselben Nuklids brauchen gleich lang, um auf die Hälfte zu sinken. Das ist das Kennzeichen einer Kinetik 1. Ordnung.
Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der jeweils noch vorhandene Rest. Man kann sich das wie einen Kuchen vorstellen, von dem man jeden Tag die Hälfte des Rests isst: Er wird immer kleiner, ist aber nie ganz weg. Für den Restanteil nach der Zeit \(t\) gilt:
\[\frac{N}{N_0} = \frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\]
| Halbwertszeiten | Restanteil | zerfallen |
|---|---|---|
| 1 | 50 % | 50 % |
| 2 | 25 % | 75 % |
| 3 | 12,5 % | 87,5 % |
| 4 | 6,25 % | 93,75 % |
Der Restanteil nach ganzzahligen Halbwertszeiten wird im Examen gerne gefragt: Nach zwei Halbwertszeiten sind noch 25 % übrig, nicht null. Bei krummen Zeiten setzt man den Bruch \(t/t_{1/2}\) direkt in den Exponenten ein.
- Aufgabe: Ein Iod-131-Präparat (\(t_{1/2}\) = 8 d) hat 400 MBq. Welche Aktivität bleibt nach 20 d?
- Exponent bilden: \(t/t_{1/2} = 20\ \mathrm{d} / 8\ \mathrm{d} = 2{,}5\)
- Restanteil: \((1/2)^{2{,}5} = 0{,}177\), also 17,7 %
- Aktivität: \(400\ \mathrm{MBq} \cdot 0{,}177 \approx 71\ \mathrm{MBq}\)
- Plausibel? Der Wert liegt zwischen 25 % nach zwei und 12,5 % nach drei Halbwertszeiten.
Der Exponent \(t/t_{1/2}\) ist nur dimensionslos, wenn beide Zeiten in derselben Einheit stehen. Rechne Stunden, Tage und Jahre vor dem Einsetzen um.
Radiokohlenstoff-Datierung
Die Radiokohlenstoff-Datierung, auch Radiocarbonmethode, wendet das Zerfallsgesetz auf Kohlenstoff-14 an. \(\ce{^{14}C}\) kommt natürlich vor und muss nicht technisch hergestellt werden. Es entsteht ständig neu in der oberen Atmosphäre. Dort setzt die kosmische Strahlung Neutronen frei. Trifft ein Neutron auf einen Stickstoffkern, kommt es zum Neutroneneinfang unter Abgabe eines Protons:
\[\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}H}\]
Das neue \(\ce{^{14}C}\) wird zu \(\ce{^{14}CO2}\) oxidiert und mischt sich mit dem übrigen Kohlendioxid. Pflanzen bauen es per Photosynthese ein, Tiere und Menschen nehmen es mit der Nahrung auf. Solange ein Organismus lebt, tauscht er Kohlenstoff ständig mit der Umwelt aus. Sein \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\)-Verhältnis bleibt deshalb konstant.
Mit dem Tod endet der Nachschub. Das vorhandene \(\ce{^{14}C}\) zerfällt durch Beta-Minus-Zerfall wieder zu \(\ce{^{14}N}\):
\[\ce{^{14}_{6}C -> ^{14}_{7}N + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_{e}}\]
Das \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\)-Verhältnis sinkt nach einer Kinetik 1. Ordnung mit der Halbwertszeit 5730 Jahre. Das stabile \(\ce{^{12}C}\) dient als Bezugsgröße. Aus dem verbliebenen Anteil folgt das ungefähre Alter von Holz, Knochen oder Textilien.
Besonders prüfungsrelevant: \(\ce{^{14}C}\) entsteht natürlich in der oberen Atmosphäre aus \(\ce{^{14}N}\) durch Neutroneneinfang unter Protonenabgabe und zerfällt mit \(t_{1/2}\) = 5730 a wieder zu \(\ce{^{14}N}\). Achte darauf, dass das Isotopenverhältnis nur im lebenden Organismus konstant bleibt und erst nach dem Tod abnimmt.
Bei glatten Anteilen genügt Kopfrechnen: 12,5 % Rest sind drei Halbwertszeiten, also 17 190 Jahre. Sonst löst man das Zerfallsgesetz nach \(t\) auf. Dabei ist \(N/N_0\) der Anteil im Vergleich zu lebendem Material:
\[t = t_{1/2} \cdot \frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2}\]
- Aufgabe: Ein Holzfund enthält noch 30 % des \(\ce{^{14}C}\) von frischem Holz. Wie alt ist er?
- Verhältnis bilden: \(N_0/N = 1/0{,}30 = 3{,}33\)
- Logarithmieren: \(\ln 3{,}33 = 1{,}204\), geteilt durch \(\ln 2 = 0{,}693\) ergibt 1,737 Halbwertszeiten
- Alter: \(1{,}737 \cdot 5730\ \mathrm{a} \approx 9950\ \mathrm{a}\)
- Plausibel? 30 % liegen zwischen 50 % (5730 a) und 25 % (11 460 a).
Ein häufiger Fehler ist der Kehrwert im Logarithmus. Mit \(\ln(N/N_0)\) wird das Alter negativ. Ebenso leicht verwechselt man Restanteil und zerfallenen Anteil: 70 % zerfallen heißt 30 % Rest.
Quiz
Aussage 1
Die Aktivität einer radioaktiven Probe ist proportional zur Zahl der Kerne, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht zerfallen sind.
Es gilt \(A = \lambda \cdot N\). Weil jeder Kern gleich wahrscheinlich zerfällt, verdoppeln doppelt so viele Kerne die Aktivität.
Aussage 2
Beim radioaktiven Zerfall zerfällt pro Zeiteinheit stets dieselbe Zahl von Atomen, er folgt also einer Kinetik 0. Ordnung.
Der Zerfall folgt einer Kinetik 1. Ordnung. Mit sinkendem \(N\) nimmt auch die Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit ab.
Aussage 3
Verdoppelt man die Anfangsaktivität einer Probe, verdoppelt sich auch ihre Halbwertszeit.
Die Halbwertszeit \(t_{1/2} = \ln 2/\lambda\) enthält \(N_0\) nicht. Sie ist unabhängig von der Anfangsaktivität.
Aussage 4
Erhitzt man eine radioaktive Verbindung auf 1000 °C, zerfällt das enthaltene Radionuklid schneller.
Die Zerfallskonstante ist eine Kerneigenschaft und hängt nicht von der Temperatur oder äußerer Energiezufuhr ab.
Aussage 5
Nach dem Absterben eines Organismus nimmt sein \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\)-Verhältnis ab, weil \(\ce{^{14}C}\) zu \(\ce{^{14}N}\) zerfällt und kein Nachschub mehr kommt.
Nur der lebende Organismus tauscht Kohlenstoff mit der Umwelt aus und hält das Verhältnis konstant. Nach dem Tod sinkt es mit \(t_{1/2}\) = 5730 a.
Aussage 6
\(\ce{^{14}C}\) bildet sich in der oberen Atmosphäre, wenn \(\ce{^{14}N}\) ein Neutron einfängt und dabei ein Proton abgibt.
Die Kernreaktion lautet \(\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}H}\). Die Neutronen stammen aus der kosmischen Strahlung.
Aussage 7
Nach zwei Halbwertszeiten ist von einem Radionuklid noch ein Viertel der Ausgangsmenge vorhanden.
Nach der ersten Halbwertszeit bleiben 50 %, nach der zweiten die Hälfte davon, also 25 %.
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