Dichte, molares Volumen und Temperatur
Wie man Masse, Volumen, Dichte und Stoffmenge ineinander umrechnet, das molare Volumen von flüssigem Wasser und von Gasen abschätzt und Kelvin in Grad Celsius umrechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Dichte \(\rho = m/V\) und das molare Volumen \(V_m\) verknüpfen Masse, Volumen und Stoffmenge eines Stoffes.
- Aus \(\rho = m/V\) und \(n = m/M\) folgt \(M = \rho \cdot V / n\); die Gleichung \(m = n \cdot M \cdot \rho\) ist falsch, wie der Einheitencheck (g²/mL) zeigt.
- Wasser hat bei 25 °C eine Dichte von etwa 1 g/mL; über \(V_m = M/\rho\) nimmt 1 mol flüssiges Wasser rund 18 mL ein.
- Ein ideales Gas hat unter Normbedingungen (0 °C, 1013,25 hPa) ein molares Volumen von 22,4 L/mol, bei 25 °C und 1000 hPa rund 24,8 L/mol.
- 1 mol Wasserdampf bei 100 °C und Normaldruck nimmt etwa 30 L ein, also mehr als 20 L.
- Kelvin in Celsius: \(\vartheta/°C = T/K - 273{,}15\), etwa 77 K = −196,15 °C.
Worum es geht
Dichte und molares Volumen verbinden das, was man abmisst, mit dem, was man wiegt. Ob du in der Rezeptur ein Volumen in eine Einwaage umrechnest oder das Volumen eines entstehenden Gases abschätzt: Immer stecken dieselben wenigen Grundgleichungen dahinter. Dazu kommt die Temperatur, die bei Gasen stets in Kelvin in die Rechnung eingeht.
Dichte und Größengleichungen
Wie viel Masse steckt in einem bestimmten Volumen? Diese Frage beantwortet die Dichte. Sie verknüpft zwei Größen, die man ständig misst: die Einwaage auf der Waage und das abgemessene Volumen.
Die Dichte \(\rho\) ist der Quotient aus Masse und Volumen eines Stoffes: \(\rho = m/V\). Übliche Einheiten sind g/mL (gleich g/cm³) und kg/L.
Die zweite Grundgleichung kennst du aus der Einheit zu Stoffmenge und molarer Masse: \(n = m/M\). Beide Gleichungen enthalten die Masse. Man löst die Dichte nach \(m = \rho \cdot V\) auf und setzt das in \(M = m/n\) ein:
\[M = \frac{\rho \cdot V}{n}\]
So erhält man die molare Masse aus Dichte, Volumen und Stoffmenge.
Größengleichungen prüfen
Ob eine vorgeschlagene Gleichung stimmt, zeigt ein Einheitencheck. Man setzt für jede Größe ihre Einheit ein und kürzt. Bleibt die Einheit der gesuchten Größe übrig, ist die Gleichung dimensionsrichtig. Ein Beispiel ist die Behauptung \(m = n \cdot M \cdot \rho\).
- Einheiten einsetzen: mol · g/mol · g/mL.
- Kürzen: Das Mol fällt heraus, übrig bleibt g²/mL statt g.
- Urteilen: Die Gleichung ist falsch. Richtig ist \(m = n \cdot M\) oder \(m = \rho \cdot V\).
Ebenso prüft man \(M = \rho V / n\): g/mL · mL / mol ergibt g/mol. Die Gleichung passt.
Molvolumen von Wasser
Wasser hat bei 25 °C eine Dichte von etwa 1 g/mL (genau 0,997 g/mL). Damit entspricht ein Gramm Wasser ziemlich genau einem Milliliter. Das macht Wasser zum bequemsten Rechenbeispiel.
Das molare Volumen \(V_m\) ist das Volumen, das ein Mol eines Stoffes einnimmt. Für Flüssigkeiten und Feststoffe folgt es direkt aus molarer Masse und Dichte:
\[V_m = \frac{M}{\rho}\]
Für Wasser mit \(M = 18{,}02\) g/mol ergibt sich \(V_m = 18{,}02\ \text{g/mol} : 1\ \text{g/mL} \approx 18\) mL/mol. Ein Mol flüssiges Wasser füllt bei Normaldruck also weniger als 20 mL, etwa einen Esslöffel.
Dieselbe Rechnung funktioniert für jede Flüssigkeit. Ethanol hat \(M = 46\) g/mol und \(\rho = 0{,}79\) g/mL. Ein Mol Ethanol nimmt damit rund 58 mL ein. Bei Gasen versagt dieser Weg im Alltag, weil ihre Dichte stark von Druck und Temperatur abhängt. Dort rechnet man mit dem molaren Gasvolumen.
Molares Volumen idealer Gase
In einem idealen Gas sind die Teilchen weit voneinander entfernt. Ihr Eigenvolumen spielt keine Rolle. Deshalb nimmt ein Mol jedes idealen Gases bei gleichem Druck und gleicher Temperatur dasselbe Volumen ein, egal ob Wasserstoff oder Kohlendioxid. Die Herleitung liefert das ideale Gasgesetz.
Unter Normbedingungen beträgt dieses molare Normvolumen \(V_m = 22{,}4\) L/mol. Normbedingungen bedeuten 0 °C (273,15 K) und 1013,25 hPa (1 atm).
Gasmasse aus dem Volumen
Die Masse eines Gasvolumens folgt aus \(n = V/V_m\) und \(m = n \cdot M\):
\[m = \frac{M}{V_m} \cdot V\]
Der Quotient \(M/V_m\) ist nichts anderes als die Dichte des Gases. Beispiel: 3,36 L \(\ce{CO2}\) unter Normbedingungen enthalten \(3{,}36 : 22{,}4 = 0{,}15\) mol. Mit \(M = 44\) g/mol wiegen sie 6,6 g.
Norm- und Standardbedingungen
Der Wert 22,4 L/mol gehört zu 0 °C. Bei höherer Temperatur dehnt sich das Gas aus, das molare Volumen wächst.
0 °C und 1013,25 hPa. Molares Volumen 22,4 L/mol.
25 °C und 1000 hPa. Molares Volumen rund 24,8 L/mol.
Manche Lehrbücher sagen „Standardbedingungen“ und meinen damit Normbedingungen. Steht dabei der Wert 22,4 L/mol, sind 0 °C und Normaldruck gemeint.
Anwendung auf Wasserdampf
Bei Normaldruck siedet Wasser bei 100 °C. Ein Mol Wasserdampf nimmt dort etwa \(22{,}4\ \text{L} \cdot 373/273 \approx 30\) L ein, also mehr als 20 L. Verglichen mit 18 mL Flüssigkeit ist das rund das 1700-Fache. Man kann sich das wie einen Esslöffel Wasser vorstellen, der beim Verdampfen einen ganzen Eimer füllt.
Die Abbildung stellt dazu den Würfel mit 22,4 L für ein ideales Gas unter Normbedingungen.
Temperaturskalen
Die thermodynamische Temperatur \(T\) wird in Kelvin (K) gemessen. Ihr Nullpunkt ist der absolute Nullpunkt, an dem die Teilchenbewegung ein Minimum erreicht. Negative Kelvin-Werte gibt es deshalb nicht.
Die Celsius-Temperatur \(\vartheta\) hat dieselbe Schrittweite. Nur ihr Nullpunkt liegt beim Gefrierpunkt des Wassers. Beide Skalen sind daher um 273,15 gegeneinander verschoben:
\[\vartheta/°C = T/K - 273{,}15\]
Zwei Beispiele: Flüssiger Stickstoff siedet bei 77 K, das sind \(77 - 273{,}15 = -196{,}15\) °C. Körpertemperatur mit 310 K entspricht 36,85 °C. Umgekehrt addiert man 273,15.
Eine Temperaturdifferenz von 1 K ist gleich groß wie 1 °C. In Gasgleichungen setzt man die Temperatur immer in Kelvin ein.
Quiz
Aussage 1
Die Masse einer Stoffportion ergibt sich aus dem Produkt \(n \cdot M \cdot \rho\).
Das Produkt hat die Einheit g²/mL statt g. Richtig ist \(m = n \cdot M\) oder \(m = \rho \cdot V\).
Aussage 2
Ein Mol flüssiges Wasser nimmt bei Normaldruck ein Volumen von etwa 18 mL ein.
\(V_m = M/\rho = 18\) g/mol : 1 g/mL ≈ 18 mL/mol, also weniger als 20 mL.
Aussage 3
Die molare Masse eines Stoffes lässt sich als \(M = \rho \cdot V / n\) berechnen.
Mit \(m = \rho \cdot V\) eingesetzt in \(M = m/n\) ergibt sich genau diese Beziehung; die Einheiten g/mL · mL / mol ergeben g/mol.
Aussage 4
Bei 25 °C und 1000 hPa beträgt das molare Volumen eines idealen Gases 22,4 L/mol.
22,4 L/mol gilt für Normbedingungen (0 °C, 1013,25 hPa). Bei 25 °C und 1000 hPa sind es rund 24,8 L/mol.
Aussage 5
Ein Mol Wasserdampf nimmt bei 100 °C und Normaldruck ein Volumen von mehr als 20 L ein.
Rechnet man 22,4 L/mol auf 373 K hoch, ergeben sich etwa 30 L.
Aussage 6
Eine Temperatur von 300 K entspricht 573,15 °C.
Von der Kelvin-Angabe wird 273,15 abgezogen, nicht addiert: 300 K entsprechen 26,85 °C.
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