Reaktionskinetik

Halbwertszeit bei Reaktionen erster Ordnung

Wie die Halbwertszeit einer Reaktion 1. Ordnung mit der Geschwindigkeitskonstante zusammenhängt und wie man damit Restanteile und Zersetzungszeiten berechnet.

Prüfungsrelevanz: gut zu wissen ✓ gelesen
Das Wichtigste in Kürze5 Punkte
  • Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Eduktkonzentration auf die Hälfte sinkt. Bei einer Reaktion 1. Ordnung gilt \(t_{1/2} = \ln 2 / k\).
  • Die Halbwertszeit 1. Ordnung ist unabhängig von der Anfangskonzentration und über den ganzen Reaktionsverlauf konstant.
  • Nach \(n\) Halbwertszeiten bleibt der Anteil \((1/2)^n\), nach 10 Halbwertszeiten etwa 1 Promille. Die absolute Konzentration \(c_0 \cdot (1/2)^n\) hängt aber von \(c_0\) ab.
  • \(k\) und \(t_{1/2}\) sind umgekehrt proportional: Doppeltes \(k\) ergibt die halbe Halbwertszeit. Die Halbwertszeit ist nicht einfach \(1/k\).
  • Zersetzungszeiten rechnet man über den Restanteil: 87,5 % zersetzt heißt \(1/8\) übrig, also 3 Halbwertszeiten.

Worum es geht

Bei einer Reaktion 1. Ordnung halbiert sich die Eduktkonzentration in immer gleichen Zeitabständen. Diese Halbwertszeit lässt sich direkt aus der Geschwindigkeitskonstante berechnen. In der Pharmazie schätzt man so ab, wie schnell sich ein Arzneistoff in Lösung zersetzt.

Halbwertszeit und Geschwindigkeitskonstante

Die Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ist die Zeit, in der die Konzentration eines Edukts auf die Hälfte ihres Ausgangswerts sinkt. Für eine Reaktion 1. Ordnung folgt sie aus dem integrierten Zeitgesetz erster Ordnung \(\ln(c_0/c) = k \cdot t\). Man setzt \(c = c_0/2\) ein und löst nach \(t\) auf.

🧮 Formelauswendig können

\[t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \approx \frac{0{,}693}{k}\]

Größe Bedeutung Einheit
\(t_{1/2}\) Halbwertszeit s (oder min, h)
\(k\) Geschwindigkeitskonstante 1. Ordnung \(\mathrm{s^{-1}}\)
\(\ln 2\) natürlicher Logarithmus von 2, etwa 0,693 dimensionslos

Was die Formel aussagt

In der Formel steht keine Konzentration. Die Halbwertszeit ist deshalb unabhängig von der Anfangskonzentration und bleibt über den ganzen Reaktionsverlauf konstant. Von 100 auf 50 mmol/L dauert es genauso lange wie von 50 auf 25 mmol/L. Jede Halbwertszeit halbiert den jeweils noch vorhandenen Rest.

Abfallende Exponentialkurve der Konzentration über der Zeit; bei 1, 2 und 3 Halbwertszeiten sind die Werte c0/2, c0/4 und c0/8 mit gleich breiten Zeitintervallen markiert.

Reaktion 1. Ordnung: In jeder Halbwertszeit halbiert sich die verbleibende Konzentration, die Zeitabstände bleiben gleich.

Nach \(n\) Halbwertszeiten ist noch der Anteil \((1/2)^n\) übrig. Nach 10 Halbwertszeiten sind das \(1/1024\), also etwa 1 Promille. Der Anteil hängt nicht von \(c_0\) ab, die absolute Konzentration schon: Sie beträgt \(c_0 \cdot (1/2)^n\). Dasselbe gilt für die gebildete Produktkonzentration.

\(k\) und \(t_{1/2}\) sind umgekehrt proportional. Doppeltes \(k\) bedeutet halbe Halbwertszeit. Eine schnelle Reaktion hat also eine kurze Halbwertszeit.

Zwei exponentiell abfallende Kurven; die steilere Kurve mit doppeltem k erreicht die halbe Anfangskonzentration nach der halben Zeit.

Doppelte Geschwindigkeitskonstante, halbe Halbwertszeit.

Der radioaktive Zerfall folgt demselben Gesetz. Er wird unter Zerfallsgesetz und Halbwertszeit behandelt.

Rechenbeispiel

Ein Arzneistoff hydrolysiert in Lösung nach 1. Ordnung mit \(k = 0{,}0231\ \mathrm{h^{-1}}\). Nach welcher Zeit sind 87,5 % zersetzt?

  1. Halbwertszeit: \(t_{1/2} = 0{,}693 / 0{,}0231\ \mathrm{h^{-1}} = 30\ \mathrm{h}\).
  2. Restanteil: 87,5 % zersetzt heißt 12,5 % übrig, also \(1/8\).
  3. Zahl der Halbwertszeiten: \((1/2)^n = 1/8\) ergibt \(n = 3\).
  4. Zeit: \(t = 3 \cdot 30\ \mathrm{h} = 90\ \mathrm{h}\).

Typische Fehler

  • Die Halbwertszeit ist nicht der Kehrwert von \(k\). Der Faktor \(\ln 2\) gehört dazu.
  • Zersetzter Anteil und Restanteil werden verwechselt. \((1/2)^n\) liefert den Rest.
  • Einheiten: \(k\) in \(\mathrm{min^{-1}}\) ergibt \(t_{1/2}\) in Minuten.
🎯 Examensrelevant: Halbwertszeit 1. Ordnung

Wird im Examen gerne gefragt: \(t_{1/2} = \ln 2 / k\) gilt für die 1. Ordnung und enthält keine Konzentration. Achte darauf, dass die Halbwertszeit deshalb unabhängig von \(c_0\) ist, die Konzentration nach \(n\) Halbwertszeiten aber nicht.

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Aussage 1

Eine Reaktion 1. Ordnung mit \(k = 0{,}1\ \mathrm{min^{-1}}\) hat eine Halbwertszeit von 10 min.

10 min wäre der Kehrwert von \(k\). Richtig ist \(t_{1/2} = 0{,}693 / 0{,}1\ \mathrm{min^{-1}} \approx 6{,}9\ \mathrm{min}\).

Aussage 2

Verdoppelt man bei einer Reaktion 1. Ordnung die Anfangskonzentration des Edukts, verdoppelt sich auch die Halbwertszeit.

Die Formel \(t_{1/2} = \ln 2 / k\) enthält keine Konzentration. Die Halbwertszeit 1. Ordnung bleibt deshalb gleich, egal wie groß \(c_0\) ist.

Aussage 3

Nach vier Halbwertszeiten einer Reaktion 1. Ordnung sind noch 6,25 % des Edukts vorhanden.

Der Restanteil beträgt \((1/2)^4 = 1/16\), also 6,25 %.

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