Henderson-Hasselbalch-Gleichung und Protonierungsgrad
Wie man mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung den pH-Wert von Puffern, das nötige Mischungsverhältnis und den protonierten Anteil eines Arzneistoffs berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung \(\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm{s} + \lg\frac{c(\ce{A-})}{c(\ce{HA})}\) beschreibt den pH-Wert eines Puffers aus schwacher Säure und korrespondierender Base.
- Der pH hängt nur vom Stoffmengenverhältnis ab, nicht vom Volumen. Beim Verdünnen bleibt der pH daher weitgehend konstant.
- Am Halbäquivalenzpunkt (Verhältnis 1:1) gilt pH = pKs, die Säure ist zu 50 % deprotoniert. Für eine reine Säurelösung gilt das nicht.
- Jede pH-Einheit Abstand zum \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) bedeutet einen Faktor 10: eine Einheit entspricht 10:1 (ca. 91 %), zwei Einheiten 100:1 (ca. 99 %).
- Bei Aminen rechnet man mit dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) von \(\ce{BH+}\). Propranolol ist bei pH 7,4 zu etwa 99 % protoniert.
- Mischt man Säure und Lauge, ergibt die Lauge die Stoffmenge der Base, der Rest der Säure steht im Nenner.
Worum es geht
Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung verknüpft den pH-Wert einer Lösung mit dem Verhältnis von Säure und korrespondierender Base. Mit ihr berechnet man Pufferrezepturen. Man kann damit auch abschätzen, wie stark ein Arzneistoff wie Propranolol im Blut protoniert vorliegt.
Die Puffergleichung
Ein Puffer enthält eine schwache Säure \(\ce{HA}\) und ihre korrespondierende Base \(\ce{A-}\) in vergleichbaren Mengen. Aufbau und Wirkung erklärt die Einheit zu Puffersystemen. Den pH-Wert eines Puffers liefert die Henderson-Hasselbalch-Gleichung, auch Puffergleichung genannt. Sie folgt direkt aus der Säurekonstante:
\[K_\mathrm{s} = \frac{c(\ce{H3O+}) \cdot c(\ce{A-})}{c(\ce{HA})}\]
Man logarithmiert beide Seiten, multipliziert mit \(-1\) und stellt nach dem pH um. Aus \(-\lg K_\mathrm{s}\) wird der \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\), aus \(-\lg c(\ce{H3O+})\) der pH.
\[\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm{s} + \lg\frac{c(\ce{A-})}{c(\ce{HA})}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\mathrm{pH}\) | pH-Wert der Pufferlösung | dimensionslos |
| \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) | negativer dekadischer Logarithmus der Säurekonstante der Puffersäure | dimensionslos |
| \(c(\ce{A-})\) | Konzentration der korrespondierenden Base | mol/L |
| \(c(\ce{HA})\) | Konzentration der Säure | mol/L |
Für den pH zählt nur der Bruch. Säure und Base sind im selben Volumen gelöst, deshalb kürzt sich das Volumen heraus. Man darf also direkt die Stoffmengen \(n(\ce{A-})\) und \(n(\ce{HA})\) einsetzen. Beim Acetatpuffer bestimmt allein das Verhältnis Acetat zu Essigsäure den pH.
Daraus folgt ein wichtiges Verhalten. Verdünnt man einen Essigsäure/Acetat-Puffer mit Wasser, sinken beide Konzentrationen um denselben Faktor. Das Verhältnis bleibt gleich, der pH bleibt weitgehend konstant. Man kann sich das wie einen Saft vorstellen, den man in ein größeres Glas umfüllt und mit Wasser auffüllt: Die Zahl der Teilchen ändert sich nicht, ihr Verhältnis auch nicht. Erst bei extremer Verdünnung weicht der pH ab, weil dann Aktivitäten und die Autoprotolyse des Wassers ins Gewicht fallen. Was beim Verdünnen sinkt, ist die Pufferkapazität.
Die Gleichung lässt sich auch umgekehrt nutzen. Misst man den pH einer Mischung mit bekanntem Verhältnis, erhält man den \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) der Säure: \(\mathrm{p}K_\mathrm{s} = \mathrm{pH} - \lg\frac{c(\ce{A-})}{c(\ce{HA})}\). Am einfachsten gelingt das am Halbäquivalenzpunkt.
Halbäquivalenzpunkt
Liegen Säure und korrespondierende Base in gleicher Konzentration vor, ist der Bruch gleich 1. Wegen \(\lg 1 = 0\) gilt dann pH = pKs. Die Säure ist zu genau 50 % deprotoniert. Streng genommen gilt das für gleiche Aktivitäten. In verdünnten Lösungen setzt man dafür die Konzentrationen ein.
Diesen Zustand erreicht man bei der Titration. Neutralisiert man eine schwache Säure zur Hälfte mit Natronlauge, wird die Hälfte von \(\ce{HA}\) in \(\ce{A-}\) umgewandelt:
\[\ce{CH3COOH + OH- -> CH3COO- + H2O}\]
Der Punkt, an dem die halbe zur Neutralisation nötige Laugenmenge zugegeben ist, heißt Halbäquivalenzpunkt. Hier ist der pH gleich dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\). Bei Essigsäure liegt er bei 4,75, mitten im flachen Teil der Titrationskurve.
Dasselbe gilt von der Basenseite her. Eine äquimolare Mischung aus Ammoniak und Ammoniumchlorid hat den pH 9,25, also den \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) von \(\ce{NH4+}\). Maßgeblich ist immer der \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) der Säure des Paares. Dass pH und \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) nur beim Verhältnis 1:1 übereinstimmen, wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, ob wirklich beide Partner gleich stark vertreten sind.
Eine Lösung, die nur Essigsäure enthält, hat nicht den pH 4,75. Bei 0,1 mol/L liegt er nach der Näherung für schwache Säuren bei etwa 2,9, weil die korrespondierende Base fast vollständig fehlt.
Verhältnisse 10:1 und 100:1
Jede pH-Einheit Abstand zum \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) entspricht einem Faktor 10 im Verhältnis. Das folgt direkt aus dem Logarithmus: \(\lg 10 = 1\) und \(\lg 100 = 2\). Liegt der pH eine Einheit über dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\), kommen auf ein Teilchen \(\ce{HA}\) zehn Teilchen \(\ce{A-}\). Von 11 Teilchen sind dann 10 deprotoniert, also 90,9 %. Je nach Rundung liest man 90 oder 91 %.
| \(\mathrm{pH} - \mathrm{p}K_\mathrm{s}\) | \(\ce{A-}\) : \(\ce{HA}\) | deprotoniert | protoniert |
|---|---|---|---|
| \(-2\) | 1 : 100 | ca. 1 % | ca. 99 % |
| \(-1\) | 1 : 10 | ca. 9 % | ca. 91 % |
| \(0\) | 1 : 1 | 50 % | 50 % |
| \(+1\) | 10 : 1 | ca. 91 % | ca. 9 % |
| \(+2\) | 100 : 1 | ca. 99 % | ca. 1 % |
Die Tabelle gilt in beide Richtungen. Ist eine Säure zu 90 % deprotoniert, liegt der pH etwa eine Einheit über ihrem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\). Eine Einheit unter dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) überwiegt die Säure im Verhältnis 10:1. Enthält ein Acetatpuffer zehnmal so viel Acetat wie Essigsäure, ist sein pH \(4{,}75 + 1 = 5{,}75\), also etwa 6.
Der Protonierungsgrad ist der Anteil eines Säure-Base-Paares, der in der protonierten Form vorliegt: \(\frac{c(\ce{HA})}{c(\ce{HA}) + c(\ce{A-})}\). Er und der deprotonierte Anteil ergänzen sich zu 100 %.
Bei basischen Arzneistoffen interessiert meist der protonierte Anteil. Ein Amin \(\ce{B}\) bildet mit \(\ce{BH+}\) ein Paar. Man rechnet mit dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) von \(\ce{BH+}\), und die Base \(\ce{B}\) steht im Zähler. Der Betablocker Propranolol hat einen \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) um 9,5. Bei physiologischem pH 7,4 liegt der pH gut zwei Einheiten darunter. Das Verhältnis \(\ce{BH+}\) : \(\ce{B}\) beträgt dann über 100:1, Propranolol ist zu etwa 99 % protoniert. Diese Faustregel solltest du sicher können: zwei Einheiten unter dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) der Ammoniumform bedeuten 99 % protoniert, eine Einheit bedeutet 91 %. Der Protonierungsgrad beeinflusst Wasserlöslichkeit und Membrangängigkeit eines Arzneistoffs.
Rechnen mit der Gleichung
Alle Rechenaufgaben nutzen dieselbe Gleichung. Je nach Frage stellt man sie nach dem pH, nach dem Verhältnis oder nach dem Anteil um.
Das Rechnen mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist ein Examensklassiker. Achte immer darauf, dass die Base im Zähler steht, also \(\ce{A-}\) oder das freie Amin \(\ce{B}\), und dass du den \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) der Säure des Paares einsetzt.
Mischungsverhältnis für einen Ziel-pH
Ein Ameisensäure/Formiat-Puffer (\(\mathrm{p}K_\mathrm{s} = 3{,}75\)) soll den pH 4,05 haben.
- Umstellen: \(\lg\frac{n(\ce{HCOO-})}{n(\ce{HCOOH})} = \mathrm{pH} - \mathrm{p}K_\mathrm{s} = 4{,}05 - 3{,}75 = 0{,}30\)
- Entlogarithmieren: \(\frac{n(\ce{HCOO-})}{n(\ce{HCOOH})} = 10^{0{,}30} \approx 2\)
- Ergebnis: Auf 1 mol Ameisensäure kommen 2 mol Natriumformiat. Säure zu Salz stehen also 1:2.
Anteile berechnen
Aus dem Verhältnis \(r = \frac{c(\ce{A-})}{c(\ce{HA})}\) folgt der deprotonierte Anteil als \(\frac{r}{1 + r}\). Eine Säure mit \(\mathrm{p}K_\mathrm{s} = 4{,}2\) hat bei pH 4,5 das Verhältnis \(10^{0{,}3} \approx 2\). Sie ist also zu \(\frac{2}{3}\), rund 67 %, deprotoniert. Für Amine gilt das Gleiche mit \(\ce{B}\) und \(\ce{BH+}\). Methylammonium hat einen \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) von etwa 10,6. Bei pH 9,6 ist \(\ce{BH+}\) : \(\ce{B}\) = 10:1, Methylamin ist zu 91 % protoniert. Ein Puffer aus 0,10 mol Methylamin und 0,05 mol Methylammoniumchlorid hat den pH \(10{,}6 + \lg 2 \approx 10{,}9\).
pH aus Säure und Lauge
Oft wird ein Puffer erst durch Zugabe von Lauge hergestellt. Beispiel: 0,30 mol Essigsäure und 0,10 mol NaOH werden gemischt.
- Umsatz: Die Lauge wandelt 0,10 mol Essigsäure in 0,10 mol Acetat um.
- Rest: \(n(\ce{HA}) = 0{,}30\ \mathrm{mol} - 0{,}10\ \mathrm{mol} = 0{,}20\ \mathrm{mol}\)
- Einsetzen: \(\mathrm{pH} = 4{,}75 + \lg\frac{0{,}10}{0{,}20} = 4{,}75 - 0{,}30 = 4{,}45\)
Pufferwirkung beurteilen
Ob eine Mischung puffert, entscheidet die Stoffmengenbilanz. Ist weniger Lauge als Säure enthalten, bleiben beide Partner übrig, und die Mischung ist ein Puffer. Bei gleichen Stoffmengen liegt nur noch Acetat vor. Das ist der Äquivalenzpunkt, kein Puffer mehr. Überschüssige Lauge bestimmt den pH dann allein. Gut puffert eine Mischung, solange das Verhältnis zwischen 1:10 und 10:1 liegt. Das entspricht \(\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm{s} \pm 1\), dem Pufferbereich.
Typische Fehler
- Bruch umgedreht: Die Base gehört in den Zähler. Überwiegt die Base, muss der pH über dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) liegen.
- \(\mathrm{p}K_\mathrm{b}\) statt \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\): Bei Aminen erst umrechnen mit \(\mathrm{p}K_\mathrm{s} + \mathrm{p}K_\mathrm{b} = 14\).
- Lauge nicht abgezogen: Die zugegebene Lauge verbraucht Säure und erzeugt gleich viel Base.
- Vorzeichen: \(\lg 2 \approx +0{,}30\), aber \(\lg 0{,}5 \approx -0{,}30\).
Quiz
Aussage 1
Wird eine schwache Säure zur Hälfte mit Natronlauge neutralisiert, entspricht der pH-Wert der Lösung ihrem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\).
Am Halbäquivalenzpunkt liegen \(\ce{HA}\) und \(\ce{A-}\) im Verhältnis 1:1 vor, der Logarithmusterm wird null.
Aussage 2
Eine Essigsäurelösung mit 0,1 mol/L ohne Acetatzusatz hat den pH-Wert 4,75.
pH = pKs gilt nur bei gleichen Mengen Säure und Base. Die reine Essigsäurelösung hat bei 0,1 mol/L einen pH von etwa 2,9.
Aussage 3
Mischt man 0,20 mol Essigsäure mit 0,20 mol Natronlauge, erhält man einen Puffer mit pH = pKs.
Gleiche Stoffmengen ergeben den Äquivalenzpunkt mit reiner Acetatlösung. pH = pKs erreicht man mit der halben Laugenmenge, also 0,10 mol NaOH.
Aussage 4
Ein Amin, dessen Ammoniumform einen \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) von 9,5 hat, liegt bei pH 7,4 überwiegend als freie Base vor.
Der pH liegt gut zwei Einheiten unter dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\). Das Amin ist daher zu etwa 99 % protoniert, wie Propranolol.
Aussage 5
Für einen Ameisensäure/Formiat-Puffer mit einem pH 0,3 Einheiten über dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\) braucht man etwa doppelt so viel Formiat wie Ameisensäure.
\(10^{0{,}30} \approx 2\), also \(n(\ce{HCOO-})\) : \(n(\ce{HCOOH})\) = 2:1.
Aussage 6
Liegt der pH-Wert eine Einheit über dem \(\mathrm{p}K_\mathrm{s}\), ist eine Säure zu etwa 91 % deprotoniert.
Das Verhältnis \(\ce{A-}\) : \(\ce{HA}\) beträgt 10:1, also sind 10 von 11 Teilchen deprotoniert.
Aussage 7
Verdünnt man einen Acetatpuffer mit Wasser auf das doppelte Volumen, bleibt sein pH-Wert weitgehend gleich.
Beide Konzentrationen sinken um denselben Faktor. Das Verhältnis \(c(\ce{A-})/c(\ce{HA})\) und damit der pH bleiben erhalten.
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