Rechnen mit dem Lambert-Beer-Gesetz
Wie man mit dem Lambert-Beer-Gesetz Absorption, Transmission, Konzentration, molaren Absorptionskoeffizienten und Küvettenschichtdicke Schritt für Schritt berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Lambert-Beer-Gesetz \(A = \varepsilon \cdot c \cdot d\) verknüpft Absorption, molaren Absorptionskoeffizienten, Stoffmengenkonzentration und Schichtdicke. Jede Größe lässt sich aus den drei anderen berechnen.
- Die Transmission folgt aus \(T = 10^{-A}\): \(A = 1\) entspricht 10 %, \(A = 2\) entspricht 1 %.
- Die Schichtdicke muss in cm eingesetzt werden. Ist \(c\) in mol/L gegeben, braucht man für \(A\) keine Molmassen.
- Aus der Stoffmengenkonzentration folgt die Massenkonzentration über \(\beta = c \cdot M\), umgekehrt gilt \(c = \beta / M\).
- Die Schichtdicke aus der Massenkonzentration ist \(d = \frac{A \cdot M}{\varepsilon \cdot \beta}\), mit \(\beta\) in g/L.
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Worum es geht
Das Lambert-Beer-Gesetz verknüpft fünf Größen. Kennt man vier davon, folgt die fünfte durch einfaches Umstellen. Genau so arbeitet jede photometrische Gehaltsbestimmung im Arzneibuch. Diese Einheit übt das Rechnen und zeigt die typischen Stolpersteine bei Einheiten und Umrechnungen.
Absorption und Transmission berechnen
Das Lambert-Beer-Gesetz und die Definitionen von Absorption und Transmission setzt diese Einheit voraus. Hier geht es nur um die Rechnung. Zwei Gleichungen reichen dafür aus.
\[A = \varepsilon \cdot c \cdot d \qquad T = 10^{-A}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A\) | Absorption, dekadischer Logarithmus von \(I_0/I\) | dimensionslos |
| \(T\) | Transmission \(I/I_0\) | dimensionslos, oft in % |
| \(\varepsilon\) | molarer Absorptionskoeffizient | L·mol⁻¹·cm⁻¹ |
| \(c\) | Stoffmengenkonzentration | mol/L |
| \(d\) | Schichtdicke der Küvette | cm |
Die Einheiten zeigen, warum die Rechnung aufgeht. L·mol⁻¹·cm⁻¹ mal mol/L mal cm kürzt sich zu einer reinen Zahl. Das klappt nur, wenn \(d\) in Zentimetern steht. Eine Angabe in dm oder mm rechnest du deshalb zuerst um: 1 dm = 10 cm, 1 mm = 0,1 cm.
Für \(A\) brauchst du nur \(\varepsilon\), \(c\) und \(d\). Ist \(c\) schon in mol/L gegeben, sind die Molmassen von gelöstem Stoff und Lösungsmittel überflüssig. Diese Rechnung wird im Examen gerne gefragt: Achte darauf, die Schichtdicke in cm umzurechnen, und lass zusätzlich genannte Molmassen beiseite.
Beispiel
Ein Arzneistoff hat \(\varepsilon\) = 12 000 L·mol⁻¹·cm⁻¹. Die Lösung enthält 5,0·10⁻⁵ mol/L, die Küvette ist 0,05 dm lang.
- Schichtdicke umrechnen: 0,05 dm = 0,5 cm.
- Absorption berechnen: \(A = 12\,000 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}5 = 0{,}30\).
- Transmission berechnen: \(T = 10^{-0{,}30} \approx 0{,}50\), also 50 %.
Linear gegen exponentiell
\(A\) wächst linear mit \(c\) und \(d\). Doppelte Konzentration heißt doppelte Absorption. Die Transmission fällt dagegen exponentiell. Jede Zunahme von \(A\) um 1 teilt \(T\) durch 10: \(A = 1\) entspricht 10 %, \(A = 2\) nur noch 1 %. Man kann sich das wie hintereinandergestellte Sonnenbrillen vorstellen. Jede lässt denselben Anteil des ankommenden Lichts durch.
Verdoppelt man im Beispiel die Schichtdicke, steigt \(A\) auf 0,60. Die Transmission wird dabei quadriert und sinkt auf 25 %. Im Grenzfall \(c = 0\) ist \(A = 0\) und \(T = 100\) %.
Konzentration und ε berechnen
Gemessen wird im Photometer immer \(A\). Löst man das Gesetz nach \(c\) oder \(\varepsilon\) auf, steht die gesuchte Größe allein. Die beiden anderen wandern in den Nenner.
\[c = \frac{A}{\varepsilon \cdot d} \qquad \varepsilon = \frac{A}{c \cdot d}\]
Das Ergebnis für \(c\) ist eine Stoffmengenkonzentration in mol/L. Gehalte stehen im Labor aber meist als Masse pro Volumen. Den Schritt zur Massenkonzentration macht die molare Masse: \(\beta = c \cdot M\). Mit \(M\) in g/mol erhältst du \(\beta\) in g/L.
Die Abbildung zeigt die ganze Rechenkette. Jede Aufgabe dieser Einheit ist ein Weg durch sie, vorwärts oder rückwärts. Rückwärts kehrt sich jede Operation um: Aus Multiplizieren wird Dividieren.
Beispiel: Massenkonzentration
Eine Lösung zeigt in einer 1-cm-Küvette \(A = 0{,}45\). Der Stoff hat \(\varepsilon\) = 15 000 L·mol⁻¹·cm⁻¹ und \(M\) = 250 g/mol.
- Stoffmengenkonzentration: \(c = \frac{0{,}45}{15\,000 \cdot 1} = 3{,}0 \cdot 10^{-5}\) mol/L.
- Massenkonzentration: \(\beta = 3{,}0 \cdot 10^{-5} \cdot 250 = 7{,}5 \cdot 10^{-3}\) g/L.
- Sinnvoll angeben: 7,5 mg/L.
Beispiel: ε aus Messwerten
Eine Lösung mit 4,0·10⁻⁵ mol/L ergibt in einer 1-cm-Küvette \(A = 0{,}62\). Dann gilt \(\varepsilon = 0{,}62 / (4{,}0 \cdot 10^{-5} \cdot 1)\) = 15 500 L·mol⁻¹·cm⁻¹. Die Einheit ergibt sich von selbst, wenn du sie mitschreibst. Wie man \(\varepsilon\) in die spezifische Absorption umrechnet, steht bei den Absorptionskoeffizienten.
Schichtdicke berechnen
Gesucht ist hier die Länge, die eine Küvette für eine bestimmte Absorption haben muss. Meist ist der Gehalt als Massenkonzentration gegeben. Dann braucht es zwei Schritte: erst \(\beta\) über die molare Masse in \(c\) umrechnen, dann nach \(d\) auflösen.
\[c = \frac{\beta}{M} \qquad d = \frac{A}{\varepsilon \cdot c} = \frac{A \cdot M}{\varepsilon \cdot \beta}\]
In der zusammengefassten Form steht \(M\) im Zähler. Das folgt direkt aus dem Doppelbruch. Statt \(M\) kann die relative Molekülmasse \(M_r\) gegeben sein. Sie ist dimensionslos und hat denselben Zahlenwert wie \(M\) in g/mol.
Die Küvettenschichtdicke aus \(\beta\) und \(M\) wird im Examen gerne gefragt. Rechne \(\beta\) zuerst in g/L um, teile durch \(M\) und setze erst dann in \(d = A/(\varepsilon c)\) ein. Das Ergebnis steht in cm.
Beispiel
Gegeben sind \(A = 0{,}80\), \(\varepsilon\) = 20 000 L·mol⁻¹·cm⁻¹, \(\beta\) = 6,0 mg/L und \(M_r\) = 300.
- β in g/L umrechnen: 6,0 mg/L = 6,0·10⁻³ g/L.
- In c umrechnen: \(c = \frac{6{,}0 \cdot 10^{-3}}{300} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}\) mol/L.
- Nach d auflösen: \(d = \frac{0{,}80}{20\,000 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-5}} = \frac{0{,}80}{0{,}40}\) cm = 2,0 cm.
- Kontrolle mit der Gesamtformel: \(d = \frac{0{,}80 \cdot 300}{20\,000 \cdot 6{,}0 \cdot 10^{-3}} = \frac{240}{120}\) cm = 2,0 cm.
Warum die Molmasse zählt
Bei gleicher Massenkonzentration enthält die Lösung eines schwereren Stoffs weniger Teilchen. Hat er die doppelte Molmasse und dasselbe \(\varepsilon\), ist \(c\) nur halb so groß. Für dieselbe Absorption muss das Licht dann doppelt so weit durch die Lösung laufen.
Daraus folgen die Proportionalitäten: \(d\) steigt mit \(A\) und \(M\). Es sinkt mit wachsendem \(\varepsilon\) und wachsender Massenkonzentration.
Typische Fehler
- mg statt g: \(\beta\) in mg/L ohne Umrechnung liefert ein um den Faktor 1000 falsches Ergebnis.
- Mit M multipliziert: Von \(\beta\) zu \(c\) wird durch \(M\) geteilt.
- Schichtdicke in mm oder dm: Vor dem Einsetzen immer in cm umrechnen.
- Falsche Basis: Das Gesetz ist dekadisch, also \(T = 10^{-A}\) und nicht \(e^{-A}\).
Schreib die Einheiten in jeder Zeile mit. Kommt am Ende nicht cm heraus, steckt irgendwo ein Fehler.
Quiz
Aussage 1
Eine Lösung mit der Absorption 2 lässt noch 20 % des eingestrahlten Lichts durch.
Es gilt \(T = 10^{-2} = 0{,}01\), also nur 1 %.
Aussage 2
Bei gleicher Massenkonzentration, gleichem \(\varepsilon\) und gleicher Absorption braucht ein Stoff mit doppelter Molmasse eine doppelt so lange Küvette.
Doppelte Molmasse halbiert \(c = \beta/M\). Nach \(d = A \cdot M/(\varepsilon \cdot \beta)\) verdoppelt sich deshalb die Schichtdicke.
Aussage 3
Zeigt eine Lösung mit 5·10⁻⁵ mol/L in einer 1-cm-Küvette die Absorption 0,5, beträgt \(\varepsilon\) = 10 000 L·mol⁻¹·cm⁻¹.
\(\varepsilon = A/(c \cdot d) = 0{,}5/(5 \cdot 10^{-5} \cdot 1) = 10\,000\) L·mol⁻¹·cm⁻¹.
Aussage 4
Bei \(\varepsilon\) = 10 000 L·mol⁻¹·cm⁻¹, \(c\) = 2·10⁻⁵ mol/L und einer Schichtdicke von 0,1 dm ergibt sich eine Absorption von 0,2.
0,1 dm sind 1 cm. Damit gilt \(A = 10\,000 \cdot 2 \cdot 10^{-5} \cdot 1 = 0{,}2\).
Aussage 5
Ist die Massenkonzentration in mg/L angegeben, darf man ihren Zahlenwert direkt in \(d = \frac{A \cdot M}{\varepsilon \cdot \beta}\) einsetzen.
\(\beta\) muss zuerst in g/L umgerechnet werden, sonst ist das Ergebnis um den Faktor 1000 falsch.
Aussage 6
Die Massenkonzentration erhält man, indem man die Stoffmengenkonzentration durch die molare Masse teilt.
Man multipliziert: \(\beta = c \cdot M\). Durch \(M\) geteilt wird nur auf dem Rückweg von \(\beta\) zu \(c\).
Aussage 7
Um die Absorption aus \(\varepsilon\) und der Stoffmengenkonzentration zu berechnen, braucht man zusätzlich die Molmasse des Lösungsmittels.
Ist \(c\) in mol/L gegeben, reichen \(\varepsilon\), \(c\) und \(d\). Molmassen von gelöstem Stoff und Lösungsmittel werden nicht benötigt.
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