Spezifische Drehung: Definition und Berechnung
Wie man den gemessenen Drehwinkel einer Lösung auf die spezifische Drehung nach Arzneibuch umrechnet, welche Einheiten und Bezugsgrößen dabei gelten und wie man mehrdeutige Messwerte auflöst.
Das Wichtigste in Kürze
- Die spezifische Drehung \([\alpha]_D^{20}\) ist der auf 1 dm Schichtdicke und 1 g/mL Konzentration umgerechnete Drehwinkel einer optisch aktiven Substanz bei 20 °C und 589,3 nm.
- Der Drehwinkel wächst proportional mit Konzentration und Schichtdicke, Reflexion an den Rohrfenstern verringert ihn nicht.
- Es gilt \([\alpha]_D^{20} = 1000\,\alpha/(l \cdot c)\) mit \(l\) in dm und \(c\) in g/L, Einheit \(\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\), ohne Molmasse.
- D steht für die Natrium-D-Linie (589,3 nm), Temperatur und Wellenlänge gehören zu jeder Angabe.
- Unter festgelegten Bedingungen ist die spezifische Drehung eine Stoffkonstante und unabhängig von der Rohrlänge.
- Ein mehrdeutiger Drehwinkel wird durch Messung bei halber Konzentration oder halber Rohrlänge geklärt, nicht durch Drehen des Rohres.
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Worum es geht
Ein Polarimeter liefert einen Drehwinkel, der von Konzentration und Rohrlänge abhängt. Erst die spezifische Drehung macht daraus eine vergleichbare Stoffgröße. Mit ihr prüft das Arzneibuch Identität und Reinheit optisch aktiver Arzneistoffe wie Zucker oder Aminosäuren.
Drehwinkel, Konzentration, Schichtdicke
Der Drehwinkel \(\alpha\) ist der Winkel, um den eine optisch aktive Probe die Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht dreht. Wie das Gerät ihn misst, steht bei Optische Drehung und Aufbau des Polarimeters. Hier geht es darum, wovon seine Größe abhängt.
Jedes chirale Molekül auf dem Lichtweg dreht die Ebene ein kleines Stück. Der Drehwinkel wächst deshalb mit der Zahl der Moleküle, die das Licht passiert. Diese Zahl steigt auf zwei Wegen: mit höherer Konzentration und mit längerem Lichtweg, der Schichtdicke \(l\). Doppelte Konzentration ergibt doppelten Drehwinkel, ein doppelt so langes Rohr ebenfalls. Man kann sich das wie eine Wendeltreppe vorstellen: Mehr Stufen bedeuten mehr Drehung.
Die Schichtdicke \(l\) ist die Länge des Weges, den das Licht durch die Messlösung zurücklegt. Sie entspricht der Innenlänge des Polarimeterrohrs und wird für die spezifische Drehung in dm angegeben. Übliche Rohre sind 1 dm oder 2 dm lang.
Streng linear ist der Zusammenhang mit der Konzentration nicht immer. In konzentrierteren Lösungen beeinflussen sich gelöste Moleküle gegenseitig, etwa durch Assoziation oder Wasserstoffbrücken. Dann ändert die Konzentration auch die spezifische Drehung selbst. Deshalb legt das Arzneibuch in jeder Monographie Messkonzentration und Lösungsmittel fest. Weitere Einflüsse behandelt Einflussgrößen und optische Rotationsdispersion.
Reflexion an den Fenstern des Rohres verringert den Drehwinkel nicht. Sie schwächt nur die Lichtintensität. Die Lage der Schwingungsebene bleibt gleich, und damit auch der Messwert.
Definition nach Arzneibuch
Weil \(\alpha\) von Konzentration und Schichtdicke abhängt, lassen sich zwei Messungen damit allein nicht vergleichen. Man rechnet deshalb auf festgelegte Bezugsgrößen um. Das Ergebnis ist die spezifische Drehung \([\alpha]_D^{20}\): der Drehwinkel, den die Substanz bei einer Schichtdicke von 1 dm und einer Konzentration von 1 g/mL zeigen würde.
\[[\alpha]_D^{20} = \frac{1000 \cdot \alpha}{l \cdot c}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \([\alpha]_D^{20}\) | spezifische Drehung bei 20 °C und 589,3 nm | \(\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\) |
| \(\alpha\) | gemessener Drehwinkel mit Vorzeichen | Grad |
| \(l\) | Schichtdicke | dm |
| \(c\) | Massenkonzentration der Lösung | g/L |
Der Faktor 1000 rechnet die Konzentration von g/L auf den Bezug 1 g/mL um. Drehwinkel, Konzentration und Schichtdicke gehen alle in die Berechnung ein. Stellt man um und setzt \(c\) in g/mL ein, sieht man die Proportionalität direkt. In vielen Büchern heißt die Massenkonzentration dabei \(\beta\).
\[\alpha = [\alpha]_D^{20} \cdot l \cdot c \quad (c \text{ in g/mL})\]
Daraus folgt eine wichtige Eigenschaft. Verdoppelt man die Rohrlänge, verdoppelt sich \(\alpha\), der Quotient bleibt aber gleich. Die spezifische Drehung ist also unabhängig von der Schichtdicke und der Rohrlänge, obwohl \(l\) in der Formel steht. Ebenso muss niemand eine Lösung mit 1 g/mL herstellen. Der Bezug ist eine Rechengröße, gemessen wird bei jeder geeigneten Konzentration.
Temperatur und Wellenlänge
Die Drehung hängt auch von Temperatur und Wellenlänge ab. Deshalb gehören beide zu jeder Angabe. Die hochgestellte 20 steht für 20 °C. Das tiefgestellte D bezeichnet die Natrium-D-Linie bei 589,3 nm, nicht Deuterium. Gemessen wird mit linear polarisiertem Licht dieser Wellenlänge. Ein Wert ohne Temperatur und Wellenlänge ist unvollständig.
Einheit und Formelvarianten
Die Einheit folgt aus der Formel: Grad geteilt durch dm und g/mL, also \(\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\). Die spezifische Drehung hat damit nicht die Einheit Grad, auch wenn Tabellen oft nur eine Zahl mit Gradzeichen zeigen. Eine Molmasse kommt nirgends vor. Der Bezug ist die Masse, nicht die Stoffmenge, daher braucht man die relative Molekülmasse nicht.
Je nach Konzentrationseinheit ändert sich nur der Vorfaktor:
| Einheit von \(c\) | Formel | Vorfaktor |
|---|---|---|
| g/L | \(1000\,\alpha / (l \cdot c)\) | 1000 |
| g/100 mL | \(100\,\alpha / (l \cdot c)\) | 100 |
| g/mL | \(\alpha / (l \cdot c)\) | 1 |
Alle drei Formen liefern denselben Zahlenwert. Im SI-System wäre der Bezug eine Schichtdicke von \(1\,\mathrm{m}\) und eine Konzentration von \(1\,\mathrm{kg/m^3}\). Im Arzneibuch hat sich die konventionelle Form mit dm und g/mL gehalten. Mehr zu Einheitensystemen findest du bei Größen und Einheiten.
Die Formel \([\alpha]_D^{20} = 1000\,\alpha/(l \cdot c)\) mit \(l\) in dm und \(c\) in g/L ist ein Examensklassiker. Achte auf die Bezüge 1 dm und 1 g/mL, die Einheit \(\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\) und darauf, dass D die Natrium-D-Linie bei 589,3 nm meint.
Eine Stoffkonstante
Unter festgelegten Messbedingungen ist die spezifische Drehung eine Stoffkonstante optisch aktiver Substanzen. Lösungsmittel, Konzentration, Temperatur und Wellenlänge müssen dafür feststehen. Dann kennzeichnet \([\alpha]_D^{20}\) einen Stoff ähnlich wie ein Schmelzpunkt. Darauf beruht die Identitätsprüfung durch Polarimetrie.
Berechnung
Für die Rechnung brauchst du drei Messwerte: Drehwinkel, Massenkonzentration und Schichtdicke. Die eigentliche Arbeit steckt in den Einheiten. Rohrlängen stehen oft in mm oder cm, Konzentrationen ergeben sich aus Einwaage und Kolbenvolumen.
Beispiel: 1,000 g einer Substanz werden in Wasser zu 25,0 mL gelöst. Im 200-mm-Rohr misst man bei 20 °C und 589,3 nm einen Drehwinkel von \(+4{,}22°\).
- Schichtdicke umrechnen: 200 mm = 20 cm = 2,00 dm.
- Konzentration bestimmen: \(c = 1{,}000\,\mathrm{g} / 0{,}0250\,\mathrm{L} = 40{,}0\,\mathrm{g/L}\).
- Einsetzen: \([\alpha]_D^{20} = \frac{1000 \cdot (+4{,}22)}{2{,}00 \cdot 40{,}0} = \frac{4220}{80{,}0}\).
- Ergebnis: \([\alpha]_D^{20} = +52{,}8\,\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\), die Substanz ist rechtsdrehend.
Zur Kontrolle eignet sich die Variante mit g/100 mL. Die Lösung enthält 4,00 g in 100 mL. Dann gilt \([\alpha] = 100 \cdot 4{,}22 / (2{,}00 \cdot 4{,}00) = 52{,}75\), also derselbe Wert.
Umgekehrt lässt sich ein Drehwinkel vorhersagen. Im 1-dm-Rohr hätte dieselbe Lösung nur \(+2{,}11°\) gedreht. Die spezifische Drehung bliebe bei \(+52{,}8\), denn \(\alpha\) und \(l\) halbieren sich gemeinsam.
Die Schichtdicke muss in dm stehen: 100 mm sind 1 dm, nicht 10 dm. Setzt man \(c\) in g/mL ein, entfällt der Faktor 1000. Das Vorzeichen von \(\alpha\) wird immer mitgeführt, weil es den Drehsinn angibt.
Mehrdeutigkeit des Drehwinkels
Ein Polarimeter erfasst nur die Lage der Schwingungsebene. Eine Ebene sieht nach einer Drehung um 180° genauso aus wie vorher. Eine Ablesung von \(+40°\) kann daher auch \(-140°\) bedeuten. Allgemein ist der Messwert nur bis auf Vielfache von 180° bestimmt. Bei stark drehenden Stoffen oder konzentrierten Lösungen muss man diese Mehrdeutigkeit auflösen.
Der Schlüssel ist die Proportionalität \(\alpha \propto c \cdot l\). Halbiert man die Konzentration, halbiert sich der wahre Drehwinkel. Die beiden Deutungen führen dann zu verschiedenen Ablesungen, und eine zweite Messung entscheidet.
- Erste Messung: Ablesung \(+40°\). Möglich sind \(+40°\) (rechtsdrehend) oder \(-140°\) (linksdrehend).
- Verdünnen: Die Lösung auf halbe Konzentration bringen und erneut messen.
- Erwartung ableiten: Aus \(+40°\) würde \(+20°\), aus \(-140°\) würde \(-70°\). Diese Stellung liest das Gerät als \(+110°\).
- Entscheiden: Zeigt das Gerät \(+20°\), ist der wahre Wert \(+40°\). Zeigt es \(+110°\), dreht die Probe um \(-140°\).
Statt zu verdünnen kann man ein Rohr halber Länge verwenden. Der Effekt ist derselbe, weil \(c\) und \(l\) gleichwertig im Produkt stehen. Das Drehen des Rohres um 180° hilft dagegen nicht. Die optische Drehung hängt nicht davon ab, in welcher Richtung das Licht die Lösung durchläuft. Der Messwert bleibt gleich, und die Frage bleibt offen.
Quiz
Aussage 1
Nach Arzneibuch gilt \([\alpha]_D^{20} = 1000\,\alpha/(l \cdot c)\), wobei \(l\) in dm und \(c\) in g/L eingesetzt wird.
Der Faktor 1000 rechnet die Konzentration von g/L auf den Bezug 1 g/mL um.
Aussage 2
Eine Lösung mit 20,0 g/L dreht im 150-mm-Rohr um \(+3{,}00°\). Ihre spezifische Drehung beträgt \(+100\,\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\).
150 mm = 1,50 dm. \([\alpha] = 1000 \cdot 3{,}00/(1{,}50 \cdot 20{,}0) = 100\).
Aussage 3
Die spezifische Drehung wird nach der konventionellen Arzneibuchdefinition in der Einheit Grad angegeben.
Die Einheit ist \(\mathrm{Grad \cdot mL \cdot dm^{-1} \cdot g^{-1}}\), weil durch Schichtdicke und Konzentration geteilt wird.
Aussage 4
Misst man dieselbe Lösung in einem doppelt so langen Rohr, verdoppelt sich der Drehwinkel, die spezifische Drehung bleibt aber gleich.
\(\alpha\) ist proportional zu \(l\), der Quotient \(\alpha/l\) und damit \([\alpha]\) bleibt konstant.
Aussage 5
Reflexion an den Fenstern des Polarimeterrohres verkleinert den gemessenen Drehwinkel.
Reflexion schwächt nur die Lichtintensität. Die Lage der Schwingungsebene und damit der Drehwinkel bleiben unverändert.
Aussage 6
Ob eine Ablesung von \(+40°\) tatsächlich \(+40°\) oder \(-140°\) bedeutet, lässt sich durch eine Messung im Rohr halber Länge entscheiden.
Zu erwarten sind \(+20°\) oder \(-70°\) (abgelesen als \(+110°\)). Die zweite Ablesung zeigt, welche Deutung stimmt.
Aussage 7
Das tiefgestellte D in \([\alpha]_D^{20}\) zeigt an, dass in einem deuterierten Lösungsmittel gemessen wurde.
D bezeichnet die Natrium-D-Linie mit 589,3 nm, also die Messwellenlänge.
Aussage 8
Um die spezifische Drehung zu berechnen, muss man die relative Molekülmasse des Stoffes kennen.
Die spezifische Drehung bezieht sich auf die Massenkonzentration. Eine Molmasse geht nicht ein.
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