Wellenlänge, Wellenzahl, Frequenz und Energie
Wie Wellenlänge, Wellenzahl, Frequenz und Photonenenergie zusammenhängen und wie man sie sicher mit Einheiten ineinander umrechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Wellenlänge, Wellenzahl, Frequenz und Photonenenergie beschreiben dieselbe elektromagnetische Strahlung, verknüpft über \(c = \lambda \cdot \nu\), \(\tilde{\nu} = 1/\lambda\) und \(E = h \cdot \nu\).
- Frequenz, Wellenzahl und Energie sind zueinander proportional und umgekehrt proportional zur Wellenlänge.
- Der Kehrwert einer Wellenzahl in \(\mathrm{cm^{-1}}\) ergibt Zentimeter; \(1\,\mathrm{cm} = 10^{4}\,\mu\mathrm{m} = 10^{7}\,\mathrm{nm}\).
- Ankerwerte: 500 nm = \(20\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\), 1000 nm = \(10\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\), 5 µm = \(2000\,\mathrm{cm^{-1}}\); 1 m Radiowelle entspricht 300 MHz.
- Ein Photon von 5 µm trägt etwa \(4 \cdot 10^{-20}\,\mathrm{J}\).
- Monochromasie und Polarisation sind unabhängige Eigenschaften: Monochromatisches Licht kann unpolarisiert sein.
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Worum es geht
Wellenlänge, Frequenz, Wellenzahl und Photonenenergie beschreiben dieselbe Strahlung aus verschiedenen Blickwinkeln. UV-Vis-Spektren nennen Nanometer, IR-Spektren Wellenzahlen in \(\mathrm{cm^{-1}}\). Wer beides vergleichen will, muss sicher umrechnen können.
Welle und Quant
Elektromagnetische Strahlung lässt sich auf zwei Arten beschreiben. Als Welle besteht sie aus gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern. Diese breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\) aus. Als Photonenstrom besteht sie aus einzelnen Energiepaketen, den Quanten. Beide Bilder gehören zusammen: Die Welleneigenschaften legen fest, wie viel Energie jedes Photon trägt.
Die Wellenlänge \(\lambda\) ist der Abstand zweier benachbarter Wellenberge. Die Frequenz \(\nu\) gibt an, wie viele Schwingungen pro Sekunde an einem Ort vorbeiziehen. Die Wellenzahl \(\tilde{\nu}\) zählt, wie viele Wellenlängen auf einen Zentimeter passen. Die Photonenenergie \(E\) ist die Energie eines einzelnen Quants.
\[c = \lambda \cdot \nu \qquad \tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} \qquad E = h \cdot \nu = \frac{h \cdot c}{\lambda} = h \cdot c \cdot \tilde{\nu}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\lambda\) | Wellenlänge | m (praktisch nm, µm) |
| \(\nu\) | Frequenz | Hz \(= \mathrm{s^{-1}}\) |
| \(\tilde{\nu}\) | Wellenzahl | \(\mathrm{cm^{-1}}\) |
| \(c\) | Lichtgeschwindigkeit, \(3{,}0 \cdot 10^{8}\) | m/s |
| \(h\) | Planck-Konstante, \(6{,}63 \cdot 10^{-34}\) | J·s |
| \(E\) | Energie eines Photons | J |
Frequenz, Wellenzahl und Energie wachsen gemeinsam. Die Wellenlänge läuft entgegengesetzt. Halbe Wellenlänge bedeutet also doppelte Wellenzahl, doppelte Frequenz und doppelte Photonenenergie. Man kann sich das wie ein geschwungenes Seil vorstellen: Je schneller man es bewegt, desto enger liegen die Berge und desto mehr Energie steckt darin.
Deshalb regt kurzwelliges UV-Licht Elektronen an, langwelliges Infrarot dagegen Molekülschwingungen. Welche Vorgänge zu welchem Bereich gehören, zeigt Spektralbereiche und ihre Wirkung auf Materie.
Umrechnung der Größen
Im Labor tauchen die Größen in unterschiedlichen Einheiten auf. UV-Vis-Spektren tragen die Wellenlänge in nm auf, IR-Spektren die Wellenzahl in \(\mathbf{cm^{-1}}\). Frequenzen gibt man in Hertz an, also in \(\mathrm{s^{-1}}\). Die Vorsätze selbst stehen bei Größen und Einheiten. Für die Praxis reichen drei Beziehungen:
- \(1\,\mathrm{cm} = 10^{4}\,\mu\mathrm{m} = 10^{7}\,\mathrm{nm}\)
- \(\tilde{\nu}\) in \(\mathrm{cm^{-1}}\) \(= 10^{4}/\lambda\) in µm \(= 10^{7}/\lambda\) in nm
- \(\nu = c/\lambda\), mit \(\lambda\) in Metern
Als Beispiel dient eine IR-Bande bei \(1250\,\mathrm{cm^{-1}}\). Gesucht sind Wellenlänge und Frequenz.
- Kehrwert bilden: \(\lambda = 1/(1250\,\mathrm{cm^{-1}}) = 8{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{cm}\).
- In µm umrechnen: \(8{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{cm} \cdot 10^{4}\,\mu\mathrm{m/cm} = 8{,}0\,\mu\mathrm{m}\).
- In Meter umrechnen: \(8{,}0\,\mu\mathrm{m} = 8{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}\).
- Frequenz berechnen: \(\nu = (3{,}0 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s})/(8{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}) = 3{,}75 \cdot 10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\).
Der umgekehrte Weg funktioniert genauso. Eine Wellenlänge von \(2{,}5 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{cm}\) ergibt mal \(10^{7}\) genau 250 nm und liegt damit im UV. Bei Radiowellen wird die Frequenz greifbar: 1 m Wellenlänge entspricht \(3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{s^{-1}}\), also 300 MHz.
Die Umrechnung über \(\lambda = 1/\tilde{\nu}\) und \(c = \lambda \cdot \nu\) wird im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist die Einheit: Der Kehrwert einer Wellenzahl in \(\mathrm{cm^{-1}}\) liefert Zentimeter, die man mit \(10^{4}\) in µm oder mit \(10^{7}\) in nm umrechnet.
Wer für \(\nu = c/\lambda\) die Wellenlänge in nm einsetzt, liegt um den Faktor \(10^{9}\) daneben. Ebenso oft wird der Kehrwert vergessen und die Wellenzahl einfach mit \(10^{4}\) multipliziert.
Bei Einheiten hilft ein Blick auf die Dimension. Frequenzen enden auf Hertz. Kilodalton beschreibt dagegen eine Molekülmasse und Hektopascal einen Druck.
Zwei weitere Eigenschaften beschreiben Strahlung unabhängig von ihrer Wellenlänge. Monochromatische Strahlung enthält nur eine einzige Wellenlänge, etwa die Natrium-D-Linie bei 589 nm. Die Polarisation beschreibt die Schwingungsrichtung des elektrischen Feldes. In linear polarisiertem Licht schwingt es nur in einer Ebene. Beide Merkmale sind voneinander unabhängig: Das monochromatische Licht einer Natriumdampflampe ist zunächst unpolarisiert. Erst ein Polarisator ordnet die Schwingungsebene, wie im Polarimeter.
Typische Wertepaare
Einige Wertepaare lohnen sich als Ankerpunkte. Mit ihnen prüft man ein Ergebnis sofort auf Plausibilität. Über \(\tilde{\nu} = 10^{7}/\lambda\) in nm lassen sie sich in Sekunden nachrechnen.
| Wellenlänge | Wellenzahl | Bereich |
|---|---|---|
| 333 nm | \(30\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\) | UV |
| 500 nm | \(20\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\) | Vis (grün) |
| 1000 nm | \(10\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\) | NIR |
| 5 µm | \(2000\,\mathrm{cm^{-1}}\) | MIR |
Sichtbares Licht hat also rund zehnmal höhere Wellenzahlen als typische Banden im mittleren Infrarot. Das MIR reicht etwa von 4000 bis \(400\,\mathrm{cm^{-1}}\). Werte zwischen 10 000 und \(30\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\) fallen deshalb in NIR, Vis und UV. Die genauen Bereichsgrenzen behandelt Spektralbereiche und ihre Wirkung auf Materie.
Auch die Energie eines Quants lässt sich abschätzen. Für 5 µm gilt:
\[E = \frac{h \cdot c}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\,s} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}}{5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}} \approx 4 \cdot 10^{-20}\,\mathrm{J}\]
Ein Photon grünen Lichts von 500 nm trägt zehnmal so viel, etwa \(4 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}\). Einzelne Quanten aus IR, Vis und UV liegen damit zwischen etwa \(10^{-20}\) und \(10^{-18}\,\mathrm{J}\). Ein Wert um \(10^{-16}\,\mathrm{J}\) gehört schon zur Röntgenstrahlung. Bei einer IR-Aufgabe verrät er einen verrutschten Exponenten.
Quiz
Aussage 1
Grünes Licht von 500 nm hat eine etwa zehnmal höhere Wellenzahl als MIR-Strahlung von 5 µm.
500 nm entsprechen \(20\,000\,\mathrm{cm^{-1}}\), 5 µm entsprechen \(2000\,\mathrm{cm^{-1}}\).
Aussage 2
Monochromatisches Licht ist immer zugleich linear polarisiert.
Monochromasie betrifft die Wellenlänge, Polarisation die Schwingungsrichtung. Das Licht einer Natriumdampflampe ist monochromatisch, aber unpolarisiert.
Aussage 3
Ein Photon der Wellenlänge 5 µm trägt eine Energie von etwa \(4 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}\).
Mit \(E = hc/\lambda\) ergibt sich etwa \(4 \cdot 10^{-20}\,\mathrm{J}\). Werte um \(10^{-16}\,\mathrm{J}\) gehören zur Röntgenstrahlung.
Aussage 4
Eine Radiowelle mit 1 m Wellenlänge hat eine Frequenz von 300 MHz.
\(\nu = c/\lambda = (3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s})/(1\,\mathrm{m}) = 3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{s^{-1}} = 300\,\mathrm{MHz}\).
Aussage 5
Eine IR-Bande bei \(2000\,\mathrm{cm^{-1}}\) entspricht einer Wellenlänge von 5 µm.
\(\lambda = 1/(2000\,\mathrm{cm^{-1}}) = 5 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{cm} = 5\,\mu\mathrm{m}\).
Aussage 6
Halbiert man die Wellenlänge einer Strahlung, halbiert sich auch die Energie ihrer Photonen.
Die Energie ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge. Halbe Wellenlänge bedeutet doppelte Photonenenergie.
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