Absorption, Transmission und Lambert-Beer-Gesetz
Wie Absorption und Transmission definiert sind, wie man sie ineinander umrechnet und welche Proportionalitäten das Lambert-Beer-Gesetz beschreibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Transmission \(T = I/I_0\) ist der Bruchteil des Lichts, der die Probe verlässt, die Absorption \(A = \lg(I_0/I) = -\lg T\) ist ihr negativer dekadischer Logarithmus und dimensionslos.
- Umrechnung über \(T = 10^{-A}\): \(A = 1\) entspricht 10 %, \(A = 2\) entspricht 1 %, doppelte Absorption bedeutet also keine halbierte Transmission.
- Packmittel mit geringer Transmission in einem Spektralbereich schützen besser, etwa Braunglas gegen UV- und kurzwelliges Licht.
- Das Lambert-Beer-Gesetz lautet \(A = \varepsilon \cdot c \cdot d\) mit \(c\) in mol/L und \(d\) in cm, \(A\) ist proportional zu \(c\), \(d\) und \(\varepsilon\).
- Die Intensität fällt exponentiell mit der Schichtdicke, die Absorption steigt linear, und \(A\) wie \(\varepsilon\) sind unabhängig von der Lichtintensität.
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Worum es geht
Jede UV-Vis-photometrische Gehaltsbestimmung beruht auf einer einzigen Messgröße: Sie gibt an, wie viel Licht eine Lösung schluckt. Diese Einheit definiert Absorption und Transmission und führt zum Lambert-Beer-Gesetz, das die Absorption mit der Konzentration verknüpft. Dasselbe Prinzip erklärt, warum lichtempfindliche Arzneistoffe in Braunglas abgefüllt werden.
Absorption und Transmission
Schickt man Licht durch eine Lösung, tritt hinten weniger aus, als vorne eingestrahlt wurde. Die eingestrahlte Intensität heißt \(I_0\), die austretende \(I\). Aus beiden Werten lassen sich zwei gleichwertige Messgrößen bilden.
Die Transmission \(T = \frac{I}{I_0}\) ist der Bruchteil der eingestrahlten Intensität, der die Probe wieder verlässt. Die Absorption \(A = \lg \frac{I_0}{I} = -\lg T\) ist der negative dekadische Logarithmus der Transmission.
Die Transmission liegt zwischen 0 und 1 und wird oft in Prozent angegeben. Die Absorption ist dimensionslos. Sie ist der Logarithmus eines Verhältnisses zweier Intensitäten, die Einheiten kürzen sich also heraus. Ältere Texte nennen sie Extinktion \(E\). Auf der Absorption beruht die Messgröße der UV-Vis-Spektroskopie: Ein Absorptionsspektrum trägt \(A\) gegen die Wellenlänge auf.
Wie das Schema zeigt, braucht man für \(A\) nur \(I_0\) und \(I\). Die Schichtdicke geht in diese Rechnung nicht ein. Fällt die Intensität etwa von 800 auf 200 Einheiten, ist \(T = 0{,}25\) und \(A = \lg 4 = 0{,}60\). Umgekehrt liefert die Absorption das Intensitätsverhältnis: \(\frac{I_0}{I} = 10^{A}\). Bei \(A = 2\) ist \(I_0/I = 100\), nur 1 % des Lichts kommt am Detektor an.
Logarithmischer Zusammenhang
Durch den Logarithmus bedeutet jede Erhöhung von \(A\) um 1 ein Zehntel der vorherigen Transmission. Stellt man die Definition um, erhält man:
\[T = 10^{-A}\]
Die Umrechnung zwischen \(A\) und \(T\) wird im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist \(T = 10^{-A}\), die naheliegende Rechnung \(T = 1 - A\) ist falsch. Die Tabelle zeigt einige Wertepaare zum Abschätzen.
| \(A\) | \(T\) | \(T\) in % |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 100 % |
| 0,3 | 0,5 | 50 % |
| 1 | 0,1 | 10 % |
| 2 | 0,01 | 1 % |
| 3 | 0,001 | 0,1 % |
Zwei Lösungen zeigen \(A_1 = 0{,}1\) und \(A_2 = 1{,}1\). So bestimmt man ihre Transmissionen und deren Verhältnis:
- Formel wählen: \(T = 10^{-A}\), mit dem dekadischen Logarithmus rechnen, nicht mit ln.
- Erste Lösung: \(T_1 = 10^{-0{,}1} = 0{,}794\), also 79,4 %.
- Zweite Lösung: \(T_2 = 10^{-1{,}1} = 0{,}0794\), also 7,94 %.
- Verhältnis bilden: \(T_1/T_2 = 10^{A_2 - A_1} = 10^{1} = 10\). Die erste Lösung lässt zehnmal so viel Licht durch.
Doppelte Absorption bedeutet keine halbierte Transmission. Steigt \(A\) von 1 auf 2, fällt \(T\) von 10 % auf 1 %, also um den Faktor 10.
Transmission als Lichtschutz
Die Transmission beschreibt auch Packmittel. Je weniger ein Glas in einem Spektralbereich durchlässt, desto besser schützt es den Inhalt vor dieser Strahlung. Braunglas hat im UV und im kurzwelligen sichtbaren Bereich eine geringe Transmission. Farbloses Glas lässt dort deutlich mehr durch. Deshalb füllt man lichtempfindliche Arzneistoffe und Zubereitungen in Braunglas ab.
Lambert-Beer-Gesetz
Wie stark eine Lösung absorbiert, hängt von der Probe ab. Lambert beschrieb den Einfluss des Lichtwegs, Beer den der Konzentration. Zusammen ergibt sich das Lambert-Beer-Gesetz:
\[A = \varepsilon \cdot c \cdot d\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A\) | Absorption | dimensionslos |
| \(\varepsilon\) | molarer Absorptionskoeffizient, stoffspezifisch, abhängig von Wellenlänge und Lösungsmittel | \(\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}\) |
| \(c\) | Stoffmengenkonzentration des absorbierenden Stoffs | mol/L |
| \(d\) | Schichtdicke | cm |
Die Schichtdicke \(d\) ist der Weg, den das Licht durch die Probe zurücklegt. In der Photometrie entspricht sie der Innenweite der Küvette, meist 1 cm. Was \(\varepsilon\) genau ausdrückt und wie seine Einheit zustande kommt, erklärt die Einheit zum molaren Absorptionskoeffizienten.
Das Lambert-Beer-Gesetz \(A = \varepsilon \cdot c \cdot d\) ist ein Examensklassiker. Achte auf die Größen und Einheiten: \(c\) ist die Stoffmengenkonzentration in mol/L, \(d\) die Schichtdicke in cm, und \(A\) bleibt dimensionslos.
Exponentielle Abnahme der Intensität
Man kann sich die Lösung als Stapel dünner Schichten vorstellen. Jede Schicht schluckt denselben Bruchteil des Lichts, das bei ihr ankommt. Halbiert jede Schicht den Rest, bleiben 100 %, 50 %, 25 %, dann 12,5 %. Die Intensität fällt also exponentiell mit der Schichtdicke ab, nicht linear:
\[I = I_0 \cdot 10^{-\varepsilon \cdot c \cdot d}\]
Der Logarithmus macht aus dieser Kurve eine Gerade. Jede Halbierung der Intensität erhöht \(A\) um 0,30, die Absorption wächst also linear mit \(d\). Deshalb rechnet man in der Analytik mit \(A\) und nicht mit \(T\).
Proportionalitäten
Da \(A\) ein reines Produkt ist, ist die Absorption jedem Faktor direkt proportional. Ein Arzneistoff mit \(\varepsilon = 12\,000\ \mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}\) ergibt bei \(c = 5 \cdot 10^{-5}\) mol/L in einer 1-cm-Küvette \(A = 0{,}60\). Die Proportionalitäten solltest du sicher können, denn aus ihnen folgen alle Abschätzungen ohne Taschenrechner:
- Doppelte Konzentration ergibt doppelte Absorption. Umgekehrt zeigt doppelte Absorption doppelte Konzentration an.
- Doppelte Schichtdicke bei gleicher Konzentration ergibt doppelte Absorption.
- Ein Stoff mit doppeltem \(\varepsilon\) absorbiert bei gleichem \(c\) und \(d\) doppelt so stark.
- Halbe Konzentration in doppelter Schichtdicke ergibt dieselbe Absorption, weil das Produkt \(c \cdot d\) gleich bleibt.
Misst man eine Verdünnungsreihe desselben Stoffs bei einer Wellenlänge in derselben Küvette, liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden. Ihre Steigung ist \(\varepsilon \cdot d\). Auf dieser Kalibriergeraden beruhen quantitative Gehaltsbestimmungen, das Rechnen selbst übt die Einheit Rechnen mit dem Lambert-Beer-Gesetz.
In einer solchen Reihe ist \(\varepsilon\) konstant. Er ist eine Stoffkonstante für die gewählte Wellenlänge und das Lösungsmittel. Er wandert nicht mit der Konzentration mit. Statt der Stoffmengenkonzentration kann man auch die Massenkonzentration einsetzen. Dann tritt die spezifische Absorption an die Stelle von \(\varepsilon\). Die Absorption hängt also von beiden Konzentrationsangaben ab.
Unabhängigkeit von der Lichtintensität
In der Formel taucht \(I_0\) nicht auf. Das folgt direkt aus der Definition der Absorption.
Die Absorption ist ein Intensitätsverhältnis. Eine doppelt so helle Lampe liefert doppelt so viel austretendes Licht, \(I_0/I\) und damit \(A\) bleiben gleich.
Bei Gültigkeit des Gesetzes ist die Absorption also unabhängig von der Intensität der Lichtquelle. Sie ist auch nicht umgekehrt proportional zu ihr. Dasselbe gilt für \(\varepsilon\), denn er beschreibt nur den Stoff.
Typische Fehler
Die meisten Rechenfehler entstehen an wenigen Stellen:
- Logarithmus: Die Absorption verwendet lg, nicht ln.
- Einheiten: \(d\) in cm einsetzen, eine 10-mm-Küvette hat \(d = 1\) cm. \(c\) gehört in mol/L.
- Prozentwerte: Vor dem Logarithmieren in einen Bruch umrechnen, also \(A = -\lg 0{,}25\) statt \(-\lg 25\).
- Begriffe: Der durchgelassene Bruchteil ist die Transmission. \(\varepsilon\) beschreibt dagegen, wie stark ein Stoff absorbiert.
Quiz
Aussage 1
Im Lambert-Beer-Gesetz \(A = \varepsilon \cdot c \cdot d\) wird die Konzentration in mol/L und die Schichtdicke in cm eingesetzt.
\(c\) ist die Stoffmengenkonzentration in mol/L, \(d\) die Schichtdicke in cm, passend zur Einheit von \(\varepsilon\).
Aussage 2
Eine Lösung mit der Absorption \(A = 1\) lässt 10 % des eingestrahlten Lichts durch.
Es gilt \(T = 10^{-A} = 10^{-1} = 0{,}1\), also 10 %.
Aussage 3
Beim Durchtritt durch eine absorbierende Lösung nimmt die Lichtintensität linear mit der Schichtdicke ab.
Die Intensität nimmt exponentiell ab, \(I = I_0 \cdot 10^{-\varepsilon c d}\). Linear mit \(d\) steigt nur die Absorption.
Aussage 4
Verwendet man eine doppelt so intensive Lampe, halbiert sich die gemessene Absorption.
Die Absorption ist ein Intensitätsverhältnis. Mit \(I_0\) verdoppelt sich auch \(I\), \(A\) bleibt unverändert.
Aussage 5
Weil Braunglas im UV-Bereich eine geringe Transmission hat, schützt es lichtempfindliche Arzneistoffe besser als farbloses Glas.
Je geringer die Transmission in einem Spektralbereich, desto weniger dieser Strahlung erreicht den Inhalt.
Aussage 6
Verdoppelt sich die Absorption einer Probe, halbiert sich ihre Transmission.
Der Zusammenhang ist logarithmisch. Steigt \(A\) von 1 auf 2, fällt \(T\) von 10 % auf 1 %, also um den Faktor 10.
Aussage 7
Misst man eine halb so konzentrierte Lösung in einer Küvette mit doppelter Schichtdicke, erhält man dieselbe Absorption.
Das Produkt \(c \cdot d\) bleibt gleich, bei unverändertem \(\varepsilon\) also auch \(A\).
Aussage 8
Die Absorption trägt die Einheit \(\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}\).
Die Absorption ist als Logarithmus eines Intensitätsverhältnisses dimensionslos. Diese Einheit gehört zum molaren Absorptionskoeffizienten \(\varepsilon\).
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