Brechzahl, Lichtbrechung und Grenzwinkel der Totalreflexion
Wie die Brechzahl definiert ist, wie Licht an Grenzflächen gebrochen und total reflektiert wird und warum Refraktometer den Grenzwinkel messen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Brechzahl \(n = c_0/c\) beschreibt, wie stark ein Stoff Licht gegenüber dem Vakuum verlangsamt. Die Refraktometrie misst sie und beruht nicht auf dem Lambert-Beer-Gesetz.
- Luft hat mit etwa 1,0003 eine geringfügig größere Brechzahl als das Vakuum. Praktisch misst man die relative Brechzahl gegen Luft.
- Nach Snellius gilt \(n_1 \cdot \sin\alpha = n_2 \cdot \sin\beta\), alle Winkel zum Lot. Im optisch dichteren Medium ist der Winkel zum Lot kleiner.
- Der Grenzwinkel der Totalreflexion ist der Einfallswinkel im dichteren Medium, bei dem der Brechungswinkel 90° beträgt. Er hängt von beiden Brechzahlen und von der Wellenlänge ab.
- Refraktometer bestimmen die Brechzahl über den Grenzwinkel aus der Lage der Hell-Dunkel-Grenze im Messprisma: \(n_{Probe} = n_{Prisma} \cdot \sin\alpha_g\).
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Worum es geht
Licht ändert beim Übergang in einen anderen Stoff seine Geschwindigkeit und seine Richtung. Die Refraktometrie nutzt das, um die Brechzahl als stoffspezifische Kennzahl zu bestimmen. Im Arzneibuch dient sie etwa zur Identitäts- und Reinheitsprüfung von Ölen und Lösungsmitteln.
Prinzip und Definition
Licht erreicht seine volle Geschwindigkeit \(c_0\) nur im Vakuum. In Materie läuft es langsamer, und zwar je nach Stoff verschieden stark. Ein Medium, in dem Licht langsamer ist, heißt optisch dichter. Die Refraktometrie nutzt genau diese unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Sie bestimmt mit Licht definierter Wellenlänge die Brechzahl einer Substanz. Grundlagen zu Licht als Welle findest du bei elektromagnetischer Strahlung.
Anders als die Photometrie beruht die Refraktometrie nicht auf dem Lambert-Beer-Gesetz. Dort wird Licht durch Absorption geschwächt. Hier zählt nur, wie schnell das Licht läuft und wie stark es deshalb seine Richtung ändert.
\[n = \frac{c_0}{c}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(n\) | absolute Brechzahl (Brechungsindex) | dimensionslos |
| \(c_0\) | Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, etwa \(3{,}00 \cdot 10^8\) m/s | m/s |
| \(c\) | Lichtgeschwindigkeit in der Substanz | m/s |
Weil Licht in Materie immer langsamer ist, gilt stets \(n > 1\). Halbe Geschwindigkeit bedeutet doppelte Brechzahl. In Wasser läuft Licht mit etwa \(2{,}25 \cdot 10^8\) m/s. Daraus folgt \(n = 3{,}00/2{,}25 \approx 1{,}333\).
Auch Luft bremst das Licht ein wenig. Ihre absolute Brechzahl liegt mit etwa 1,0003 geringfügig über der des Vakuums, die definitionsgemäß genau 1 ist. In der Praxis misst man meist die relative Brechzahl gegen Luft. Sie ist der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit in Luft und der im Analyten. Der Unterschied zur absoluten Brechzahl ist für die meisten Zwecke vernachlässigbar.
Brechung und Totalreflexion
Trifft Licht schräg auf die Grenzfläche zweier Medien, knickt es ab. Alle Winkel misst man zum Lot, der Senkrechten auf der Grenzfläche. Der Einfallswinkel \(\alpha\) liegt im ersten Medium, der Brechungswinkel \(\beta\) im zweiten. Das Brechungsgesetz nach Snellius verknüpft beide:
\[n_1 \cdot \sin\alpha = n_2 \cdot \sin\beta\]
Beim Übergang ins optisch dichtere Medium wird Licht zum Lot hin gebrochen. Man kann sich eine Marschkolonne vorstellen, die schräg von Asphalt in Sand läuft. Die Seite, die zuerst im Sand ist, wird langsamer, und die Reihe schwenkt ein. Die Brechzahl steckt dabei im Verhältnis der Sinuswerte, nicht im Verhältnis der Winkel selbst.
Im umgekehrten Fall, vom dichteren ins dünnere Medium, wird der Strahl vom Lot weg gebrochen. Mit wachsendem Einfallswinkel nähert sich der Brechungswinkel deshalb 90°. Bei einem bestimmten Einfallswinkel erreicht er genau 90°. Das Licht tritt streifend aus und läuft entlang der Grenzfläche. Dieser Einfallswinkel im dichteren Medium ist der Grenzwinkel der Totalreflexion \(\alpha_g\). Mit \(\sin 90° = 1\) folgt aus dem Brechungsgesetz:
\[\sin\alpha_g = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2)\]
Ist der Einfallswinkel größer als \(\alpha_g\), verlässt kein Licht mehr das dichtere Medium. Es wird vollständig zurückgeworfen, das ist die Totalreflexion. Unterhalb des Grenzwinkels wird ein Teil gebrochen und ein Teil reflektiert.
Der Grenzwinkel selbst ist also nicht 90°. Er hängt vom Verhältnis der beiden Brechzahlen ab, im Refraktometer also von Analyt und Prismenmaterial. Jede Brechzahl variiert mit der Wellenlänge. Daher hängt der Grenzwinkel wie der Brechungswinkel von der Wellenlänge ab. Mehr dazu unter Einflussgrößen der Brechzahl.
Der streifend verlaufende Strahl liegt im optisch dünneren Medium, er kommt also aus dem dichteren. Der Winkel des Strahls im dichteren Medium zum Lot ist der Grenzwinkel. Der Winkel zwischen Lot und Grenzfläche beträgt immer 90° und ist kein Grenzwinkel.
Messung über den Grenzwinkel
Refraktometer bestimmen die Brechzahl üblicherweise über den Grenzwinkel der Totalreflexion. Dazu liegt ein dünner Probenfilm auf einem Messprisma aus Glas mit hoher, bekannter Brechzahl. Das Prisma ist das optisch dichtere Medium. Licht aus der Probe tritt unter allen Einfallswinkeln bis 90° ins Prisma ein.
Der streifend einfallende Strahl wird im Prisma am stärksten abgelenkt. Weil der Lichtweg umkehrbar ist, entspricht sein Winkel zum Lot im Prisma genau dem Grenzwinkel. Größere Winkel kommen im Prisma nicht vor. Im Fernrohr ist das Gesichtsfeld deshalb zweigeteilt: hell bis zum Grenzwinkel, dunkel darüber. Die Lage dieser Hell-Dunkel-Grenze liefert den Grenzwinkel und damit die Brechzahl der Probe.
So arbeitet auch das Abbe-Refraktometer. Aus dem Grenzwinkel folgt \(n_{Probe} = n_{Prisma} \cdot \sin\alpha_g\). Ein Beispiel:
- Gegeben: Prisma mit \(n_{Prisma} = 1{,}750\), gemessener Grenzwinkel \(\alpha_g = 55{,}0°\).
- Sinus bilden: \(\sin 55{,}0° = 0{,}8192\).
- Einsetzen: \(n_{Probe} = 1{,}750 \cdot 0{,}8192 = 1{,}434\).
- Plausibilität prüfen: Das Ergebnis liegt unter 1,750. Das muss so sein, sonst gäbe es keinen Grenzwinkel.
Typische Fehler sind ein vertauschter Quotient und Winkel, die zur Grenzfläche statt zum Lot gemessen werden. Der Taschenrechner muss auf Grad stehen. Einen Winkel der Totalabsorption misst das Refraktometer nicht. Es erfasst die Richtung des Lichts, nicht seine Schwächung.
Dass Refraktometer die Brechzahl über den Grenzwinkel der Totalreflexion bestimmen, wird im Examen gerne gefragt. Achte auf den Begriff: Es geht um Totalreflexion und nicht um Absorption, und der Winkel liegt im optisch dichteren Prisma.
Quiz
Aussage 1
Die Brechzahl lässt sich als Quotient aus Einfallswinkel und Brechungswinkel berechnen.
Nach Snellius stehen die Sinuswerte der Winkel im Verhältnis der Brechzahlen. Definiert ist die Brechzahl als \(n = c_0/c\).
Aussage 2
Die Refraktometrie beruht auf der Schwächung des Lichts nach dem Lambert-Beer-Gesetz.
Die Refraktometrie beruht auf unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichts in optisch unterschiedlich dichten Medien, nicht auf Absorption.
Aussage 3
Beim Grenzwinkel der Totalreflexion verläuft der gebrochene Strahl unter 90° zum Lot entlang der Grenzfläche.
Der Grenzwinkel ist der Einfallswinkel im dichteren Medium, bei dem der Brechungswinkel 90° beträgt und das Licht streifend austritt.
Aussage 4
Der Grenzwinkel der Totalreflexion ist unabhängig von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts.
Die Brechzahlen hängen von der Wellenlänge ab, daher auch der Grenzwinkel.
Aussage 5
Die absolute Brechzahl von Luft ist etwas größer als die des Vakuums.
Luft bremst Licht geringfügig, ihre Brechzahl liegt bei etwa 1,0003, die des Vakuums bei genau 1.
Aussage 6
Im Refraktometer ergibt sich die Brechzahl der Probe aus der Lage der Hell-Dunkel-Grenze, die den Grenzwinkel der Totalreflexion im Messprisma markiert.
Der streifend einfallende Strahl begrenzt den hellen Bereich beim Grenzwinkel. Daraus folgt \(n_{Probe} = n_{Prisma} \cdot \sin\alpha_g\).
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