Rechnen mit Stoffmenge, Masse und Gehalt
Wie man mit Stoffmenge und molarer Masse aus Massenanteilen eine Summenformel ableitet und Einwaagen sowie Reagenzmengen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die molare Masse \(M = m/n\) verbindet Masse und Stoffmenge. Jede stöchiometrische Rechnung läuft über Masse → Stoffmenge → Stoffmengenverhältnis → Masse.
- Aus Massenanteilen erhält man mit \(n_i = w_i/A_{r,i}\) das Atomverhältnis. Die Verhältnisformel wird erst mit der molaren Masse zur Summenformel.
- 84 % C und 16 % H ergeben ein Verhältnis C : H von etwa 7 : 16, also \(\ce{C7H16}\).
- 1 ppm entspricht 1 mg je kg. Für 1 kg Lösung mit 10 ppm Sulfat wiegt man etwa 18,1 mg \(\ce{K2SO4}\) ein, Faktor \(M(\ce{K2SO4})/M(\ce{SO4^2-}) = 1{,}814\).
- Acetanhydrid bindet Wasser im Verhältnis 1 : 1. Die nötige Masse ist \(n(\ce{H2O}) \cdot 102{,}09\) g/mol.
Worum es geht
Fast jede stöchiometrische Rechnung in der Analytik folgt demselben Weg: von der Masse zur Stoffmenge, über das Stoffmengenverhältnis zum zweiten Stoff und zurück zur Masse. So bestimmt man eine Summenformel aus der Elementaranalyse, setzt Vergleichslösungen für Grenzprüfungen an oder dosiert ein Reagenz zum Entwässern.
Grundgrößen
Chemische Reaktionen zählen Teilchen, die Waage misst aber Gramm. Die Brücke zwischen beiden ist die molare Masse. Mit ihr rechnet man eine Masse in die Stoffmenge \(n\) um und umgekehrt.
Die molare Masse \(M\) ist die Masse eines Stoffes geteilt durch seine Stoffmenge, \(M = m/n\), in g/mol. Sie ergibt sich als Summe der relativen Atommassen \(A_r\) aller Atome der Formel.
Der Massenanteil \(w\) gibt an, welcher Bruchteil der Gesamtmasse auf einen Bestandteil entfällt. Sehr kleine Anteile drückt man in ppm aus: 1 ppm bedeutet \(10^{-6}\), also 1 mg je kg.
Der Rechenweg ist immer gleich. Man teilt die bekannte Masse durch ihre molare Masse. Dann multipliziert man mit dem Stoffmengenverhältnis aus der Formel oder Gleichung. Zuletzt multipliziert man mit der molaren Masse des gesuchten Stoffes.
Summenformel aus Elementaranalyse
Die Elementaranalyse liefert Massenanteile. Teilt man jeden Anteil durch die Atommasse des Elements, \(n_i = w_i/A_{r,i}\), erhält man Stoffmengen bezogen auf 100 g Substanz. Ihr Verhältnis ergibt die Formel.
- Umrechnen: 92,3 % C und 7,7 % H entsprechen 92,3 g C und 7,7 g H je 100 g.
- Stoffmengen: \(n(\ce{C}) = 92{,}3/12{,}01 = 7{,}69\) mol, \(n(\ce{H}) = 7{,}7/1{,}008 = 7{,}64\) mol.
- Verhältnis: durch die kleinste Zahl teilen, ergibt C : H = 1 : 1, also die Verhältnisformel CH.
- Summenformel: Bei einer molaren Masse von 78 g/mol passt das Sechsfache, also \(\ce{C6H6}\) (Benzol).
Die Verhältnisformel nennt nur das kleinste ganzzahlige Atomverhältnis. Die Summenformel ist ein ganzzahliges Vielfaches davon. Welches Vielfache vorliegt, verrät erst die molare Masse.
Nicht immer kommt sofort eine glatte Zahl heraus. Bei 84 % C und 16 % H findet man \(n(\ce{C}) = 7{,}0\) mol und \(n(\ce{H}) = 15{,}9\) mol. Das Verhältnis H : C beträgt etwa 2,27 und entspricht 16 : 7. Die Verbindung ist am ehesten \(\ce{C7H16}\) (Heptan). Zur Kontrolle: \(M = 100{,}2\) g/mol, davon entfallen 84,1 g auf Kohlenstoff.
Stehen Formeln zur Auswahl, vergleicht man das berechnete H/C-Verhältnis mit dem jeder Kandidatenformel. Gerundet wird erst ganz am Ende.
Einwaage für ppm-Lösungen
Grenzprüfungen verlangen Vergleichslösungen mit einem bestimmten Gehalt an einem Ion. Eingewogen wird aber ein Salz. Man rechnet deshalb die Ionenmasse über das Verhältnis der molaren Massen auf das Salz um.
Für Sulfat aus Kaliumsulfat gilt: Eine Formeleinheit \(\ce{K2SO4}\) enthält zwei Kaliumionen und ein Sulfation. Daraus folgen \(M(\ce{K2SO4}) = 174{,}26\) g/mol und \(M(\ce{SO4^2-}) = 96{,}06\) g/mol. Der Umrechnungsfaktor beträgt \(174{,}26/96{,}06 = 1{,}814\).
\[m(\ce{K2SO4}) = m(\ce{SO4^2-}) \cdot \frac{M(\ce{K2SO4})}{M(\ce{SO4^2-})}\]
Beispiel: 500 g Lösung mit 50 ppm Sulfat enthalten \(500 \cdot 50 \cdot 10^{-6}\) g = 25 mg Sulfat. Die Einwaage beträgt \(25 \text{ mg} \cdot 1{,}814 = 45{,}4\) mg \(\ce{K2SO4}\). Entsprechend braucht man für 1 kg Lösung mit 10 ppm Sulfat etwa 18,1 mg \(\ce{K2SO4}\).
Das Salz ist schwerer als das Ion allein. Die Salzmasse muss also größer herauskommen, der Faktor steht mit \(M(\text{Salz})\) im Zähler.
Reagenzbedarf: Entwässerung
Für wasserfreie Titrationen braucht man Essigsäure ohne Wasser. Acetanhydrid entfernt das Restwasser, indem es damit zu Essigsäure reagiert. Die Gleichung zeigt ein Stoffmengenverhältnis von 1 : 1:
\[\ce{(CH3CO)2O + H2O -> 2 CH3COOH}\]
Der Rechenweg folgt dem bekannten Schema. Aus Masse und Massenanteil ergibt sich die Wassermasse, daraus die Stoffmenge Wasser. Diese multipliziert man mit der molaren Masse von Acetanhydrid, 102,09 g/mol:
\[m_{\text{Acetanhydrid}} = \frac{m_{\ce{H2O}}}{M_{\ce{H2O}}} \cdot M_{\text{Acetanhydrid}}\]
Beispiel: 200 g Essigsäure mit \(w = 99{,}0\) % enthalten 1,0 % Wasser, also 2,0 g. Das sind \(2{,}0/18{,}02 = 0{,}111\) mol. Man benötigt \(0{,}111 \cdot 102{,}09 = 11{,}3\) g Acetanhydrid.
Quiz
Aussage 1
Eine Lösung mit 25 ppm eines Ions enthält 25 mg dieses Ions je Kilogramm Lösung.
1 ppm entspricht einem Massenanteil von \(10^{-6}\), also 1 mg je kg.
Aussage 2
Ein Mol Acetanhydrid bindet bei der Hydrolyse zwei Mol Wasser.
Ein Molekül Acetanhydrid reagiert mit einem Molekül Wasser zu zwei Molekülen Essigsäure. Das Stoffmengenverhältnis Acetanhydrid zu Wasser ist 1 : 1.
Aussage 3
Um die Einwaage eines Salzes für eine Ionen-Vergleichslösung zu erhalten, multipliziert man die Ionenmasse mit \(M(\text{Ion})/M(\text{Salz})\).
Der Faktor lautet \(M(\text{Salz})/M(\text{Ion})\), weil das Salz schwerer ist als das Ion allein. Für Sulfat aus \(\ce{K2SO4}\) beträgt er 1,814.
Aussage 4
Eine Verbindung mit den Massenanteilen 84 % Kohlenstoff und 16 % Wasserstoff entspricht am ehesten der Summenformel \(\ce{C7H16}\).
Die Stoffmengen je 100 g betragen 7,0 mol C und 15,9 mol H. Das Verhältnis entspricht 7 : 16.
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