Signifikante Ziffern und Rundung von Ergebnissen
Wie man die signifikanten Ziffern eines Messwerts zählt und Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten mit der richtigen Stellenzahl angibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Signifikante Ziffern sind alle sicheren Ziffern eines Messwerts plus die erste geschätzte. Ihre Anzahl ist die Mindestzahl an Stellen ohne Verlust an Richtigkeit, etwa drei bei der Bürettenablesung 9,75 mL.
- Führende Nullen zählen nie: 0,02 hat eine signifikante Stelle.
- Eingeschlossene Nullen und Nullen am Ende hinter dem Komma zählen immer: 1005 hat vier, 3,0 hat zwei, 0,0200 hat drei signifikante Stellen.
- Bei Addition und Subtraktion bestimmt der Summand mit den wenigsten Nachkommastellen die Stellenzahl des Ergebnisses.
- Bei Multiplikation und Division bestimmt der Faktor mit den wenigsten signifikanten Ziffern die Stellenzahl des Ergebnisses. Gerundet wird erst am Ende.
Worum es geht
Ein Messwert ist nur so genau, wie das Messgerät es zulässt. Die Zahl der angegebenen Ziffern zeigt diese Genauigkeit an. Wer ein Analysenergebnis berechnet, muss deshalb wissen, welche Ziffern zählen und wie weit er runden darf. Das gilt für jede Gehaltsbestimmung, von der Titration bis zur Einwaage auf der Analysenwaage.
Signifikante Ziffern
Jeder Messwert besteht aus Ziffern, die sicher sind, und einer letzten Ziffer, die geschätzt ist. Alle diese Ziffern zusammen heißen signifikante Ziffern. Mehr Stellen täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt. Weniger Stellen verschenken Information.
Die Anzahl signifikanter Ziffern ist die kleinste Zahl von Stellen, mit der sich ein Zahlenwert angeben lässt, ohne an Richtigkeit zu verlieren. Dazu gehören alle sicheren Ziffern und die erste unsichere.
An einer Bürette mit 0,1-mL-Teilung liest man die 9 und die 7 sicher ab. Steht der Meniskus zwischen zwei Strichen, schätzt man die Hundertstel. Der Wert 9,75 mL hat damit drei signifikante Ziffern. Eine vierte Stelle gibt die Skala nicht her.
Wann eine Null zählt
Die Ziffern 1 bis 9 sind immer signifikant. Schwierig sind die Nullen. Entscheidend ist, ob eine Null gemessen wurde oder nur die Lage des Kommas festlegt.
- Führende Nullen stehen vor der ersten von null verschiedenen Ziffer. Sie sind Platzhalter und zählen nicht: 0,02 hat eine signifikante Stelle.
- Eingeschlossene Nullen stehen zwischen von null verschiedenen Ziffern. Sie zählen immer: 1005 hat vier signifikante Stellen.
- Nachgestellte Nullen hinter dem Komma zählen ebenfalls. Wer 3,0 schreibt, hat die Zehntel gemessen. Darum hat 3,0 zwei signifikante Stellen, die Zahl 3 nur eine.
Am klarsten wird das in der Zehnerpotenzschreibweise. Aus 0,0200 wird \(2{,}00 \cdot 10^{-2}\). Die führenden Nullen verschwinden in der Potenz, die nachgestellten bleiben stehen. Also hat 0,0200 drei signifikante Stellen.
So zählst du an weiteren Werten:
| Zahlenwert | Zehnerpotenz | Signifikante Ziffern | Grund |
|---|---|---|---|
| 0,005 | \(5 \cdot 10^{-3}\) | 1 | nur führende Nullen |
| 0,0507 | \(5{,}07 \cdot 10^{-2}\) | 3 | eingeschlossene Null zählt |
| 40,08 | \(4{,}008 \cdot 10^{1}\) | 4 | eingeschlossene Nullen zählen |
| 2,500 | \(2{,}500 \cdot 10^{0}\) | 4 | Nullen am Ende hinter dem Komma zählen |
| 0,10 | \(1{,}0 \cdot 10^{-1}\) | 2 | vorn zählt nicht, hinten schon |
Das Zählen der Nullen ist ein Examensklassiker: Führende Nullen zählen nie, eingeschlossene Nullen und Nullen am Ende hinter dem Komma immer. Bei Werten wie 0,0200 greifen beide Regeln zugleich: Die zwei Nullen vorn fallen weg, die zwei hinten zählen, also drei Stellen.
Bei ganzen Zahlen wie 1500 ist offen, ob die Endnullen gemessen sind. Eindeutig wird der Wert erst als Zehnerpotenz: \(1{,}5 \cdot 10^{3}\) hat zwei, \(1{,}500 \cdot 10^{3}\) vier signifikante Ziffern.
Addition und Subtraktion
Beim Addieren und Subtrahieren zählt die absolute Lage der unsicheren Stelle. Eine Summe kann nicht genauer sein als ihr ungenauester Summand. Deshalb erhält das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie der Summand mit den wenigsten Nachkommastellen. Die Zahl der signifikanten Ziffern spielt hier keine Rolle.
Man schreibt die Zahlen am besten mit ausgerichteten Kommas untereinander. Wo eine Zahl endet, sind die Stellen dahinter unbekannt und nicht etwa null. In der Abbildung endet 85,6 bei den Zehnteln. Die Summe 98,362 wird daher auf 98,4 gerundet.
Der Rechenweg in Schritten:
- Einheiten angleichen: Alle Werte in dieselbe Einheit bringen, sonst passen die Stellen nicht zusammen.
- Kürzesten Summanden suchen: Die Zahl mit den wenigsten Nachkommastellen legt die letzte gültige Stelle fest.
- Ungerundet rechnen: Die Summe zunächst mit allen Stellen bilden.
- Am Ende runden: Auf die Nachkommastellen des kürzesten Summanden runden, ab 5 wird aufgerundet.
Für die Subtraktion gilt dasselbe. Bei einer Titration steht die Bürette anfangs auf 0,2 mL, am Ende auf 18,46 mL. Der Verbrauch beträgt rechnerisch 18,26 mL. Korrekt angegeben sind 18,3 mL, weil der Anfangswert nur eine Nachkommastelle hat.
Die Regel kann die Zahl der signifikanten Ziffern verändern. Bei 9,8 + 0,45 = 10,25 rundet man auf 10,3. Das Ergebnis hat drei signifikante Ziffern, obwohl 9,8 nur zwei hat.
Multiplikation und Division
Beim Multiplizieren und Dividieren pflanzt sich die relative Unsicherheit fort. Mehr dazu steht bei Messunsicherheit und Standardabweichung. Maßgeblich ist hier nicht die Stelle hinter dem Komma. Es zählt die Zahl der signifikanten Ziffern: Das Ergebnis erhält so viele wie der Faktor mit den wenigsten. Für Quotienten gilt das genauso.
Diese Regel wird im Examen gerne gefragt, meist als Produkt mehrerer Messwerte. Zähle zuerst die signifikanten Ziffern jedes Faktors und runde erst danach. Ein Beispiel ist die Masse einer Lösung aus Volumen und Dichte:
- Stellen zählen: 24,38 mL hat vier, 1,05 g/mL hat drei signifikante Ziffern.
- Rechnen: \(m = 24{,}38\,\mathrm{mL} \cdot 1{,}05\,\mathrm{g/mL} = 25{,}599\,\mathrm{g}\)
- Runden: Der schwächste Faktor hat drei Stellen. Das Ergebnis lautet 25,6 g.
Bei einer Division können Nullen am Ende nötig werden. Löst man 0,00245 mol in 0,2500 L, ergibt sich rechnerisch 0,0098 mol/L. Mit drei signifikanten Ziffern lautet das Ergebnis 0,00980 mol/L oder \(9{,}80 \cdot 10^{-3}\) mol/L. Ohne die Endnull behauptet der Wert nur zwei Stellen.
Reine Zahlenfaktoren begrenzen die Stellenzahl nicht. Eine gezählte Anzahl oder der Faktor 2 aus einer Reaktionsgleichung ist exakt. Bei mehrstufigen Rechnungen rundet man nur das Endergebnis. Zwischenwerte behält man mit ein bis zwei Stellen mehr, damit sich Rundungsfehler nicht aufsummieren.
Die beiden Regeln an denselben Zahlen:
Maßgeblich sind die Nachkommastellen. Beispiel: 0,12 + 3,456 = 3,576, gerundet 3,58.
Maßgeblich sind die signifikanten Ziffern. Beispiel: 0,12 · 3,456 = 0,41472, gerundet 0,41.
Plus und Minus zählen Kommastellen, Mal und Geteilt zählen Ziffern.
Quiz
Aussage 1
Der Messwert 2,030 g hat drei signifikante Ziffern.
Er hat vier: Die eingeschlossene Null und die Null am Ende hinter dem Komma zählen beide.
Aussage 2
Der Zahlenwert 0,0050 besitzt zwei signifikante Ziffern.
Die drei führenden Nullen sind Platzhalter, die 5 und die Null am Ende hinter dem Komma zählen.
Aussage 3
Das Produkt aus 3,2 und 1,457 wird korrekt als 4,7 angegeben.
Rechnerisch ergibt sich 4,6624. Der Faktor 3,2 hat zwei signifikante Ziffern, also wird auf 4,7 gerundet.
Aussage 4
Bei der Bürettenablesung 9,75 mL ist die letzte Ziffer geschätzt und trotzdem signifikant.
Signifikant sind alle sicheren Ziffern plus die erste unsichere. Die 5 ist geschätzt, der Wert hat drei signifikante Ziffern.
Aussage 5
Die Summe aus 4,7 g und 0,128 g wird korrekt als 4,83 g angegeben.
4,7 g hat nur eine Nachkommastelle. Die Summe 4,828 g wird daher auf 4,8 g gerundet.
Aussage 6
Bei einer Addition richtet sich das Ergebnis nach dem Summanden mit den wenigsten signifikanten Ziffern.
Bei der Addition zählen die Nachkommastellen: Der Summand mit den wenigsten Nachkommastellen bestimmt das Ergebnis.
Aussage 7
Exakte Zahlenfaktoren wie der Faktor 2 aus einer Reaktionsgleichung begrenzen die Zahl der signifikanten Ziffern eines Produkts nicht.
Solche Faktoren sind exakt und keine Messwerte. Die Stellenzahl bestimmen nur die gemessenen Größen.
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