Präzision und Richtigkeit von Analysenverfahren
Präzision und Richtigkeit sind zwei voneinander unabhängige Kenngrößen eines Analysenverfahrens: Die eine beschreibt die Streuung der Messwerte, die andere die Lage ihres Mittelwerts zum wahren Wert.
Das Wichtigste in Kürze
- Präzision und Richtigkeit sind unabhängige Kenngrößen eines Analysenverfahrens: Präzision beschreibt die Streuung der Einzelwerte, Richtigkeit die Lage des Mittelwerts zum wahren Wert.
- Präzision wird als relative Standardabweichung angegeben (\(\mathrm{RSD} = s/\bar{x} \cdot 100\,\%\)); eine kleinere RSD bedeutet höhere Präzision, ein großer zufälliger Fehler geringe Präzision.
- Bei der Vergleichspräzision dürfen Bearbeiter, Gerät, Labor und Tag wechseln, die Probe bleibt dieselbe; die Wiederholpräzision gilt für gleiche Bedingungen.
- Richtigkeit korreliert mit dem systematischen Fehler und wird bei bekanntem wahrem Wert als relativer Fehler angegeben oder per Referenzmethode bestimmt.
- Eng liegende Werte mit abweichendem Mittelwert sind präzise, aber unrichtig; Genauigkeit verlangt Präzision und Richtigkeit zugleich.
Worum es geht
Ob eine Gehaltsbestimmung taugt, entscheidet nicht ein einzelner Messwert. Entscheidend ist, wie eng wiederholte Ergebnisse beieinanderliegen und ob sie am wahren Wert liegen. Diese beiden Fragen beantworten Präzision und Richtigkeit, die Grundpfeiler jeder Validierung in der Arzneimittelprüfung.
Präzision
Die Präzision beschreibt, wie gut die Einzelwerte einer Mehrfachbestimmung untereinander übereinstimmen. Man analysiert dieselbe Probe mehrmals und prüft, wie stark die Ergebnisse um ihren eigenen Mittelwert streuen. Der Sollwert spielt dabei keine Rolle. Präzision ist damit ein Maß für die Reproduzierbarkeit eines Analysenergebnisses bei wiederholter Durchführung.
Ursache der Streuung ist der zufällige Fehler. Er schwankt von Messung zu Messung in Richtung und Betrag. Ein großer zufälliger Fehler bedeutet deshalb eine geringe Präzision, ein kleiner eine hohe.
Maß: die relative Standardabweichung
Zahlenmäßig erfasst man die Präzision über die Standardabweichung \(s\) der Messwerte. Je kleiner \(s\), desto größer die Präzision. Um Verfahren mit verschiedenen Gehalten oder Messgrößen zu vergleichen, bezieht man \(s\) auf den Mittelwert. So entsteht die relative Standardabweichung (RSD), auch Variationskoeffizient genannt.
\[\mathrm{RSD} = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100\,\%\]
\(s\) ist die Standardabweichung, \(\bar{x}\) der Mittelwert in derselben Einheit. Die RSD ist dimensionslos und wird in Prozent angegeben.
Eine Gehaltsbestimmung liefert fünf Werte: 99,2; 99,6; 99,4; 99,8 und 99,5 mg.
- Mittelwert: \(\bar{x}\) = 497,5 mg / 5 = 99,5 mg.
- Standardabweichung: Die Abweichungsquadrate ergeben zusammen 0,20 mg². Geteilt durch \(n-1 = 4\) sind das 0,05 mg², die Wurzel liefert \(s\) = 0,22 mg.
- RSD: 0,22 mg / 99,5 mg · 100 % = 0,22 %.
Eine kleinere RSD bedeutet eine höhere Präzision, eine größere RSD eine geringere.
Die Definition der Präzision ist ein Examensklassiker: Streuung der Einzelwerte um den eigenen Mittelwert, angegeben als (relative) Standardabweichung. Achte darauf, dass eine Abweichung vom wahren Wert oder Referenzwert nie die Präzision beschreibt, sondern die Richtigkeit.
Nicht verwechseln darf man die RSD mit der relativen Unsicherheit. Diese bezieht die Unsicherheit eines einzelnen Werts, etwa die Ablesegenauigkeit einer Bürette, auf den Messwert. Sie ist kein Maß für die Präzision eines Verfahrens. Über die Streuung wiederholter Bestimmungen sagt sie nichts.
Präzision ist eine Eigenschaft des konkreten Verfahrens, nicht der Gerätegattung. Instrumentelle Methoden sind deshalb nicht generell präziser als Titrationen. Eine sorgfältig ausgeführte Titration erreicht oft eine sehr kleine RSD.
Wiederhol- und Vergleichspräzision
Wie stark Messwerte streuen, hängt davon ab, wie viel sich zwischen den Messungen ändert. Deshalb unterscheidet man mehrere Präzisionsebenen. Eines bleibt auf allen Ebenen gleich: Es wird dieselbe Probe untersucht.
Die Wiederholpräzision erfasst die Streuung unter möglichst gleichen Bedingungen. Ein Bearbeiter misst mit einem Gerät im selben Labor in kurzer Zeit. Man gibt sie als Standardabweichung dieser wiederholten Messungen an. Sie zeigt, wie reproduzierbar die Methode im günstigsten Fall arbeitet.
Die Vergleichspräzision ist ebenfalls ein Maß für die Reproduzierbarkeit, aber unter wechselnden Bedingungen. Bearbeiter, Geräteausrüstung, Labor und Tag der Durchführung dürfen wechseln. Nur das Untersuchungsobjekt bleibt unverändert. Die Streuung der Ergebnisse verschiedener Laboratorien beschreibt also die Vergleichspräzision. Liegen die Werte mehrerer Labore eng beieinander, ist die Reproduzierbarkeit hoch. Organisiert wird ein solcher Vergleich als Ringversuch.
Mit jeder Bedingung, die wechseln darf, kommen neue zufällige Einflüsse hinzu. Die Streuung wächst daher von innen nach außen. Zwischen beiden Ebenen liegt die Laborpräzision: mehrere Tage, Personen oder Geräte, aber nur ein Labor.
Stimmen die Ergebnisse verschiedener Laboranten gut überein, ist das ein Befund zur Präzision. Über die Richtigkeit verrät es nichts, denn alle können denselben systematischen Fehler mitschleppen.
Richtigkeit
Die Richtigkeit beschreibt, wie gut der Mittelwert mehrerer Bestimmungen mit dem wahren Wert übereinstimmt. Statt vom wahren Wert spricht man auch vom Sollwert oder Erwartungswert. Man betrachtet den Mittelwert oder Median, nicht einzelne Werte. Zufällige Fehler gleichen sich im Mittel nämlich weitgehend aus.
Was nach dem Mitteln übrig bleibt, ist der systematische Fehler. Er verschiebt alle Werte in dieselbe Richtung, etwa durch eine falsch eingestellte Maßlösung oder eine verunreinigte Referenzsubstanz. Die Richtigkeit korreliert deshalb mit dem systematischen Fehler: Je größer er ist, desto schlechter die Richtigkeit. Die Breite der Verteilung ändert er nicht, wie die Abbildung zeigt.
Angabe und Bestimmung
Ist der wahre Wert bekannt, gibt man die Richtigkeit als relativen Fehler an.
\[f_{\mathrm{rel}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\mu} \cdot 100\,\%\]
\(\bar{x}\) ist der Mittelwert der Bestimmungen, \(\mu\) der wahre Wert. Das Vorzeichen zeigt, ob das Verfahren zu hoch oder zu niedrig misst.
Ein Beispiel: Eine Prüflösung enthält laut Einwaage 50,0 mg Wirkstoff. Die Mehrfachbestimmung ergibt im Mittel 49,2 mg. Der relative Fehler beträgt (49,2 − 50,0) / 50,0 · 100 % = −1,6 %, das Verfahren liefert also zu niedrige Werte.
Die relative Standardabweichung ist kein Maß für die Richtigkeit, denn sie beschreibt nur die Streuung. Diese Zuordnung gehört zum Pflichtprogramm im Examen: Richtigkeit als relativer Fehler zum wahren Wert, Präzision als RSD zum eigenen Mittelwert. Achte also immer auf den Bezugspunkt.
Oft kennt man den wahren Wert nicht. Dann vergleicht man den Mittelwert einer Mehrfachbestimmung mit dem Ergebnis einer etablierten Referenzmethode. Weichen die Mittelwerte zweier Methoden deutlich voneinander ab, obwohl beide wenig streuen, sind die Methoden nicht gleich richtig. Mindestens eine trägt dann einen systematischen Fehler. Wie man solche Daten auswertet, zeigt der Methodenvergleich.
Präzision und Richtigkeit im Vergleich
Präzision und Richtigkeit sind voneinander unabhängig. Die Präzision spiegelt den systematischen Fehler nicht wider. Verschiebt ein solcher Fehler alle Werte gleichmäßig, bleibt ihre Streuung unverändert. Ein großer systematischer Fehler beeinträchtigt die Präzision also nicht. Umgekehrt verrät eine kleine Streuung nichts über die Lage des Mittelwerts.
Man kann sich das wie Treffer auf einer Zielscheibe vorstellen. Die Ausdehnung der Trefferwolke zeigt die Präzision, ihre Lage zur Mitte die Richtigkeit.
Typisch ist der Fall präzise, aber unrichtig. Die Werte liegen eng beieinander, ihr Mittelwert weicht aber deutlich vom Sollwert ab. Das ist das Kennzeichen eines systematischen Fehlers. Es gibt auch den umgekehrten Fall richtig, aber unpräzise. Die Einzelwerte streuen stark, Mittelwert oder Median liegen aber am Erwartungswert. Große Streuung bedeutet geringe Präzision, schließt gute Richtigkeit aber nicht aus.
- Streuung der Einzelwerte untereinander
- Bezug: eigener Mittelwert
- Ursache: zufälliger Fehler
- Maß: Standardabweichung, RSD
- Lage des Mittelwerts
- Bezug: wahrer Wert oder Referenzmethode
- Ursache: systematischer Fehler
- Maß: relativer Fehler
Beide Kenngrößen fasst der Oberbegriff Genauigkeit zusammen. Ein Ergebnis ist nur dann genau, wenn es präzise und richtig ist. Auf der Zielscheibe erfüllt das nur die eng gebündelte Trefferwolke in der Mitte.
Präzision fragt nach der Breite, Richtigkeit nach der Lage. Präzision ist Zufall, Richtigkeit ist System.
Quiz
Aussage 1
Die Präzision beschreibt die Streuung der Einzelwerte einer Mehrfachbestimmung um ihren eigenen Mittelwert, unabhängig vom Sollwert.
Präzision bezieht sich nur auf die Übereinstimmung der Werte untereinander, der wahre Wert spielt keine Rolle.
Aussage 2
Ein großer systematischer Fehler führt stets zu einer geringen Präzision.
Ein systematischer Fehler verschiebt alle Werte gleichmäßig, die Streuung bleibt gleich. Er verschlechtert die Richtigkeit, nicht die Präzision.
Aussage 3
Bei bekanntem wahrem Wert gibt man die Richtigkeit als relative Standardabweichung an.
Die RSD beschreibt die Präzision. Die Richtigkeit wird als relativer Fehler des Mittelwerts gegenüber dem wahren Wert angegeben.
Aussage 4
Ein Verfahren mit einer RSD von 2 % ist präziser als eines mit einer RSD von 0,5 %.
Je kleiner die RSD, desto höher die Präzision. Das Verfahren mit 0,5 % ist präziser.
Aussage 5
Liefern zwei Methoden bei jeweils geringer Streuung deutlich verschiedene Mittelwerte, sind sie nicht von gleicher Richtigkeit.
Unterschiedliche Mittelwerte bei kleiner Streuung zeigen, dass mindestens eine Methode einen systematischen Fehler trägt.
Aussage 6
Die relative Unsicherheit eines Einzelwerts eignet sich als Maß für die Präzision eines Analysenverfahrens.
Die relative Unsicherheit bezieht die Unsicherheit eines einzelnen Werts auf den Messwert. Präzisionsmaß ist die (relative) Standardabweichung wiederholter Bestimmungen.
Aussage 7
Die Richtigkeit eines Analysenverfahrens korreliert mit dessen systematischem Fehler.
Der systematische Fehler verschiebt den Mittelwert vom wahren Wert weg und verschlechtert so die Richtigkeit.
Aussage 8
Zur Bestimmung der Vergleichspräzision darf dieselbe Probe in verschiedenen Laboratorien von verschiedenen Bearbeitern untersucht werden.
Bei der Vergleichspräzision dürfen Bearbeiter, Gerät, Labor und Tag wechseln, nur das Untersuchungsobjekt bleibt gleich.
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