Lineare Kalibrierung und Regression
Wie man Kalibriergeraden aufstellt und bewertet, Arbeits- und Bestimmungsbereich nutzt, Residuen deutet und an Titrationsgeraden systematische Fehler erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine lineare Kalibrierfunktion \(A = a \cdot c + b\) beschreibt das Messsignal als Gerade der Konzentration, ihre Steigung ist die Empfindlichkeit.
- Eine Ursprungsgerade (\(b = 0\)) zeigt direkte Proportionalität und Gültigkeit des Lambert-Beerschen Gesetzes, für eine Linearitätsprüfung braucht man mindestens drei Punkte.
- Die Probenkonzentration soll in der Mitte des Arbeitsbereichs liegen, bei der Verfahrenswahl zählen Bestimmungsbereich und Empfindlichkeit.
- Das Bestimmtheitsmaß \(R^2\) beschreibt die Güte der Regression, nicht die Richtigkeit. Ein trichterförmiger Residuenplot zeigt Heteroskedastizität und verlangt gewichtete Regression.
- Die Steigung einer Titrationsgeraden ist das Äquivalent. Eine Steigungsabweichung weist auf einen falschen Titer, eine Parallelverschiebung auf einen konstanten Mehrverbrauch.
Worum es geht
Fast jede Gehaltsbestimmung mit Photometer oder HPLC rechnet ein Messsignal über eine Kalibriergerade in eine Konzentration um. Wie gut diese Gerade ist und in welchem Bereich sie gilt, entscheidet über die Verlässlichkeit des Ergebnisses.
Linearität und Kalibrierfunktion
Eine Kalibrierfunktion verknüpft das Messsignal mit der Analytkonzentration. Wie man sie mit Standards aufnimmt, steht unter Kalibrierung, Relativmethoden und Standards. Linearität heißt: Dieser Zusammenhang lässt sich als Gerade darstellen.
\[A = a \cdot c + b\]
Dabei ist \(A\) die Absorption, \(c\) die Konzentration in mg/L, \(a\) die Steigung in L/mg und \(b\) der Achsenabschnitt. Ist \(b = 0\), läuft die Gerade durch den Ursprung. Die Absorption ist dann der Konzentration direkt proportional, das Lambert-Beersche Gesetz gilt im betrachteten Bereich.
Durch zwei Punkte passt immer eine Gerade. Linearität prüfen kann man daher erst mit mindestens drei Kalibrierpunkten.
Im Diagramm liest man drei Dinge ab. Eng an der Geraden liegende Punkte zeigen Linearität. Der Schnitt mit der y-Achse liefert \(b\). Die Steigung \(\Delta A / \Delta c\) aus dem Steigungsdreieck ist die Empfindlichkeit. Für eine Probe geht man von ihrer Absorption waagerecht zur Geraden und senkrecht hinab zur Konzentrationsachse. Rechnerisch gilt \(c = (A - b)/a\). Mit \(a = 0{,}035\) L/mg und \(b = 0\) ergibt \(A = 0{,}42\) also 12 mg/L.
Arbeits- und Bestimmungsbereich
Der Arbeitsbereich ist der Konzentrationsbereich, in dem die Kalibrierfunktion gilt und Präzision und Richtigkeit belegt sind. Der Bestimmungsbereich beginnt an der Bestimmungsgrenze und umfasst alle Konzentrationen, die sich verlässlich quantifizieren lassen.
Die Probe verdünnt man so, dass sie in der Mitte des Arbeitsbereichs liegt. Zu den Rändern hin wird die Gerade unsicherer, außerhalb gilt sie nicht. Bei der Auswahl eines Verfahrens müssen Bestimmungsbereich und Empfindlichkeit zur erwarteten Konzentration passen. Für Spuren braucht man eine steile Kalibriergerade.
Regression und Gewichtung
Die lineare Regression beschreibt, wie die abhängige Variable (Signal) von der unabhängigen (Konzentration) abhängt. Sie legt die Gerade so, dass die Summe der quadrierten Abstände der Punkte minimal wird. Diese Abstände heißen Residuen. Der Korrelationskoeffizient \(r\) beurteilt die Güte der Regression. Sein Quadrat, das Bestimmtheitsmaß \(R^2\), gibt den Anteil der Streuung an, den die Gerade erklärt.
Ein \(R^2\) nahe 1 zeigt nur, dass die Punkte eng an einer Geraden liegen. Über die Richtigkeit sagen weder \(R^2\) noch die Streuung der Kalibrierpunkte etwas aus, denn ein verfälschter Standard verschiebt alle Punkte gleichsinnig.
Mehr verrät der Residuenplot, die Auftragung der Residuen gegen die Konzentration. Ein gleich breites Band um null zeigt konstante Varianz. Öffnet sich ein Trichter zu hohen Konzentrationen, wächst die Streuung mit der Konzentration. Diese konzentrationsabhängige Varianz heißt Heteroskedastizität. Ein Bogen deutet dagegen auf Krümmung, also fehlende Linearität.
Bei Heteroskedastizität bestimmen in der ungewichteten Regression die stark streuenden hohen Punkte die Lage der Geraden. Die gewichtete Regression gibt jedem Punkt ein Gewicht, meist \(1/s^2\). Die präzisen niedrigen Punkte zählen dann stärker, und sie ist hier die bessere Wahl.
Titrationsgeraden und systematische Fehler
Auch Titrationen lassen sich als Gerade auswerten. Trägt man die eingesetzte Masse NaCl gegen das Volumen der Maßlösung auf, ergibt sich theoretisch eine Ursprungsgerade. Ihre Steigung ist das Äquivalent, also die Masse Analyt je mL Maßlösung. Für Silbernitrat 0,05 mol/L gilt:
\[m(\ce{NaCl}) = 2{,}922\,\mathrm{mg/mL} \cdot V\]
Ein Milliliter entspricht 2,922 mg NaCl, denn 0,05 mmol mal 58,44 mg/mmol ergibt diesen Wert.
Liegen die Messpunkte exakt auf dieser Ursprungsgeraden, deutet nichts auf einen systematischen Fehler. Zeigt die Abweichung dagegen stets in dieselbe Richtung und wächst mit dem Volumen, ist sie systematisch. Die Abbildung zeigt die beiden typischen Muster.
Proportionaler Fehler: Die Gerade läuft durch den Ursprung, aber flacher oder steiler. Typische Ursache ist ein falscher Titer der Maßlösung.
Konstanter Fehler: Die Steigung stimmt, der Achsenabschnitt nicht. Beispiel: Chlorid-Ionen in der Salpetersäure verbrauchen in jeder Probe gleich viel Silbernitrat (Volhard-Bestimmung).
Quiz
Aussage 1
Ein Bestimmtheitsmaß \(R^2\) von 0,999 belegt, dass die Kalibrierung richtige Gehalte liefert.
\(R^2\) beschreibt nur, wie eng die Punkte an einer Geraden liegen. Über die Richtigkeit sagt es nichts aus.
Aussage 2
Um die Linearität einer Kalibrierung zu prüfen, reichen zwei Kalibrierpunkte aus.
Durch zwei Punkte passt immer eine Gerade. Linearität lässt sich erst mit mindestens drei Punkten prüfen.
Aussage 3
Wird die Streuung der Residuen mit steigender Konzentration immer breiter, ist eine gewichtete lineare Regression besser geeignet als eine ungewichtete.
Der Trichter zeigt konzentrationsabhängige Varianz (Heteroskedastizität). Die Gewichtung, meist mit \(1/s^2\), lässt die präzisen Punkte stärker zählen.
Aussage 4
Enthält die verwendete Salpetersäure Chlorid-Ionen, verschiebt sich die Titrationsgerade parallel, ihre Steigung bleibt aber erhalten.
Das Chlorid verbraucht in jeder Probe dieselbe Menge Silbernitrat. Das ist ein konstanter Fehler, eine Steigungsabweichung weist dagegen auf einen falschen Titer.
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