Empfindlichkeit als Steigung der Kalibrierfunktion
Die Empfindlichkeit eines Analysenverfahrens ist die Steigung seiner Kalibrierfunktion: wie sie definiert ist, welche Einheit sie trägt und wie man Empfindlichkeiten vergleicht.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Empfindlichkeit eines Analysenverfahrens ist die Steigung der Kalibrierfunktion, also die Signaländerung je Konzentrationsänderung (\(E = \Delta y/\Delta x\)).
- Der Achsenabschnitt verschiebt die Gerade nur parallel und ändert die Empfindlichkeit nicht. Die kleinste nachweisbare Menge ist die Nachweisgrenze, nicht die Empfindlichkeit.
- Auch die Steigung der Standardadditionsgeraden und die Steilheit der Glaselektrode (ideal rund 59 mV je pH-Einheit bei 25 °C) geben die Empfindlichkeit an.
- Die Einheit ist Signal durch Konzentration. Bei dimensionsloser Absorption gegen Massenkonzentration ist sie eine reziproke Massenkonzentration, etwa 0,070 L/mg = 70 mL/mg.
- Empfindlichkeiten vergleicht man über die Steigungen. Eine flachere Gerade bedeutet bei gleicher Signalstreuung eine größere Unsicherheit der berechneten Konzentration (\(s_x \approx s_y/b\)).
Worum es geht
Jede Kalibrierung beantwortet auch die Frage, wie stark das Messsignal auf eine Konzentrationsänderung reagiert. Diese Kenngröße heißt Empfindlichkeit und gehört zu den Grundbegriffen der Methodenvalidierung. Sie entscheidet mit darüber, wie sicher sich etwa der Gehalt eines Arzneistoffs photometrisch bestimmen lässt.
Definition der Empfindlichkeit
Eine Kalibrierfunktion ordnet jeder Konzentration des Analyten ein Messsignal zu. Wie man sie aufstellt, zeigt die Einheit Lineare Kalibrierung und Regression. Hier zählt nur eine Frage: Um wie viel ändert sich das Signal, wenn sich die Konzentration ändert?
Die Empfindlichkeit eines Analysenverfahrens ist die Steigung seiner Kalibrierfunktion. Sie gibt an, um wie viel das Messsignal zunimmt, wenn die Konzentration des Analyten um eine Einheit steigt.
Für eine lineare Kalibrierung \(y = a + b \cdot x\) ist die Empfindlichkeit einfach die Steigung \(b\). Dabei ist \(y\) das Messsignal, \(x\) die Konzentration und \(a\) der Achsenabschnitt. Bei gekrümmten Kalibrierfunktionen gilt die Ableitung. Die Empfindlichkeit hängt dann von der Konzentration ab.
\[E = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \quad \text{bei linearer Kalibrierung:} \quad E = b = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Man kann sich eine steile Kalibriergerade wie eine Lupe vorstellen. Sie vergrößert kleine Konzentrationsunterschiede zu großen Signalunterschieden. Eine flache Gerade dagegen lässt verschiedene Konzentrationen fast gleich aussehen.
Was die Empfindlichkeit nicht ist
Der Achsenabschnitt \(a\) ist das Signal ohne Analyt, also etwa ein Blindwert. Ändert er sich, verschiebt sich die Gerade nur parallel. Die Steigung bleibt gleich und damit auch die Empfindlichkeit. Die Abbildung zeigt das an zwei parallelen Geraden mit verschiedenem Achsenabschnitt.
Auch die Standardabweichung wiederholter Messungen beschreibt etwas anderes. Sie misst die Streuung der Werte und damit die Präzision. Die Steigung ist deshalb kein Maß für die Präzision. Umgekehrt bestimmt man die Empfindlichkeit nicht über die Standardabweichung. Die Streuung der Messwerte ist auch nicht proportional zur Empfindlichkeit.
| Kenngröße | beschreibt | in der Kalibrierung |
|---|---|---|
| Empfindlichkeit | Signaländerung je Konzentrationsänderung | Steigung \(b\) |
| Achsenabschnitt | Signal ohne Analyt | Wert von \(y\) bei \(x = 0\) |
| Präzision | Streuung wiederholter Messungen | Standardabweichung der Signale |
| Nachweisgrenze | kleinste noch nachweisbare Menge | aus Rauschen und Steigung |
Im Alltag nennt man einen Test „empfindlich“, wenn er kleinste Mengen erkennt. Analytisch ist diese kleinste noch detektierbare Menge aber die Nachweisgrenze, eine Konzentration, während die Empfindlichkeit eine Steigung ist.
Die Nachweisgrenze hängt zwar auch von der Steigung ab. Zusätzlich geht aber das Rauschen ein. Zwei gleich empfindliche Verfahren können deshalb verschiedene Nachweisgrenzen haben.
Dieselbe Idee bei anderen Geraden
Beim Standardadditionsverfahren trägt man das Signal gegen die zugesetzte Konzentration auf. Auch die Steigung dieser Standardadditionsgeraden gibt die Empfindlichkeit an, und zwar direkt in der Probenmatrix.
Bei der Glaselektrode heißt die Steigung traditionell Steilheit. Sie gibt an, wie stark sich das Potential je pH-Einheit ändert, ideal rund 59 mV bei 25 °C. Die Steilheit ist also die Empfindlichkeit der Elektrode. Mehr dazu steht unter Direktpotentiometrie und Nernst-Steilheit.
Ein Examensklassiker: Die Empfindlichkeit ist die Steigung der Kalibrierfunktion, auch bei der Standardadditionsgeraden und als Steilheit der Glaselektrode. Achsenabschnitt und Standardabweichung beschreiben andere Eigenschaften, und die kleinste nachweisbare Menge ist die Nachweisgrenze.
Einheit der Empfindlichkeit
Eine Steigung ist ein Quotient aus Signaländerung und Konzentrationsänderung. Ihre Einheit ist deshalb immer die Einheit des Signals geteilt durch die Einheit der Konzentration. Man muss sie nicht auswendig lernen, sondern liest sie an den Achsen ab.
In der Photometrie ist das Signal die Absorption \(A\). Sie ist dimensionslos. Trägt man sie gegen die Massenkonzentration \(\beta\) auf, bleibt nur die Konzentrationseinheit im Nenner übrig. Die Einheit der Empfindlichkeit wird im Examen gerne gefragt: Sie ist dann eine reziproke Massenkonzentration, also Volumen pro Masse wie L/mg oder \(\mathrm{mL \cdot mg^{-1}}\).
| Messung | Signal | Konzentration | Einheit der Empfindlichkeit |
|---|---|---|---|
| Photometrie | \(A\) (dimensionslos) | \(\beta\) in mg/L | L/mg |
| Photometrie | \(A\) (dimensionslos) | \(\beta\) in mg/mL | mL/mg |
| Photometrie | \(A\) (dimensionslos) | \(c\) in mol/L | L/mol |
| Glaselektrode | Potential in mV | pH (dimensionslos) | mV je pH-Einheit |
Bei molarer Konzentration entspricht die Steigung nach dem Lambert-Beer-Gesetz dem Produkt \(\varepsilon \cdot d\). Mit \(\varepsilon\) in \(\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}\) und der Schichtdicke \(d\) in cm ergibt sich wieder L/mol.
Rechnen mit einer Zweipunktkalibrierung
Bei einer Zweipunktkalibrierung misst man zwei Standards jeweils mehrfach. Die Gerade legt man durch die beiden Mittelwerte. Die Abbildung zeigt je drei Messungen bei 2,0 mg/L und 10,0 mg/L.
- Mittelwerte bilden: Bei 2,0 mg/L ergibt sich \(\bar{A} = 0{,}152\), bei 10,0 mg/L \(\bar{A} = 0{,}712\).
- Differenzen bilden: \(\Delta A = 0{,}712 - 0{,}152 = 0{,}560\) und \(\Delta\beta = 10{,}0 - 2{,}0 = 8{,}0\) mg/L.
- Steigung berechnen: \(E = \Delta A / \Delta\beta = 0{,}560 / 8{,}0\ \mathrm{mg/L} = 0{,}070\) L/mg.
- Einheit umrechnen: 1 L sind 1000 mL, also \(0{,}070\ \mathrm{L/mg} = 70\ \mathrm{mL \cdot mg^{-1}}\).
Nützlich ist noch eine Gleichheit: 1 mg/L entspricht 1 µg/mL. Die gleiche Empfindlichkeit lässt sich deshalb auch als 0,070 mL/µg schreiben. Der Zahlenwert bleibt dabei gleich, weil sich Zähler und Nenner um denselben Faktor ändern.
Bei einer reziproken Einheit steht das Volumen im Zähler. Wechselt man von L zu mL, wird der Zahlenwert deshalb 1000-mal größer, nicht kleiner.
Empfindlichkeitsvergleich
Weil die Empfindlichkeit eine Steigung ist, vergleicht man Empfindlichkeiten über die Steigungen der Kalibriergeraden. Ein typischer Fall ist dieselbe Substanz, gemessen bei zwei Wellenlängen. Die steilere Gerade gehört zur empfindlicheren Messung. Der Achsenabschnitt spielt dabei keine Rolle.
In der Abbildung steigt die Gerade für \(\lambda_1\) zwischen 0 und 20 mg/L von 0,02 auf 0,62. Ihre Steigung beträgt also \(0{,}60 / 20\ \mathrm{mg/L} = 0{,}030\) L/mg. Die Gerade für \(\lambda_2\) steigt nur von 0,05 auf 0,29. Das ergibt \(0{,}24 / 20\ \mathrm{mg/L} = 0{,}012\) L/mg. Die Messung bei \(\lambda_1\) ist damit 2,5-mal empfindlicher, obwohl ihr Achsenabschnitt kleiner ist.
Photometrisch ist die Empfindlichkeit meist im Absorptionsmaximum am größten, weil dort der Absorptionskoeffizient am höchsten ist. Welche weiteren Kenngrößen die Wellenlänge in der HPLC beeinflusst, zeigt die Einheit Einfluss der Detektionswellenlänge in der HPLC.
Empfindlichkeit und Unsicherheit des Ergebnisses
Aus einem gemessenen Signal berechnet man die Konzentration rückwärts: \(x = (y - a)/b\). Jedes Signal streut ein wenig. Diese Streuung überträgt sich auf die berechnete Konzentration, und zwar geteilt durch die Steigung. Näherungsweise gilt \(s_x \approx s_y / b\).
Die Abbildung zeigt ein Signalband gleicher Breite an einer steilen und an einer flachen Geraden. An der flachen Geraden wird das zugehörige Konzentrationsintervall breiter. Eine geringere Empfindlichkeit führt also zu einer größeren Unsicherheit des Analysenergebnisses. Eine größere Steigung verringert sie dagegen.
Ein Zahlenbeispiel mit den beiden Wellenlängen: Die Absorption streue mit \(s_A = 0{,}006\). Bei \(\lambda_1\) entspricht das \(0{,}006 / 0{,}030\ \mathrm{L/mg} = 0{,}20\) mg/L. Bei \(\lambda_2\) sind es \(0{,}006 / 0{,}012\ \mathrm{L/mg} = 0{,}50\) mg/L. Die Empfindlichkeit beeinflusst damit die Präzision des Ergebnisses. Sie bleibt aber eine eigene Kenngröße und ist selbst kein Präzisionsmaß. Wie man Streuung beschreibt, steht unter Messunsicherheit, Fehlerarten und Standardabweichung.
Quiz
Aussage 1
Trägt man die dimensionslose Absorption gegen die Massenkonzentration in mg/mL auf, hat die Empfindlichkeit die Einheit \(\mathrm{mL \cdot mg^{-1}}\).
Die Einheit ist Signaleinheit durch Konzentrationseinheit. Bei dimensionslosem Signal bleibt die reziproke Massenkonzentration.
Aussage 2
Bei gleicher Streuung des Messsignals liefert die flachere Kalibriergerade die kleinere Unsicherheit der berechneten Konzentration.
Die Signalstreuung wird durch die Steigung geteilt (\(s_x \approx s_y/b\)). Die flachere Gerade ergibt daher die größere Unsicherheit.
Aussage 3
Unter der Empfindlichkeit versteht man die kleinste Konzentration, die ein Verfahren noch nachweisen kann.
Die kleinste noch nachweisbare Menge ist die Nachweisgrenze. Die Empfindlichkeit ist die Steigung der Kalibrierfunktion.
Aussage 4
Haben zwei Kalibriergeraden dieselbe Steigung, ist diejenige mit dem größeren Achsenabschnitt empfindlicher.
Der Achsenabschnitt verschiebt die Gerade nur parallel. Bei gleicher Steigung sind beide Verfahren gleich empfindlich.
Aussage 5
Die Steilheit einer Glaselektrode, also die Potentialänderung je pH-Einheit, ist ihre Empfindlichkeit.
Die Steilheit ist die Steigung der Kalibrierfunktion Potential gegen pH und damit die Empfindlichkeit.
Aussage 6
Die Empfindlichkeit eines Analysenverfahrens entspricht der Steigung seiner Kalibrierfunktion.
Die Empfindlichkeit ist definiert als Signaländerung je Konzentrationsänderung, also als Steigung.
Aussage 7
Eine photometrische Empfindlichkeit von 0,045 L/mg entspricht 0,045 mL/mg.
Das Volumen steht im Zähler, also wird der Zahlenwert beim Wechsel von L zu mL 1000-mal größer: 0,045 L/mg = 45 mL/mg.
Aussage 8
Von zwei Kalibriergeraden bei verschiedenen Wellenlängen gehört die steilere zur empfindlicheren Messung, auch wenn ihr Achsenabschnitt kleiner ist.
Empfindlichkeiten vergleicht man allein über die Steigungen. Der Achsenabschnitt spielt dafür keine Rolle.
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