Transmission, Extinktion und Lambert-Beer’sches Gesetz
Wie man die Schwächung von Licht in einer Lösung als Transmission und Extinktion angibt, beide ineinander umrechnet und mit dem Lambert-Beer’schen Gesetz auf Konzentration und Schichtdicke bezieht.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Lambert-Beer’sche Gesetz beschreibt die teilweise Absorption von Licht in einer Lösung: \(A = \lg(I_0/I) = \varepsilon \cdot c \cdot d\).
- Die Transmission ist \(T = I/I_0\), die Extinktion ist \(A = -\lg T\); beide sind dimensionslos.
- \(E = 1\) entspricht 10 % Transmission, \(E = 2\) entspricht 1 %, bei \(E > 1\) kommen weniger als 10 % durch.
- Die Extinktion steigt linear mit Konzentration und Schichtdicke, die Transmission fällt dagegen exponentiell.
- Der Absorptionskoeffizient hängt von der Lösung und der Frequenz des Lichts ab.
- Die Treibhauswirkung von \(\ce{CO2}\) beruht auf der Absorption infraroter Strahlung.
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Worum es geht
Schickt man Licht durch eine gefärbte Lösung, kommt hinten weniger an. Wie viel weniger, beschreiben Transmission und Extinktion, und das Lambert-Beer’sche Gesetz verknüpft die Extinktion mit der Konzentration. Darauf beruht jede photometrische Gehaltsbestimmung, die du in der Spektroskopie anwendest.
Lichtabsorption
Eine farbige Lösung schluckt einen Teil des sichtbaren Lichts. Eine Kaliumpermanganatlösung etwa absorbiert vor allem Grün und erscheint deshalb violett. Das Licht wird beim Durchgang nur teilweise geschwächt. Genau diese teilweise Absorption beschreibt das Lambert-Beer’sche Gesetz.
Wie stark eine Lösung absorbiert, fasst der Absorptionskoeffizient \(\alpha\) zusammen. Er ist keine Naturkonstante. Er hängt von der Lösung ab, also vom gelösten Stoff und seinem Lösungsmittel, und von der Frequenz des Lichts. Deshalb misst man im Photometer bei einer festen Wellenlänge, meist im Absorptionsmaximum.
Transmission und Extinktion
Das Messprinzip ist einfach. Licht der Intensität \(I_0\) fällt auf eine Küvette der Schichtdicke \(d\). Hinter der Küvette kommt nur noch die kleinere Intensität \(I\) an.
Die Transmission ist der durchgelassene Anteil:
\[T = \frac{I}{I_0}\]
Sie liegt zwischen 0 und 1 oder wird in Prozent angegeben. Die Extinktion \(E\), international Absorbanz \(A\) genannt, ist ihr negativer dekadischer Logarithmus:
\[A = \lg\frac{I_0}{I} = -\lg T\]
Beide Größen sind dimensionslos. Der Logarithmus macht aus jedem Zehntelschritt der Transmission einen Einheitsschritt der Extinktion. Eine Extinktion \(E = 1\) entspricht also 10 % Transmission. Bei \(E > 1\) kommen weniger als 10 % des Lichts durch.
| Transmission \(T\) | Extinktion \(A\) |
|---|---|
| 100 % | 0 |
| 50 % | 0,30 |
| 10 % | 1 |
| 1 % | 2 |
| 0,1 % | 3 |
Jede Extinktionseinheit mehr heißt: nur noch ein Zehntel der vorherigen Transmission.
Oft ist der absorbierte Anteil gegeben. Dann rechnest du zuerst die Transmission aus, denn nur sie steht in der Formel.
- Absorbierter Anteil: Eine Lösung absorbiert 75 % des Lichts.
- Transmission: \(T = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\).
- Extinktion: \(A = -\lg 0{,}25 \approx 0{,}60\).
Das folgende Diagramm zeigt die Transmission dreier Lösungen über der Schichtdicke. Je konzentrierter die Lösung, desto steiler fällt die Kurve. Zwei Ablesungen musst du beherrschen. Die Lösung mit \(E > 1\) bei 1 cm ist die Kurve, die an der senkrechten 1-cm-Linie unter \(T = 0{,}1\) liegt. Die Schichtdicke für 10 % Transmission findest du dort, wo eine Kurve die waagrechte 0,1-Linie schneidet. An diesem Punkt ist \(E = 1\).
Lambert-Beer’sches Gesetz
Das Gesetz verbindet die Extinktion mit der Menge absorbierender Teilchen im Lichtweg.
\[A = \lg\frac{I_0}{I} = \varepsilon \cdot c \cdot d\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A\) | Extinktion (Absorbanz) | dimensionslos |
| \(I_0\), \(I\) | Intensität vor und hinter der Probe | W/m² |
| \(\varepsilon\) | molarer Extinktionskoeffizient | L/(mol·cm) |
| \(c\) | Stoffmengenkonzentration | mol/L |
| \(d\) | Schichtdicke | cm |
Der molare Extinktionskoeffizient \(\varepsilon\) ist die Extinktion einer Lösung mit 1 mol/L bei 1 cm Schichtdicke. Wie \(\alpha\) hängt er vom Stoff und von der Wellenlänge ab.
Man kann sich vorstellen, dass das Licht die Teilchen zählt, an denen es vorbeikommt. Doppelte Konzentration oder doppelte Schichtdicke bedeutet doppelt so viele Teilchen im Lichtweg. Die Extinktion steigt daher linear mit \(c\) und mit \(d\), genauer mit dem Produkt \(c \cdot d\). Bei fester Schichtdicke ist sie direkt proportional zur Konzentration. Das nutzt man für Kalibriergeraden.
Die Transmission verhält sich anders. Jede zusätzliche Schicht lässt nur denselben Bruchteil durch, deshalb fällt \(T\) exponentiell. Verdoppelt man die Konzentration, wird aus \(T = 0{,}8\) der Wert \(T^2 = 0{,}64\) und nicht 0,4. Mehr dazu in Transmission bei Schichtdicke und Konzentration.
Bei geänderten Bedingungen rechnest du am einfachsten mit Verhältnissen. Dann kürzt sich \(\varepsilon\) heraus.
- Ausgangswert: Eine Lösung hat bei 1 cm Schichtdicke die Extinktion \(A_1 = 0{,}40\).
- Änderung: Die Konzentration wird verdreifacht, die Schichtdicke auf 0,5 cm halbiert.
- Verhältnis: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{c_2 \cdot d_2}{c_1 \cdot d_1} = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\).
- Ergebnis: \(A_2 = 1{,}5 \cdot 0{,}40 = 0{,}60\).
Typische Fehler sind schnell aufgezählt. Man setzt Prozent statt Anteil in den Logarithmus ein. Man nimmt \(\ln\) statt \(\lg\). Oder man behandelt die Transmission so, als wäre sie proportional zur Konzentration. Streng gilt das Gesetz zudem nur für verdünnte Lösungen und monochromatisches Licht.
Infrarotabsorption
Absorption gibt es nicht nur im Sichtbaren. Moleküle wie \(\ce{CO2}\) absorbieren infrarote Strahlung, weil diese ihre Molekülschwingungen anregt.
Die Erdoberfläche wird vom Sonnenlicht erwärmt und gibt die Energie als Wärmestrahlung im Infraroten wieder ab. \(\ce{CO2}\) in der Atmosphäre absorbiert einen Teil davon. Es strahlt die Energie in alle Richtungen wieder aus, auch zurück zum Boden. Darauf beruht seine Treibhauswirkung.
Der Abbau der Ozonschicht ist ein anderer Vorgang. Er betrifft die Absorption von UV-Strahlung durch Ozon und erklärt die Treibhauswirkung von \(\ce{CO2}\) nicht.
Quiz
Aussage 1
Der Absorptionskoeffizient einer Lösung hängt von der Frequenz des eingestrahlten Lichts ab.
Er hängt von der Lösung und von der Lichtfrequenz ab, deshalb misst man bei fester Wellenlänge.
Aussage 2
Wird die Schichtdicke verdoppelt und gleichzeitig die Konzentration halbiert, bleibt die Extinktion unverändert.
Die Extinktion ist proportional zum Produkt \(c \cdot d\), und dieses ändert sich um den Faktor \(2 \cdot 0{,}5 = 1\).
Aussage 3
Eine Lösung mit der Extinktion 1 lässt 10 % des eingestrahlten Lichts durch.
Aus \(A = -\lg T = 1\) folgt \(T = 10^{-1} = 0{,}1\), also 10 %.
Aussage 4
Absorbiert eine Probe 75 % des Lichts, beträgt ihre Extinktion etwa 0,12.
Die Transmission ist 0,25, also \(A = -\lg 0{,}25 \approx 0{,}60\). Der Wert 0,12 entstünde fälschlich aus \(-\lg 0{,}75\), dem absorbierten Anteil.
Aussage 5
Verdoppelt man die Konzentration einer Farbstofflösung, halbiert sich ihre Transmission.
Linear ändert sich die Extinktion, sie verdoppelt sich. Die Transmission wird quadriert, etwa von 0,8 auf 0,64.
Aussage 6
Die Treibhauswirkung von \(\ce{CO2}\) beruht darauf, dass es die Ozonschicht abbaut.
Sie beruht auf der Absorption infraroter Wärmestrahlung der Erde durch \(\ce{CO2}\).
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