Partialdruck und Gesamtdruck in Gasgemischen
Wie sich der Druck eines Gasgemisches auf seine Komponenten verteilt und wie man daraus den Sauerstoffpartialdruck in der Höhe und unter Wasser berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Partialdruck einer Gaskomponente ist der Druck, den sie allein im gesamten Volumen des Gemisches bei gleicher Temperatur ausüben würde.
- Dalton’sches Gesetz: Der Gesamtdruck eines idealen Gasgemisches ist die Summe der Partialdrücke, \(p_{ges} = \sum p_i\).
- \(p_i = x_i \cdot p_{ges}\): Bei idealen Gasen ist der Stoffmengenanteil gleich dem Volumenanteil, die Partialdrücke verhalten sich wie die Stoffmengen, unabhängig von der Molmasse.
- Bei gleicher Masse hat \(\ce{N2}\) wegen der kleineren molaren Masse mehr Stoffmenge und einen höheren Partialdruck als \(\ce{O2}\).
- Beim Mischen bei konstantem Druck addieren sich die Volumina; bei Druckerniedrigung bleibt der Anteil konstant und alle Partialdrücke sinken im gleichen Verhältnis.
- Luft enthält etwa 21 % \(\ce{O2}\); unter Wasser steigt der Gesamtdruck um rund 1 bar je 10 m, mit Pressluft erreicht \(p(\ce{O2})\) 1,4 bar in etwa 58 m Tiefe.
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Worum es geht
Luft ist ein Gasgemisch, und jedes ihrer Gase trägt einen eigenen Teil zum Luftdruck bei. Dieser Partialdruck bestimmt zum Beispiel, wie viel Sauerstoff in der Lunge ins Blut gelangt, im Hochgebirge ebenso wie beim Tauchen. Das Thema gehört zur Mechanik ruhender Fluide und baut auf Druck und Stoffmenge auf.
Dalton’sches Gesetz
In einem Gasgemisch bewegen sich Teilchen verschiedener Sorten frei durch den ganzen Behälter. Im idealen Gas beeinflussen sich die Teilchen nicht gegenseitig. Jede Sorte trommelt deshalb so auf die Wände, als wäre sie allein da.
Der Partialdruck \(p_i\) einer Komponente ist der Druck, den sie allein im gesamten Volumen des Gemisches bei derselben Temperatur ausüben würde.
Daraus folgt das Dalton’sche Gesetz: Der Gesamtdruck eines idealen Gasgemisches ist die Summe der Partialdrücke aller Komponenten.
\[p_{ges} = p_1 + p_2 + \dots = \sum_i p_i\]
Den Gesamtdruck erhält man also durch einfache Addition. In der Abbildung stehen Stickstoff mit 1,2 bar, Sauerstoff mit 0,5 bar und Helium mit 3,3 bar je allein in einem gleich großen Behälter. Bringt man alle drei in einen solchen Behälter, zeigt das Manometer 1,2 + 0,5 + 3,3 = 5,0 bar.
Streng gilt das Gesetz für ideale Gase. Reale Gase bei Normalbedingungen erfüllen es in guter Näherung.
Partialdruck und Stoffmengenanteil
Wie groß ein einzelner Partialdruck ist, hängt nur davon ab, welchen Anteil der Teilchen die Komponente stellt. Dieser Anteil ist der Stoffmengenanteil \(x_i = n_i/n_{ges}\). Er ist dimensionslos, und alle Anteile eines Gemisches ergeben zusammen 1. Die Stoffmenge selbst ist bei den molaren Größen erklärt.
\[p_i = x_i \cdot p_{ges} = \frac{n_i}{n_{ges}} \cdot p_{ges}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p_i\) | Partialdruck der Komponente \(i\) | Pa, hPa, bar |
| \(x_i\) | Stoffmengenanteil, bei idealen Gasen gleich dem Volumenanteil | 1 |
| \(n_i\) | Stoffmenge der Komponente \(i\) | mol |
| \(n_{ges}\) | Gesamtstoffmenge aller Komponenten | mol |
| \(p_{ges}\) | Gesamtdruck des Gemisches | wie \(p_i\) |
Der Volumenanteil ist das Volumen, das eine Komponente bei Gesamtdruck und gleicher Temperatur allein einnähme, geteilt durch das Gesamtvolumen. Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gleich viele Teilchen. Volumenanteil und Stoffmengenanteil sind deshalb gleich. Die Begründung liefert die Zustandsgleichung des idealen Gases.
Die Formel ist eine einfache Proportionalität. Doppelter Gesamtdruck bei gleicher Zusammensetzung ergibt doppelten Partialdruck. Die Partialdrücke verhalten sich wie die Stoffmengen: \(p_1 : p_2 = n_1 : n_2\). Die Molmasse spielt dabei keine Rolle. Zwei Gase mit gleichem Volumenanteil haben denselben Partialdruck, ob Wasserstoff oder Kohlendioxid. In einem 1:1-Gemisch unter Normdruck \(p_0\) hat daher jede Komponente \(p_0/2\).
Rechenbeispiel
Ein Gemisch enthält 0,6 mol Stickstoff, 0,2 mol Sauerstoff und 0,2 mol Kohlendioxid bei 150 kPa.
- Gesamtstoffmenge: \(n_{ges} = 0{,}6 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1{,}0\) mol.
- Anteil: \(x(\ce{N2}) = 0{,}6\,\text{mol} / 1{,}0\,\text{mol} = 0{,}6\).
- Partialdruck: \(p(\ce{N2}) = 0{,}6 \cdot 150\,\text{kPa} = 90\,\text{kPa}\), für Sauerstoff und Kohlendioxid je 30 kPa.
- Kontrolle: 90 + 30 + 30 = 150 kPa, wie nach Dalton gefordert.
Ist nur ein Verhältnis gegeben, etwa Helium zu Argon wie 1 : 4, bildet man den Anteil als Teil durch Summe der Teile. Helium hat also \(x = 1/5\) und bei 2,5 bar Gesamtdruck 0,5 bar. Rückwärts gilt \(p_{ges} = p_i/x_i\). Hat Kohlendioxid mit 4 % Volumenanteil einen Partialdruck von 6 kPa, beträgt der Gesamtdruck 6 kPa / 0,04 = 150 kPa.
Ändert sich die Zusammensetzung bei gleichem Gesamtdruck, rechnet man einfach mit dem neuen Anteil. Ein Stickstoff-Sauerstoff-Gemisch mit 40 % Sauerstoff enthält 60 % Stickstoff. Bei 1,0 bar ist dann \(p(\ce{N2}) = 0{,}60\) bar.
Gleiche Massen, verschiedene Molmassen
Sind Massen statt Stoffmengen gegeben, rechnet man zuerst über \(n = m/M\) um. Bei gleicher Masse hat das leichtere Gas mehr Teilchen. Stickstoff mit \(M = 28\) g/mol liefert deshalb mehr Stoffmenge und einen höheren Partialdruck als Sauerstoff mit \(M = 32\) g/mol:
\[\frac{p(\ce{N2})}{p(\ce{O2})} = \frac{n(\ce{N2})}{n(\ce{O2})} = \frac{M(\ce{O2})}{M(\ce{N2})} = \frac{32}{28} \approx 1{,}14\]
Die Beziehung \(p_i = x_i \cdot p_{ges}\) ist ein Examensklassiker, vorwärts wie rückwärts als \(p_{ges} = p_i/x_i\). Achte darauf, dass \(x_i\) ein Stoffmengen- oder Volumenanteil ist. Massen musst du vorher über die molare Masse in Stoffmengen umrechnen.
Mischen und Druckänderung
Öffnet man die Trennwand zwischen zwei Gasen mit gleichem Druck und gleicher Temperatur, durchmischen sie sich. Der Gesamtdruck bleibt dabei unverändert. Die Volumina addieren sich: \(V = V_1 + V_2\). Jede Komponente verteilt sich nun auf das größere Volumen. Ihr Partialdruck sinkt auf den Bruchteil \(V_i/V\) des Gesamtdrucks.
In der Abbildung stehen 2,0 L Sauerstoff und 3,0 L Stickstoff je bei 100 kPa. Nach dem Mischen füllen sie gemeinsam 5,0 L. Sauerstoff hat den Volumenanteil 2/5 und damit 40 kPa, Stickstoff 3/5 und 60 kPa.
Umgekehrt lässt sich der Gesamtdruck als Vielfaches eines Partialdrucks ausdrücken. Mischt man zwei Gase im Volumenverhältnis 1 : 4, hat das erste den Anteil 1/5. Der Gesamtdruck ist also fünfmal so groß wie sein Partialdruck.
Druckerniedrigung
Pumpt man ein Gasgemisch teilweise ab oder lässt es sich ausdehnen, sinkt der Gesamtdruck. Alle Teilchensorten gehen dabei im selben Verhältnis mit. Volumen- und Stoffmengenanteil bleiben deshalb konstant. Gesamtdruck und alle Partialdrücke sinken im gleichen Verhältnis.
Senkt man den Druck von Luft von 1000 hPa auf 500 hPa, fällt der Sauerstoffpartialdruck von 210 hPa auf 105 hPa. Der Sauerstoffanteil bleibt dabei bei 21 %.
Sauerstoffpartialdruck der Luft
Trockene Luft besteht zu etwa 78 % aus Stickstoff und zu etwa 21 % aus Sauerstoff, jeweils als Volumen- bzw. Stoffmengenanteil. Diese beiden Gase machen nahezu das gesamte Luftvolumen aus. Der Rest ist überwiegend Argon mit rund 0,9 %, dazu Spuren wie Kohlendioxid mit etwa 0,04 %. Für Rechnungen setzt man \(x(\ce{O2}) = 0{,}21\).
Für die Atmung zählt der Sauerstoffpartialdruck. Auf Meereshöhe bei 1013 hPa beträgt er \(0{,}21 \cdot 1013\,\text{hPa} \approx 213\) hPa. Mit der Höhe sinkt der Luftdruck, wie bei Luftdruck und Höhe beschrieben. Der Sauerstoffanteil bleibt gleich. Also sinkt der Sauerstoffpartialdruck im selben Verhältnis wie der Luftdruck.
Liegt der Luftdruck nur als Tabelle vor, schätzt man Zwischenwerte linear ab. Aus 795 hPa in 2000 m und 701 hPa in 3000 m folgen für 2500 m etwa 748 hPa. Der Sauerstoffpartialdruck beträgt dort \(0{,}21 \cdot 748\,\text{hPa} \approx 157\) hPa. Das ist rund drei Viertel des Werts auf Meereshöhe.
Unter Wasser steigt der Gesamtdruck. Zum Luftdruck an der Oberfläche kommt der Schweredruck des Wassers \(p = \rho g h\) hinzu, rund 1 bar je 10 m Tiefe. Ein Taucher atmet Pressluft unter diesem Gesamtdruck. Sein Sauerstoffpartialdruck steigt deshalb mit. Als Grenze für eine toxische Wirkung nehmen wir 1,4 bar an. Die maximale Tiefe in Süßwasser (\(\rho = 1000\) kg/m³, \(g = 9{,}81\) m/s²) folgt in drei Schritten:
- Nötiger Gesamtdruck: \(p_{ges} = p(\ce{O2})/x(\ce{O2}) = 1{,}4\,\text{bar}/0{,}21 \approx 6{,}67\) bar.
- Schweredruck: Luftdruck abziehen, \(6{,}67\,\text{bar} - 1{,}0\,\text{bar} = 5{,}67\,\text{bar} = 5{,}67 \cdot 10^5\) Pa.
- Tiefe: \(h = p/(\rho g) = 5{,}67 \cdot 10^5\,\text{Pa} / (1000\,\text{kg/m}^3 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2) \approx 58\) m.
Der Partialdruck folgt immer aus dem absoluten Gesamtdruck einschließlich Luftdruck. Den Luftdruck zieht man erst ab, wenn man vom Gesamtdruck zum Schweredruck des Wassers übergeht. Prozente setzt man als Dezimalbruch ein, 21 % also als 0,21.
Quiz
Aussage 1
Ein Gemisch aus 1 mol Helium und 3 mol Argon bei 200 kPa enthält Helium mit einem Partialdruck von 50 kPa.
Der Stoffmengenanteil von Helium ist 1/4, also \(p(\ce{He}) = 0{,}25 \cdot 200\) kPa = 50 kPa.
Aussage 2
In einem idealen Gemisch mit gleichen Volumenanteilen von \(\ce{H2}\) und \(\ce{CO2}\) hat \(\ce{CO2}\) wegen seiner größeren Molmasse den höheren Partialdruck.
Der Partialdruck hängt nur vom Stoffmengen- bzw. Volumenanteil ab. Bei gleichen Volumenanteilen sind die Partialdrücke gleich, die Molmasse spielt keine Rolle.
Aussage 3
Mischt man gleiche Massen Stickstoff und Sauerstoff, ist der Partialdruck des Stickstoffs größer als der des Sauerstoffs.
Stickstoff hat die kleinere molare Masse (28 statt 32 g/mol) und damit bei gleicher Masse mehr Stoffmenge. Das Verhältnis beträgt 32/28 ≈ 1,14.
Aussage 4
Halbiert man den Druck von Luft, sinkt ihr Sauerstoffanteil von 21 % auf etwa 10,5 %.
Der Anteil bleibt bei Druckerniedrigung konstant bei 21 %. Halbiert wird der Sauerstoffpartialdruck.
Aussage 5
Werden 1 L und 4 L zweier idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gemischt, steigt der Gesamtdruck auf das Fünffache.
Beim Mischen bei konstantem Druck addieren sich die Volumina zu 5 L, der Gesamtdruck bleibt gleich. Fünfmal so groß wie der Partialdruck des ersten Gases ist der Gesamtdruck.
Aussage 6
In etwa 10 m Wassertiefe beträgt der Sauerstoffpartialdruck von Pressluft rund 0,42 bar.
Der Gesamtdruck ist dort etwa 1 bar Luftdruck plus 1 bar Schweredruck, also 2 bar. Mit 21 % Sauerstoff ergibt das rund 0,42 bar.
Aussage 7
Ein ideales Gasgemisch mit den Partialdrücken 30 kPa, 50 kPa und 20 kPa hat einen Gesamtdruck von 100 kPa.
Nach Dalton addieren sich die Partialdrücke zum Gesamtdruck: 30 + 50 + 20 = 100 kPa.
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