Modell und Zustandsgleichung des idealen Gases
Wie das Modell des idealen Gases Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge in der Gleichung pV = nRT verknüpft und wie man damit rechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das ideale Gas ist ein Modellgas aus punktförmigen Teilchen ohne Anziehungskräfte, dessen Zustand die allgemeine Gasgleichung \(pV = nRT\) beschreibt.
- Der Gasdruck entsteht durch den Impulsübertrag der Teilchen beim Stoß auf die Wand.
- Bei fester Stoffmenge ist \(pV/T\) konstant, also \(T \propto p \cdot V\); \(T\) steht immer in Kelvin.
- Das Produkt \(p \cdot V\) hat die Dimension einer Energie: \(\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}\).
- Mit der kombinierten Gasgleichung folgt der Temperaturfaktor aus \(T_2/T_1 = p_2V_2/(p_1V_1)\).
- Druck und Temperatur sind intensiv, Volumen und Teilchenzahl extensiv; isotherm, isobar und isochor halten \(T\), \(p\) bzw. \(V\) konstant.
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Worum es geht
Die Zustandsgleichung des idealen Gases verbindet Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge in einer einzigen Formel. Aus ihr folgen alle einfachen Gasgesetze der Wärmelehre. In der Pharmazie erklärt sie etwa, warum eine Sprühdose in der Sonne gefährlich wird oder wie viel Gas eine Druckgasflasche abgibt.
Modell des idealen Gases
Das ideale Gas ist ein Modell. Es beschreibt ein Gas als Schwarm winziger Teilchen, die sich frei und ungeordnet bewegen.
Ein Gas aus punktförmigen Teilchen ohne Eigenvolumen, zwischen denen keine Anziehungskräfte wirken. Die Teilchen wechselwirken nur über elastische Stöße untereinander und mit der Wand.
Weil keine Anziehung wirkt, fliegt jedes Teilchen geradeaus, bis es auf ein anderes Teilchen oder die Wand trifft. Beim Stoß mit der Wand kehrt sich seine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand um. Sein Impuls ändert sich dabei um \(2mv_\perp\). Diesen Impuls überträgt es auf die Wand.
Unzählige solcher Stöße je Sekunde und Quadratmeter wirken als gleichmäßige Kraft auf die Fläche. Das ist der Druck des Gases. Man kann sich das wie Hagel auf einem Dach vorstellen: Einzelne Körner spürt man kaum, zusammen erzeugen sie eine stetige Last. Echte Gase verhalten sich bei niedrigem Druck und hoher Temperatur nahezu ideal. Wo das Modell versagt, zeigt die Einheit zu realen Gasen.
Allgemeine Zustandsgleichung
Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge eines idealen Gases sind nicht unabhängig voneinander. Die allgemeine Gasgleichung verknüpft sie:
\[pV = nRT\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p\) | Druck | Pa |
| \(V\) | Volumen | \(\mathrm{m^3}\) |
| \(n\) | Stoffmenge | mol |
| \(R\) | universelle Gaskonstante, 8,314 | J/(mol·K) |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
Die Gaskonstante \(R\) ist eine Naturkonstante. Sie hat für jedes ideale Gas denselben Wert, ob Helium, Sauerstoff oder Kohlendioxid. Die Temperatur steht immer als absolute Temperatur in Kelvin in der Gleichung. Die Stoffmenge erhält man oft aus Masse und molarer Masse über \(n = m/M\) (siehe Stoffmenge und Mol).
Proportionalitäten bei fester Stoffmenge
Bleibt die Gasmenge gleich, ist auch \(nR\) konstant. Dann folgt:
\[\frac{pV}{T} = nR = \text{konstant}\]
Die absolute Temperatur ist also proportional zum Produkt \(p \cdot V\). Doppelter Druck bei gleichem Volumen bedeutet doppelte Temperatur. Verdoppelt man Druck und Volumen zugleich, vervierfacht sich \(T\). Halbiert man das Volumen und verdoppelt den Druck, bleibt \(T\) gleich.
Die allgemeine Gasgleichung ist ein Examensklassiker. Sicher können musst du: Bei fester Stoffmenge ist \(pV/T\) konstant, also \(T \propto p \cdot V\), und \(T\) steht dabei immer in Kelvin.
Was die Gleichung aussagt
Die Gasgleichung verknüpft nur Zustandsgrößen. Sie beschreibt den momentanen Zustand und fragt nicht, auf welchem Weg er erreicht wurde. Deshalb gilt sie in jedem Gleichgewichtszustand eines idealen Gases, auch bei einer adiabatischen Kompression ohne Wärmeaustausch. Aus demselben Grund liefert sie nicht, um wie viel die Temperatur bei Wärmezufuhr steigt. Dafür braucht man die Wärmekapazität des Gases.
Einheit von pV
Das Produkt \(p \cdot V\) hat die Dimension einer Energie. Das zeigt die Einheitenrechnung mit \(1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N/m^2}\):
\[[p \cdot V] = \mathrm{Pa \cdot m^3} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} \cdot \mathrm{m^3} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}\]
Die rechte Seite passt dazu: mol mal J/(mol·K) mal K ergibt J. Anders als eine Entropie mit der Einheit J/K steht bei \(p \cdot V\) keine Temperatur im Nenner. Und anders als eine Leistung in J/s enthält \(p \cdot V\) keine Zeit.
Rechnen mit der Gasgleichung
Oft vergleicht man zwei Zustände derselben Gasportion. Da \(pV/T\) konstant bleibt, gilt die kombinierte Gasgleichung:
\[\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\]
Nach der gesuchten Größe umgestellt, erhält man etwa:
\[\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \qquad p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Einheiten von Druck und Volumen kürzen sich heraus, solange sie auf beiden Seiten gleich sind. Nur die Temperatur muss zwingend in Kelvin stehen. Aufgaben, in denen man aus Druck- und Volumenfaktoren über \(T_2/T_1 = p_2V_2/(p_1V_1)\) den Temperaturfaktor bestimmt, werden im Examen gerne gefragt. Man rechnet dabei nur mit Faktoren und braucht keine absoluten Werte.
Temperaturfaktor aus Druck und Volumen
Ein Gas wird auf das dreifache Volumen gebracht, sein Druck sinkt dabei auf die Hälfte.
- Faktoren notieren: \(V_2 = 3\,V_1\) und \(p_2 = 0{,}5\,p_1\).
- Einsetzen: \(T_2/T_1 = 0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5\).
- Deuten: Die absolute Temperatur muss um den Faktor 1,5 steigen, etwa von 300 K auf 450 K.
Umgekehrt kann man fragen, was bei einer Volumenverdopplung möglich ist. Druckfaktor mal Volumenfaktor muss stets den Temperaturfaktor ergeben. Bleibt der Druck gleich, verdoppelt sich also \(T\). Bleibt \(T\) gleich, halbiert sich der Druck. Verdreifacht sich \(T\), steigt der Druck auf das 1,5-Fache. Dass Druck und Temperatur beide unverändert bleiben, ist ausgeschlossen.
Auch der Enddruck folgt direkt. Ein Gas mit 2,0 bar in 4,0 L bei 300 K wird auf 2,0 L komprimiert und auf 450 K erwärmt. Dann gilt \(p_2 = 2{,}0\,\mathrm{bar} \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 6{,}0\,\mathrm{bar}\).
Volumen und Stoffmenge berechnen
Für absolute Werte nutzt man die vollständige Gleichung \(pV = nRT\). Dann müssen alle Größen in SI-Einheiten stehen. Gesucht ist das Volumen von 8,0 g Sauerstoff \(\ce{O2}\) bei 27 °C und 100 kPa.
- Stoffmenge: \(n = m/M = 8{,}0\,\mathrm{g} / 32\,\mathrm{g/mol} = 0{,}25\,\mathrm{mol}\).
- Temperatur in Kelvin: \(T = (27 + 273{,}15)\,\mathrm{K} = 300{,}15\,\mathrm{K}\).
- Druck in Pa: \(p = 100\,\mathrm{kPa} = 1{,}00 \cdot 10^5\,\mathrm{Pa}\).
- Umstellen und einsetzen: \(V = nRT/p = 0{,}25 \cdot 8{,}314 \cdot 300{,}15 / 10^5\,\mathrm{m^3} \approx 6{,}24 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3} = 6{,}24\,\mathrm{L}\).
Genauso erhält man die Stoffmenge über \(n = pV/(RT)\). 1,0 L Gas bei 100 kPa und 300 K enthält \(n = (10^5\,\mathrm{Pa} \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3}) / (8{,}314 \cdot 300\,\mathrm{J/mol}) \approx 0{,}040\,\mathrm{mol}\).
Celsius-Werte verfälschen jedes Verhältnis: Von 20 °C auf 40 °C steigt \(T\) nur von 293 K auf 313 K, also um den Faktor 1,07. Sobald \(R\) vorkommt, Liter in \(\mathrm{m^3}\) umrechnen (\(1\,\mathrm{L} = 10^{-3}\,\mathrm{m^3}\)) und bar in Pa (\(1\,\mathrm{bar} = 10^5\,\mathrm{Pa}\)).
Intensive und extensive Größen
Zustandsgrößen lassen sich danach ordnen, wie sie sich beim Vereinigen zweier gleicher Systeme verhalten. Intensive Größen hängen nicht von der Größe des Systems ab. Extensive Größen wachsen mit der Stoffmenge und addieren sich.
- unabhängig von der Systemgröße
- bleiben beim Vereinigen gleicher Systeme unverändert
- Beispiele: Druck \(p\), Temperatur \(T\), Dichte
- proportional zur Stoffmenge
- addieren sich beim Vereinigen
- Beispiele: Volumen \(V\), Stoffmenge \(n\), Teilchenzahl \(N\), Masse \(m\)
Das zeigt sich beim Verbinden zweier Gasbehälter. Zwei Flaschen zu je 5 L enthalten Gas bei 2 bar und 25 °C, jede mit der Stoffmenge \(n\). Öffnet man das Ventil dazwischen, addieren sich Volumen und Teilchenzahl auf 10 L und \(2n\). Der Druck bleibt bei 2 bar. Nach \(p = nRT/V\) verdoppeln sich Zähler und Nenner gleichermaßen.
Im Teilchenbild bleibt die Zahl der Teilchen je Volumen gleich. Jedes Wandstück wird also genauso oft getroffen wie vorher. Die Einordnung in Systemarten und Prozessgrößen folgt beim ersten Hauptsatz.
Arten von Zustandsänderungen
Bleibt bei einer Zustandsänderung eine der Größen \(p\), \(V\) oder \(T\) konstant, hat der Vorgang einen eigenen Namen. Die Vorsilbe iso- bedeutet gleich.
| Begriff | konstant | es ändern sich | Gesetz |
|---|---|---|---|
| isotherm | \(T\) | \(p\) und \(V\) | Boyle-Mariotte |
| isobar | \(p\) | \(V\) und \(T\) | Gay-Lussac |
| isochor | \(V\) | \(p\) und \(T\) | Amontons |
Im p-V-Diagramm läuft eine isobare Änderung waagerecht und eine isochore senkrecht. Die Isotherme ist ein Hyperbelast, denn bei konstantem \(T\) ist \(p \cdot V\) konstant.
Iso-therm wie Thermometer: \(T\) bleibt. Iso-bar wie Barometer: \(p\) bleibt. Iso-chor von griechisch chora, der Raum: \(V\) bleibt.
Jeder dieser Begriffe hält genau eine Größe fest. Eine isochore Erwärmung ist daher nicht isobar, denn der Druck steigt mit. Ein Vorgang mit steigendem Druck kann nie isobar sein. Bei isobarer Expansion wächst \(V\) bei gleichem \(p\). Wegen \(T \propto p \cdot V\) steigt dabei die Temperatur, der Vorgang ist also nicht isotherm. Dasselbe gilt für eine isochore Druckerhöhung.
Der Begriff Isotop klingt ähnlich, stammt aber aus der Atomphysik. Er bezeichnet Atome eines Elements mit unterschiedlicher Neutronenzahl und beschreibt keine Zustandsänderung. Ein Vorgang ohne Wärmeaustausch heißt adiabatisch. Wärme, Arbeit und innere Energie dieser Prozesse bilanziert die Einheit zu isochoren, isobaren und isothermen Zustandsänderungen.
Quiz
Aussage 1
Das Produkt aus Druck und Volumen eines Gases hat die Einheit J/s.
J/s ist die Einheit einer Leistung. \(p \cdot V\) hat die Einheit \(\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}\), also einer Energie.
Aussage 2
Bei einer isochoren Druckerhöhung eines idealen Gases steigt die Temperatur.
Bei konstantem Volumen gilt \(T \propto p\). Steigt der Druck, steigt auch \(T\), der Vorgang ist also nicht isotherm.
Aussage 3
Wird das Volumen eines idealen Gases verdreifacht und sinkt dabei sein Druck auf die Hälfte, muss die absolute Temperatur auf das 1,5-Fache steigen.
Nach \(T_2/T_1 = p_2V_2/(p_1V_1)\) ergibt sich \(0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5\).
Aussage 4
Verbindet man zwei gleich große Flaschen mit Gas bei gleichem Druck und gleicher Temperatur, verdoppelt sich der Druck.
Der Druck ist intensiv und bleibt gleich. Volumen und Teilchenzahl sind extensiv und verdoppeln sich.
Aussage 5
Erwärmt man ein Gas bei konstantem Volumen von 20 °C auf 40 °C, verdoppelt sich sein Druck.
Entscheidend ist die absolute Temperatur: Sie steigt nur von 293 K auf 313 K, der Druck also um den Faktor 1,07.
Aussage 6
Die Gleichung \(pV = nRT\) gilt für ein ideales Gas auch während einer adiabatischen Kompression.
Die Gasgleichung verknüpft nur Zustandsgrößen und gilt daher in jedem Gleichgewichtszustand, unabhängig vom Weg.
Aussage 7
Zwischen den Teilchen eines idealen Gases wirken schwache Anziehungskräfte, die den Druck etwas verringern.
Im Modell des idealen Gases wirken zwischen den Teilchen keine Anziehungskräfte. Solche Kräfte berücksichtigt erst die Beschreibung realer Gase.
Aussage 8
Verdoppelt man bei fester Gasmenge sowohl den Druck als auch das Volumen, vervierfacht sich die absolute Temperatur.
Bei fester Stoffmenge gilt \(T \propto p \cdot V\). Das Produkt steigt auf das Vierfache, also auch \(T\).
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