Gedämpfte und erzwungene Schwingungen, Resonanz
Wie eine gedämpfte Schwingung exponentiell abklingt, warum ihr Takt dabei gleich bleibt und was bei erzwungenen Schwingungen im Resonanzfall passiert.
Das Wichtigste in Kürze
- Dämpfung ist der Energieverlust einer Schwingung durch Reibung. Sie lässt freie Schwingungen abklingen, während ein periodischer Antrieb erzwungene Schwingungen aufrechterhält.
- Bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung gilt \(x = \hat{x}\,e^{-\delta t}\sin(\omega t)\): Die Amplitude sinkt exponentiell und nähert sich null nur asymptotisch, begrenzt von symmetrischen Einhüllenden.
- Bei schwacher Dämpfung bleiben Periodendauer und Kreisfrequenz zeitlich konstant, und die Auslenkung wechselt symmetrisch um die Ruhelage.
- Die kinetische Energie eines gedämpften Pendels zeigt zwei Maxima pro Periode, ist an den Umkehrpunkten null und wird stetig kleiner.
- Eine erzwungene Schwingung läuft mit der Erregerfrequenz. Bei Resonanz ist die Energieübertragung maximal, ohne Dämpfung droht die Resonanzkatastrophe.
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Worum es geht
Reale Schwingungen verlieren durch Reibung Energie und klingen ab. Treibt man sie periodisch an, schwingen sie im Takt des Antriebs, und bei passender Frequenz wird die Amplitude besonders groß. Diese Grundlagen braucht man, um Schwingungsdiagramme zu deuten. Sie erklären auch Resonanzeffekte in der Messtechnik.
Freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung
Jede reale Schwingung verliert Energie. Reibung in Luft, im Lager oder in einer Flüssigkeit wandelt mechanische Energie in Wärme um. Diesen Energieverlust nennt man Dämpfung.
Eine freie Schwingung wird einmal angestoßen und dann sich selbst überlassen. Sie schwingt mit ihrer Eigenfrequenz und klingt bei Dämpfung allmählich ab. Diesen Abklingvorgang beschreiben die nächsten drei Abschnitte.
Eine erzwungene Schwingung erhält dagegen laufend Energie durch einen periodischen Antrieb von außen. Nach einem kurzen Einschwingvorgang stellt sich ein Gleichgewicht ein. Der Antrieb ersetzt dann pro Periode genau die Energie, die die Dämpfung entzieht.
Amplitudenabnahme
Bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung wächst die Bremskraft mit der Geschwindigkeit. So verhält sich etwa ein Pendel in Luft oder Öl bei kleinen Geschwindigkeiten. Für die Auslenkung gilt dann:
\[x(t) = \hat{x}\, e^{-\delta t} \sin(\omega t)\]
Dabei ist \(\hat{x}\) die Anfangsamplitude und \(\omega\) die Kreisfrequenz. Die Abklingkonstante \(\delta\) in 1/s misst die Stärke der Dämpfung. Der Sinus sorgt für das Hin und Her. Der Faktor \(e^{-\delta t}\) lässt die Amplitude exponentiell schrumpfen.
Exponentiell heißt: In gleichen Zeitabschnitten sinkt die Amplitude immer um denselben Faktor. Null erreicht sie daher nie, sie nähert sich ihr nur asymptotisch. Ein Beispiel mit \(\delta = 0{,}5\ \mathrm{s^{-1}}\): Nach 2 s ist die Amplitude auf \(e^{-1} \approx 37\ \%\) gesunken, nach 4 s auf \(e^{-2} \approx 14\ \%\).
Verbindet man alle Maxima und alle Minima, erhält man die Einhüllende \(\pm\hat{x}\,e^{-\delta t}\). Sie besteht aus zwei spiegelbildlichen Exponentialkurven. Die Schwingung bewegt sich zwischen ihnen wie in einem Trichter, der sich immer weiter verengt.
Die Form der Einhüllenden verrät die Art der Reibung. Bei Gleitreibung ist die Bremskraft konstant. Die Amplitude fällt dann linear, und die Einhüllenden sind gerade Linien, die nach endlicher Zeit null erreichen.
Das wird im Examen gerne gefragt: Bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung sinkt die Amplitude nach \(\hat{x}\,e^{-\delta t}\) exponentiell und nähert sich null nur asymptotisch. Im Diagramm erkennst du das an zwei symmetrischen, gekrümmt fallenden Einhüllenden.
Ein reales Federpendel im Labor schwingt deshalb nie ewig. Ohne Energiezufuhr nimmt seine Amplitude ab. Sie bleibt bei Reibung nicht konstant und kann von selbst auch nicht wachsen. Umgekehrt gilt: Eine Schwingung mit zeitlich konstanter Amplitude ist ungedämpft.
Verlauf der gedämpften Schwingung
Auch gedämpft wechselt die Auslenkung einer harmonischen Schwingung symmetrisch um die Ruhelage zwischen positiven und negativen Werten. Die Kurve pendelt also stets um die Zeitachse. Nur die Ausschläge werden kleiner.
Den Takt verändert die Dämpfung nicht. Bei schwacher Dämpfung bleibt die Bewegung periodisch. Periodendauer \(T\) und Kreisfrequenz \(\omega\) sind während des ganzen Abklingens konstant. Die Nulldurchgänge liegen deshalb in gleichen Abständen, wie die erste Abbildung zeigt.
Genau genommen ist \(\omega\) etwas kleiner als beim ungedämpften Pendel, denn \(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}\). Dieser Wert ändert sich aber nicht mit der Zeit.
Dämpfung macht eine Schwingung kleiner, aber nicht langsamer.
Das richtige \(x(t)\)-Diagramm einer gedämpften Schwingung erkennst du an diesen Merkmalen:
- Vorzeichenwechsel symmetrisch um die Nulllinie
- spiegelbildliche, exponentiell gekrümmt fallende Einhüllende
- gleiche Abstände zwischen den Nulldurchgängen
- allmähliche Annäherung an null statt abruptem Ende
Energieabnahme
Die Schwingungsenergie ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Ohne Antrieb nimmt sie durch Dämpfung daher ab. Sie folgt \(e^{-2\delta t}\) und sinkt damit schneller als die Amplitude.
Die kinetische Energie \(E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} m v^2\) kann nie negativ werden. An jedem Umkehrpunkt steht das Pendel kurz still, dort ist sie null. Beim Durchgang durch die Ruhelage ist sie maximal. Pro Periode gibt es also zwei Maxima, und bei Dämpfung werden diese Höcker von Mal zu Mal niedriger.
Im passenden Diagramm siehst du deshalb eine Folge von Höckern oberhalb der Zeitachse. Sie wiederholen sich mit doppelter Frequenz der Auslenkung und nehmen stetig ab.
Erzwungene Schwingung und Resonanz
Treibt man ein Federpendel periodisch an, etwa über einen Motor mit Exzenter, entsteht eine erzwungene Schwingung. Die Frequenz des Antriebs heißt Erregerfrequenz. Im eingeschwungenen Zustand schwingt das System mit der Erregerfrequenz, unabhängig von seiner Eigenfrequenz.
Die Eigenfrequenz bestimmt stattdessen die Amplitude. Stimmt die Erregerfrequenz mit der Resonanzfrequenz überein, liegt Resonanz vor. Dann ist die Energieübertragung vom Erreger auf den Schwinger maximal. Je weiter die Erregerfrequenz davon abweicht, desto kleiner wird die Amplitude. Man kennt das von der Schaukel: Wer im Takt anschiebt, schaukelt hoch, wer gegen den Takt drückt, bremst.
Die Dämpfung bestimmt Höhe und Schärfe des Maximums. Schwache Dämpfung ergibt eine hohe, schmale Resonanzkurve, starke Dämpfung eine flache, breite. Bei gedämpften Systemen liegt das Maximum leicht unterhalb der Eigenfrequenz \(f_0\).
Fehlt die Dämpfung ganz, fließt bei Resonanz keine Energie ab. Die Amplitude wächst dann theoretisch unbegrenzt. Diese Resonanzkatastrophe zerstört reale Bauteile wie Brücken oder Maschinenteile, lange bevor die Amplitude unendlich würde.
Quiz
Aussage 1
Je stärker ein schwingendes System gedämpft ist, desto höher und schmaler ist sein Resonanzmaximum.
Es ist umgekehrt: Schwache Dämpfung ergibt ein hohes, schmales Maximum, starke Dämpfung eine flache, breite Resonanzkurve.
Aussage 2
Die kinetische Energie eines gedämpften Pendels ohne Antrieb hat pro Periode zwei Maxima, deren Höhe mit der Zeit abnimmt.
\(E_\text{kin}\) ist bei jedem Durchgang durch die Ruhelage maximal, also zweimal pro Periode. Durch die Dämpfung werden diese Maxima stetig kleiner.
Aussage 3
Während ein schwach gedämpftes Federpendel ausschwingt, bleibt seine Periodendauer gleich.
Die Dämpfung verkleinert nur die Amplitude. Periodendauer und Kreisfrequenz bleiben zeitlich konstant.
Aussage 4
Ein periodisch angeregtes System schwingt im eingeschwungenen Zustand mit seiner Eigenfrequenz.
Im eingeschwungenen Zustand schwingt es mit der Erregerfrequenz. Die Eigenfrequenz bestimmt nur, wie groß die Amplitude wird.
Aussage 5
Fehlt jede Dämpfung, wächst die Amplitude einer erzwungenen Schwingung bei Resonanz theoretisch unbegrenzt.
Ohne Dämpfung fließt die zugeführte Energie nicht ab. Das führt zur Resonanzkatastrophe.
Aussage 6
Bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung erreicht die Amplitude einer freien Schwingung nach endlicher Zeit exakt den Wert null.
Die Amplitude folgt \(\hat{x}\,e^{-\delta t}\) und nähert sich null nur asymptotisch. Ein Ende nach endlicher Zeit mit linear fallender Einhüllender passt zur Gleitreibung.
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