Kenngrößen und Ausbreitung von Wellen
Wie Wellenlänge, Frequenz, Wellenzahl und Ausbreitungsgeschwindigkeit zusammenhängen, warum sich beim Mediumwechsel nur die Wellenlänge ändert und wie man Moment- und Zeitbild einer laufenden Welle liest.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Welle ist eine sich ausbreitende Schwingung, die Energie ohne Materie transportiert. Die Wellenlänge \(\lambda\) ist der Abstand benachbarter Punkte gleicher Phase.
- Die Grundgleichung lautet \(c = \lambda \cdot f\). Bei festem \(c\) sind Wellenlänge und Frequenz umgekehrt proportional, halbe Frequenz bedeutet doppelte Wellenlänge.
- Alle elektromagnetischen Wellen laufen im Vakuum, näherungsweise auch in Luft, mit der Lichtgeschwindigkeit \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\).
- Die Wellenzahl ist \(\tilde{\nu} = 1/\lambda = f/c\). Sie ändert sich gleichsinnig mit der Frequenz.
- Beim Mediumwechsel bleibt die Frequenz gleich. Die Wellenlänge ändert sich proportional zur Geschwindigkeit: \(\lambda_1/\lambda_2 = c_1/c_2\).
- Nach einer halben Periode ist das Momentbild um \(\lambda/2\) verschoben, an jedem Ort gilt \(y \to -y\), die Amplitude bleibt gleich.
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Worum es geht
Licht, Schall und Radiowellen gehorchen derselben einfachen Beziehung zwischen Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz. Sie ist die Grundlage für die Optik, für die Spektroskopie mit ihren Wellenzahlen und für jede Rechnung mit elektromagnetischer Strahlung in der pharmazeutischen Analytik.
Was ist eine Welle?
Eine Welle entsteht, wenn sich eine Schwingung von Ort zu Ort ausbreitet. Jedes Teilchen schwingt dabei nur um seine Ruhelage. Es gibt die Bewegung an seine Nachbarn weiter. Die Welle transportiert so Energie, aber keine Materie. Man kann sich das wie eine La-Ola-Welle im Stadion vorstellen: Die Bewegung läuft ums Rund, jeder Zuschauer bleibt auf seinem Platz.
Wie bei der harmonischen Schwingung beschreiben Frequenz \(f\) und Periodendauer \(T\) den zeitlichen Ablauf an einem Ort. Neu ist eine räumliche Kenngröße. Die Wellenlänge \(\lambda\) ist der Abstand zweier benachbarter Punkte gleicher Phase, etwa von Wellenberg zu Wellenberg. Sie wird in Metern angegeben.
Grundgleichung der Welle
Während einer Periodendauer \(T\) schwingt ein Teilchen genau einmal hin und her. In derselben Zeit rückt die Welle um genau eine Wellenlänge vor. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist daher \(c = \lambda / T\). Sie gibt an, wie schnell ein Zustand gleicher Phase, etwa ein Wellenberg, durch den Raum wandert. Mit \(f = 1/T\) folgt die Grundgleichung.
\[c = \lambda \cdot f\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(c\) | Ausbreitungsgeschwindigkeit | m/s |
| \(\lambda\) | Wellenlänge | m |
| \(f\) (auch \(\nu\)) | Frequenz | Hz = 1/s |
Die Gleichung gilt für jede Welle, für Schall ebenso wie für Licht. Für elektromagnetische Wellen im Vakuum schreibt man \(c_0 = \lambda \cdot f\). In einem gegebenen Medium ist \(c\) meist fest. Dann sind Wellenlänge und Frequenz umgekehrt proportional: doppelte Frequenz, halbe Wellenlänge. Halbiert man die Frequenz, wird die Wellenlänge doppelt so groß.
Die Grundgleichung \(c = \lambda \cdot f\) wird im Examen gerne gefragt, oft als Proportionalität. Achte darauf, dass bei festem \(c\) eine Halbierung der Frequenz die Wellenlänge verdoppelt und nicht halbiert.
Für elektromagnetische Wellen stellt man nach der Wellenlänge um: \(\lambda = c/f\), in der Spektroskopie oft als \(\lambda = c/\nu\) geschrieben. Ein Funksignal mit 120 MHz dient als Beispiel.
- Größen notieren: \(f = 120\,\mathrm{MHz} = 1{,}2 \cdot 10^8\,\mathrm{Hz}\) und \(c = 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\).
- Umstellen: \(\lambda = c/f\).
- Einsetzen: \(\lambda = \frac{3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{1{,}2 \cdot 10^8\,\mathrm{s^{-1}}} = 2{,}5\,\mathrm{m}\).
Die häufigsten Fehler sind vergessene Vorsilben. Mega steht für \(10^6\), Giga für \(10^9\). Ebenso leicht verwechselt man \(f\) mit \(T\). Wer statt der Frequenz die Periodendauer einsetzt, erhält eine Größe in \(\mathrm{m \cdot s^2}\), und daran erkennt man den Fehler sofort.
Lichtgeschwindigkeit
Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich im Vakuum gleich schnell aus. Das gilt für Radiowellen, sichtbares Licht und Röntgenstrahlung gleichermaßen. Diese Lichtgeschwindigkeit beträgt \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\), exakt 299 792 458 m/s. In Luft ist sie nur minimal kleiner. Für Rechnungen nimmt man dort denselben Wert.
Den Zahlenwert und die Tatsache, dass er für jede Frequenz gilt, solltest du sicher können. Radiowellen sind also genauso schnell wie Licht. Sie unterscheiden sich nur in Frequenz und Wellenlänge. Wie sich die Bereiche ordnen, zeigt das elektromagnetische Spektrum. Was in Glas oder Wasser mit der Geschwindigkeit geschieht, behandelt die Einheit Lichtgeschwindigkeit im Medium.
Wellenzahl
Die Wellenzahl \(\tilde{\nu}\) ist der Kehrwert der Wellenlänge. Sie zählt, wie viele Wellenlängen auf eine Längeneinheit passen.
\[\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c}\]
Die SI-Einheit ist \(\mathrm{m^{-1}}\). In der Spektroskopie ist \(\mathrm{cm^{-1}}\) üblich. Eine Wellenlänge von 2 µm entspricht \(\tilde{\nu} = 1/(2 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{cm}) = 5000\,\mathrm{cm^{-1}}\). Umgestellt erhält man auch \(c = f/\tilde{\nu}\).
Aus \(\tilde{\nu} = f/c\) folgt: Bei fester Geschwindigkeit ist die Wellenzahl proportional zur Frequenz. Beide ändern sich gleichsinnig, anders als die Wellenlänge, die bei steigender Frequenz kleiner wird. Weil die Wellenzahl an der Wellenlänge hängt, ändert sie sich beim Übergang von Luft in Glas, während die Frequenz gleich bleibt. In der Physik heißt manchmal auch \(k = 2\pi/\lambda\) Wellenzahl. Achte deshalb auf die Formel hinter dem Begriff.
Abhängigkeit vom Medium
Die Frequenz legt die Quelle fest. An einer Grenzfläche müssen pro Sekunde gleich viele Wellenberge weiterlaufen, wie ankommen. Sonst würden sich Berge stauen oder verschwinden. Deshalb bleibt die Frequenz beim Übergang in ein anderes ruhendes Medium gleich.
Ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit, muss nach \(c = \lambda \cdot f\) die Wellenlänge im selben Verhältnis mitgehen. Bei gleicher Frequenz gilt:
\[\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{c_1}{c_2}\]
Licht und Funkwellen sind in Wasser langsamer als in Luft, etwa \(2{,}25 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) statt \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Die Wellenlänge schrumpft daher auf drei Viertel. Ein Funksignal braucht durch Wasser länger zum Empfänger. Mehr zur Optik dieses Übergangs steht unter Wellenlänge und Frequenz beim Mediumwechsel.
Bei Schall ist es umgekehrt, denn er läuft in Wasser schneller als in Luft. Ein Ton von 500 Hz zeigt die Rechnung.
- Geschwindigkeiten: Luft \(c_1 = 340\,\mathrm{m/s}\), Wasser \(c_2 = 1480\,\mathrm{m/s}\).
- Wellenlängen: \(\lambda_1 = 340/500\,\mathrm{m} = 0{,}68\,\mathrm{m}\) und \(\lambda_2 = 1480/500\,\mathrm{m} = 2{,}96\,\mathrm{m}\).
- Verhältnis: \(\lambda_2/\lambda_1 = c_2/c_1 \approx 4{,}4\). Die Frequenz kürzt sich heraus.
Raum- und Zeitdarstellung
Die Auslenkung \(y\) einer Welle hängt von Ort und Zeit ab. Ein Diagramm kann aber nur eine dieser Größen auf der Achse zeigen. Deshalb gibt es zwei Darstellungen.
Das Momentbild ist ein y-x-Diagramm: die Auslenkung aller Orte zu einem festen Zeitpunkt, wie ein Foto der Welle. Der Abstand zweier benachbarter Berge ist die Wellenlänge \(\lambda\).
Das Zeitbild zeigt dagegen \(y\) über \(t\) an einem festen Ort. Hier ist der Abstand zweier Berge die Periodendauer \(T\). Beide Kurven sehen gleich aus. Erst die Achsenbeschriftung verrät, ob man \(\lambda\) oder \(T\) abliest.
Eine laufende Welle wandert. In einer halben Periode rückt sie um eine halbe Wellenlänge in Ausbreitungsrichtung vor. Bei einer Sinuskurve wirkt diese Verschiebung wie eine Spiegelung: An jedem Ort gilt \(y \to -y\), Maxima und Minima haben ihre Plätze getauscht. Die Amplitude bleibt bei einer ungedämpften Welle gleich. Nach einer ganzen Periode deckt sich das Bild wieder mit dem Ausgangsbild.
So wählst du zu einem Momentbild das Bild eine halbe Periode später aus:
- Richtung ablesen: Wohin läuft die Welle?
- Verschieben: Das Bild um \(\lambda/2\) in diese Richtung schieben oder jedes \(y\) durch \(-y\) ersetzen.
- Prüfen: gleiche Amplitude, gleiche Wellenlänge, Berge genau dort, wo vorher Täler lagen.
Nach \(T/4\) ist die Welle erst um \(\lambda/4\) weitergewandert. Das Momentbild ist dann kosinusförmig, die Maxima liegen an früheren Nulldurchgängen. Erst nach \(T/2\) sind Berge und Täler vertauscht.
Quiz
Aussage 1
Tritt Licht aus Luft in Wasser über, bleibt seine Wellenlänge gleich und seine Frequenz wird kleiner.
Umgekehrt: Die Frequenz bleibt beim Mediumwechsel gleich. Weil Licht in Wasser langsamer ist, wird die Wellenlänge kleiner.
Aussage 2
Radiowellen breiten sich im Vakuum langsamer aus als sichtbares Licht, weil ihre Frequenz kleiner ist.
Alle elektromagnetischen Wellen laufen im Vakuum mit derselben Lichtgeschwindigkeit \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Radiowellen unterscheiden sich nur in Frequenz und Wellenlänge.
Aussage 3
Das Momentbild einer ungedämpften Sinuswelle zeigt eine halbe Periode später an jedem Ort die entgegengesetzte Auslenkung bei gleicher Amplitude.
Die Welle hat sich um \(\lambda/2\) verschoben. Dadurch gilt \(y \to -y\), Berge und Täler sind vertauscht, die Amplitude bleibt.
Aussage 4
In einem y-t-Diagramm einer Welle ist der Abstand zweier benachbarter Maxima die Wellenlänge.
Im Zeitbild (y-t) liest man die Periodendauer \(T\) ab. Die Wellenlänge zeigt das Momentbild (y-x).
Aussage 5
Bei fester Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt die Wellenzahl ab, wenn die Frequenz steigt.
Wegen \(\tilde{\nu} = f/c\) ist die Wellenzahl proportional zur Frequenz. Beide ändern sich gleichsinnig.
Aussage 6
Eine elektromagnetische Welle mit 300 MHz hat im Vakuum eine Wellenlänge von 1 m.
\(\lambda = c/f = (3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s})/(3 \cdot 10^8\,\mathrm{Hz}) = 1\,\mathrm{m}\).
Aussage 7
Wird bei unveränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit die Frequenz einer Welle halbiert, verdoppelt sich ihre Wellenlänge.
Aus \(c = \lambda \cdot f\) folgt bei festem \(c\) eine umgekehrte Proportionalität von \(\lambda\) und \(f\).
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