Beschreibung harmonischer Schwingungen
Wie man eine harmonische Schwingung mit Gleichung und Diagramm beschreibt, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz berechnet und Geschwindigkeit sowie Beschleunigung im Verlauf einordnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine harmonische Schwingung entsteht durch eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft und folgt \(x(t) = \hat{x} \sin(\omega t + \varphi)\).
- Die Periodendauer ist das kleinste Wiederholungsintervall, es gilt \(T = 1/f\) und \(\omega = 2\pi f\); 50 Hz entsprechen 0,02 s.
- Sinus- und Kosinusform sowie ein beliebiger Phasenwinkel sind harmonisch; steht die Auslenkung selbst im Argument, liegt keine harmonische Schwingung vor.
- An den Umkehrpunkten ist \(v = 0\), in der Ruhelage ist \(v\) maximal und \(a = 0\); im Diagramm entsprechen die Extrema \(v = 0\) und die Nulldurchgänge maximaler Geschwindigkeit.
- Frequenz und Periodendauer sind amplitudenunabhängig, während \(v_{max} = \omega \hat{x}\) und \(a_{max} = \omega^2 \hat{x}\) proportional zur Amplitude wachsen.
- Die Amplitude ist durch die Anfangsauslenkung bestimmt.
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Worum es geht
Ein Federpendel, eine Stimmgabel und die Wechselspannung aus der Steckdose folgen derselben Sinusfunktion. Wer diese harmonische Schwingung mit Gleichung und Diagramm beschreiben kann, hat die Grundlage für Wellen, Spektroskopie und Ultraschall.
Was ist eine Schwingung?
Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang. Ein Körper bewegt sich immer wieder um eine feste Lage hin und her. Diese Lage heißt Ruhelage. Dort würde der Körper ohne Anstoß in Ruhe bleiben, weil sich alle Kräfte aufheben.
Den momentanen Abstand von der Ruhelage nennt man Auslenkung oder Elongation \(x\). Die größte Auslenkung ist die Amplitude \(\hat{x}\). Die Punkte, an denen der Körper kehrtmacht, heißen Umkehrpunkte.
Ursache jeder Schwingung ist eine Rückstellkraft. Sie zieht den Körper zur Ruhelage zurück, sobald er ausgelenkt ist. Dort hat er Schwung und schießt über die Ruhelage hinaus. Dann beginnt das Spiel von vorn. Eine Feder zeigt das gut: Je weiter man sie dehnt, desto stärker zieht sie zurück.
Eine Schwingung ist harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist: \(F = -D \cdot x\) mit der Federkonstante \(D\). Dann folgt die Auslenkung zeitlich einer reinen Sinus- oder Kosinusfunktion.
Das Federpendel ist das Standardbeispiel. Wie seine Eigenfrequenz von Masse und Feder abhängt, steht unter Eigenfrequenz von Federpendel und Schwingkreis.
Periodendauer und Frequenz
Die Periodendauer \(T\) ist das kleinste Zeitintervall, nach dem sich ein Verlauf vollständig und exakt wiederholt. Die Grundlagen stehen unter periodische Vorgänge. Eine Sinusschwingung mit konstanter Amplitude ist ein solcher periodischer Vorgang.
Im Zeitdiagramm suchst du das kleinste Muster, das sich wiederholt. Seine Länge zählst du in Rasterabständen. Bei zusammengesetzten Signalen reicht der Abstand zweier Gipfel nicht. Im Beispiel wechseln hohe und niedrige Gipfel ab, die Gipfel liegen 3 Marken auseinander. Das vollständige Muster aus hohem und niedrigem Gipfel umfasst aber 6 Marken. Das ist die Periode.
Die Frequenz \(f\), oft auch \(\nu\) geschrieben, zählt die Schwingungen pro Sekunde. Sie ist der Kehrwert der Periodendauer. Die Kreisfrequenz \(\omega\) rechnet eine volle Periode in den Winkel \(2\pi\) um, wie die Winkelgeschwindigkeit bei der Kreisbewegung.
\[T = \frac{1}{f} \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(T\) | Periodendauer (Schwingungsdauer) | s |
| \(f\), \(\nu\) | Frequenz | Hz = 1/s |
| \(\omega\) | Kreisfrequenz | 1/s (rad/s) |
Doppelte Frequenz bedeutet halbe Periodendauer. Die technische Wechselspannung mit 50 Hz hat deshalb \(T = 1/(50\ \mathrm{Hz}) = 0{,}02\) s, also 20 ms.
Rechenbeispiel
Ein Federpendel braucht für eine volle Schwingung 0,4 s.
- Frequenz: \(f = 1/T = 1/(0{,}4\ \mathrm{s}) = 2{,}5\) Hz.
- Kreisfrequenz: \(\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2{,}5\ \mathrm{Hz} \approx 15{,}7\) 1/s.
- Kontrolle: \(\omega = 2\pi/T = 6{,}28/(0{,}4\ \mathrm{s}) \approx 15{,}7\) 1/s.
Zwei Schwingungen auf gemeinsamer Zeitachse vergleichst du über ihre Periodendauern. Passen ins selbe Zeitfenster bei A zwei Perioden und bei B drei, ist \(T_B\) kürzer. Dann gilt \(f_B : f_A = 3 : 2\).
Zwei Fehler sind typisch. Man vergisst den Kehrwert und rechnet \(T = f\). Oder man verwechselt \(f\) und \(\omega\), die sich um den Faktor \(2\pi \approx 6{,}28\) unterscheiden.
Schwingungsgleichung
Die Auslenkung einer harmonischen Schwingung folgt dieser Zeitfunktion:
\[x(t) = \hat{x} \cdot \sin(\omega t + \varphi)\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(x(t)\) | Auslenkung zur Zeit \(t\) | m |
| \(\hat{x}\) | Amplitude, größte Auslenkung | m |
| \(\omega\) | Kreisfrequenz | 1/s |
| \(t\) | Zeit | s |
| \(\varphi\) | Phasenwinkel (Nullphase) | rad |
Man kann sich die Schwingung wie den Schatten eines rotierenden Zeigers vorstellen. Der Zeiger hat die Länge \(\hat{x}\) und dreht sich mit \(\omega\) im Kreis. Seine Projektion auf die senkrechte Achse ist die Auslenkung. Der Phasenwinkel \(\varphi\) gibt an, wo der Zeiger zur Zeit \(t = 0\) steht. Von Spitze zu Spitze misst die Kurve \(2\hat{x}\).
Ob Sinus oder Kosinus, spielt keine Rolle. Die Kosinuskurve ist nur eine um eine Viertelperiode verschobene Sinuskurve: \(\cos(\omega t) = \sin(\omega t + \pi/2)\). Auch ein beliebiger Phasenwinkel im Argument, also \(\omega t \pm \varphi\), erhält die harmonische Form. Er verschiebt nur den Startpunkt.
Um eine vorgelegte Gleichung zu prüfen, achtest du auf drei Merkmale:
- Vor der Winkelfunktion steht eine konstante Amplitude.
- Es ist ein einzelner Sinus oder Kosinus.
- Im Argument steht nur \(\omega t\) plus eine Konstante.
Anders ist es bei \(y = \hat{y} \sin \omega(t - y)\). Hier steht die Auslenkung \(y\) selbst im Argument. Damit hängt \(y\) nicht mehr als reiner Sinus von der Zeit ab. Diese Gleichung beschreibt daher keine harmonische Schwingung.
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Auslenkungskurve, wie in den Bewegungsdiagrammen. Leitet man die Schwingungsgleichung nach der Zeit ab, erhält man Geschwindigkeit und Beschleunigung:
\[v(t) = \omega \hat{x} \cos(\omega t + \varphi)\]
\[a(t) = -\omega^2 \hat{x} \sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t)\]
Alle drei Größen schwingen mit derselben Periodendauer. Sie sind nur gegeneinander um eine Viertelperiode verschoben.
An einem Umkehrpunkt bleibt der Körper kurz stehen, bevor er die Richtung wechselt. Dort ist die Geschwindigkeit null. Die Auslenkung ist maximal, also sind Rückstellkraft und Beschleunigung dem Betrag nach maximal.
In der Ruhelage ist es umgekehrt. Die Auslenkung ist null, also wirkt keine resultierende Kraft. Die Beschleunigung ist null. Gerade hier ist der Körper am schnellsten, seine Geschwindigkeit ist maximal.
Wird im Examen gerne gefragt: An den Umkehrpunkten ist \(v = 0\), beim Durchgang durch die Ruhelage ist \(v\) maximal und \(a = 0\). Achte darauf, maximale Auslenkung nicht mit maximaler Geschwindigkeit gleichzusetzen.
Im Auslenkungs-Zeit-Diagramm liest du das an der Kurvenform ab:
- Extrema (Gipfel und Täler): waagerechte Tangente, Steigung null, also \(v = 0\).
- Nulldurchgänge: steilste Stelle, also Geschwindigkeit maximal und \(a = 0\).
- An den Nulldurchgängen liegt die Energie rein kinetisch vor. Den Energiewechsel behandelt Energieumwandlung bei harmonischen Schwingungen.
Beim vertikalen Federpendel liegt die Ruhelage mittig zwischen oberem und unterem Umkehrpunkt. In beiden Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit null, in der Mitte ist sie maximal.
Die Ruhelage ist nicht die Lage der entspannten Feder. Sie liegt tiefer, nämlich dort, wo sich Gewichtskraft und Federkraft aufheben.
Rolle der Amplitude
Die Amplitude legt fest, wie weit der Körper ausschlägt. Wie schnell er hin und her schwingt, legt sie nicht fest. Frequenz und Periodendauer einer harmonischen Schwingung hängen nicht von der Amplitude ab und auch nicht vom Phasenwinkel.
Der Grund ist die proportionale Rückstellkraft. Bei doppelter Auslenkung zieht die Feder doppelt so stark. Der Körper wird doppelt so schnell und schafft den doppelten Weg in derselben Zeit. Die Eigenfrequenz bleibt deshalb während des ganzen Schwingungsvorgangs konstant. Sie hängt nur vom System ab, beim Federpendel von Masse und Federkonstante.
Die Amplitude ergibt sich aus der Anfangsauslenkung. Lenkst du das Pendel um 3 cm aus und lässt es los, schwingt es mit \(\hat{x} = 3\) cm. Mit der Masse hat sie nichts zu tun, sie ist insbesondere nicht proportional zu \(\sqrt{m}\).
Anders verhalten sich die Maximalwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung. Sie stehen als Faktoren vor der Winkelfunktion und wachsen proportional mit der Amplitude:
\[v_{max} = \omega \hat{x} \qquad a_{max} = \omega^2 \hat{x}\]
Diese Unterscheidung ist besonders prüfungsrelevant: Bei doppelter Auslenkung bleiben \(f\) und \(T\) gleich, während sich \(v_{max}\) und \(a_{max}\) verdoppeln.
Rechenbeispiel
Das Pendel von oben (\(T = 0{,}4\) s, \(\omega \approx 15{,}7\) 1/s) wird um 3 cm ausgelenkt.
- Maximalgeschwindigkeit: \(v_{max} = 15{,}7\ \mathrm{1/s} \cdot 0{,}03\ \mathrm{m} \approx 0{,}47\) m/s.
- Maximalbeschleunigung: \(a_{max} = (15{,}7\ \mathrm{1/s})^2 \cdot 0{,}03\ \mathrm{m} \approx 7{,}4\) m/s².
- Doppelte Auslenkung (6 cm): \(T\) bleibt 0,4 s, \(v_{max} \approx 0{,}94\) m/s, \(a_{max} \approx 14{,}8\) m/s².
Die Amplitude streckt die Kurve nur in die Höhe. Ihre Breite, also Periodendauer und Frequenz, bleibt gleich.
Ein naheliegender Denkfehler lautet, ein weiter ausgelenktes Pendel brauche länger für eine Schwingung. Bei der harmonischen Schwingung gleicht die höhere Geschwindigkeit den längeren Weg genau aus.
Quiz
Aussage 1
Eine Wechselspannung mit der Frequenz 50 Hz hat eine Periodendauer von 0,02 s.
\(T = 1/f = 1/(50\ \mathrm{Hz}) = 0{,}02\) s.
Aussage 2
Am Umkehrpunkt eines Federpendels erreicht die Masse ihre größte Geschwindigkeit.
Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit null; maximal ist sie beim Durchgang durch die Ruhelage.
Aussage 3
Die Kreisfrequenz berechnet sich als \(\omega = f/(2\pi)\).
Richtig ist \(\omega = 2\pi f = 2\pi/T\); die Kreisfrequenz ist um den Faktor \(2\pi\) größer als die Frequenz.
Aussage 4
Bei doppelter Amplitude verdoppelt sich die Maximalbeschleunigung eines harmonischen Schwingers.
Es gilt \(a_{max} = \omega^2 \hat{x}\); bei gleichem \(\omega\) ist \(a_{max}\) proportional zur Amplitude.
Aussage 5
Lenkt man ein harmonisches Federpendel doppelt so weit aus, halbiert sich seine Frequenz.
Frequenz und Periodendauer sind unabhängig von der Amplitude und bleiben gleich.
Aussage 6
Steht die Auslenkung \(y\) selbst im Argument der Sinusfunktion, etwa in \(y = \hat{y} \sin \omega(t - y)\), liegt keine harmonische Schwingung vor.
Harmonisch ist nur die Form \(y = \hat{y} \sin(\omega t + \varphi)\), bei der im Argument allein \(\omega t\) plus eine Konstante steht.
Aussage 7
Beim Nulldurchgang der Auslenkung ist die Beschleunigung eines harmonischen Oszillators null.
Wegen \(a = -\omega^2 x\) verschwindet die Beschleunigung bei \(x = 0\), also in der Ruhelage.
Aussage 8
Die Gleichung \(x = \hat{x} \cos(\omega t - \varphi)\) beschreibt keine harmonische Schwingung, weil sie einen Phasenwinkel enthält.
Kosinusform und Phasenwinkel sind zulässig; sie verschieben nur den Startpunkt. Die Gleichung beschreibt eine harmonische Schwingung.
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