Widerstandsmessung mit der Wheatstone-Brücke
Wie die Wheatstone-Brücke aufgebaut ist, wann sie abgeglichen ist und wie man daraus einen unbekannten Widerstand berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Wheatstone-Brücke ist eine Rautenschaltung aus vier Widerständen mit der Quelle an der einen Diagonale (A–B) und einem Nullinstrument im Brückenzweig (C–D), mit der man einen unbekannten Widerstand bestimmt.
- Sitzt das Messgerät parallel zur Quelle oder verbindet eine Leitung A und B (Kurzschluss), ist die Brücke unbrauchbar.
- Abgleich: Das Nullinstrument zeigt null, C und D liegen auf gleichem Potential, und es gilt \(R_1/R_2 = R_3/R_4\) bzw. \(R_1 \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3\).
- \(R_x\) folgt allein aus den Widerstandsverhältnissen; Quellenspannung und Strom durch \(R_x\) müssen nicht gemessen werden. Bei der Schleifdraht-Brücke gilt \(R_x = R_N \cdot a/b\) mit a gegenüber \(R_x\).
- Im Abgleich kann der Brückenzweig weggelassen werden: Es bleiben zwei parallele Reihenschaltungen, Widerstände zwischen demselben Knotenpaar haben gleiche Spannungen, aber bei verschiedener Größe verschiedene Ströme.
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Worum es geht
Die Wheatstone-Brücke bestimmt einen unbekannten Widerstand durch Vergleich mit bekannten Widerständen, ohne Strom oder Spannung genau messen zu müssen. Sie baut direkt auf dem Spannungsteiler auf. In der Pharmazie begegnet dir das Prinzip etwa bei der Leitfähigkeitsmessung von Elektrolytlösungen.
Aufbau
Eine Brückenschaltung besteht aus vier Widerständen, die zu einer Raute verbunden sind. Die Eckpunkte heißen hier A, B, C und D. Zwischen A und B liegt die Spannungsquelle. Zwischen C und D liegt der Brückenzweig mit einem empfindlichen Strommesser, meist einem Galvanometer.
Ein Nullinstrument ist ein empfindlicher Strom- oder Spannungsmesser im Brückenzweig. Es muss keinen Wert genau messen, sondern nur anzeigen, ob dort ein Strom fließt oder nicht.
Die Raute lässt sich als zwei Spannungsteiler lesen, die parallel an derselben Quelle hängen. Links teilen \(R_1\) und \(R_2\) über den Punkt C, rechts \(R_3\) und \(R_4\) über den Punkt D. Einer der vier Widerstände ist der unbekannte \(R_x\). Ein weiterer ist veränderlich und geeicht, sein Wert lässt sich also genau ablesen. Mit ihm stellt man die Brücke ein.
Entscheidend ist die Lage der beiden Diagonalen. Die Quelle verbindet die Anschlussknoten A und B. Das Messgerät verbindet die Mittelpunkte C und D der beiden Spannungsteiler. Zwei Baufehler machen die Schaltung unbrauchbar. Sitzt das Messgerät ebenfalls zwischen A und B, liegt es parallel zur Quelle und erfährt nichts über die Potentiale von C und D. Eine zusätzliche Leitung zwischen A und B schließt die Quelle kurz, und die Raute erhält keine Spannung mehr.
Beim Prüfen einer Skizze fragst du deshalb: Liegt die Quelle an der einen Diagonale und das Instrument an der anderen? Ist der Fehler gefunden, gehört das Messgerät in den Zweig zwischen C und D.
Abgleichbedingung
Die Brücke ist abgeglichen, wenn das Nullinstrument den Strom null anzeigt. Das gelingt nur, wenn C und D auf demselben Potential liegen. Ohne Potentialdifferenz treibt nichts einen Strom durch den Brückenzweig. Die Brückenspannung ist null.
Warum das von Widerstandsverhältnissen abhängt, zeigt der Spannungsteiler. Links fällt über \(R_2\) der Anteil \(R_2/(R_1+R_2)\) der Quellenspannung ab. Rechts fällt über \(R_4\) der Anteil \(R_4/(R_3+R_4)\) ab. Beide Anteile sind genau dann gleich, wenn beide Teiler im selben Verhältnis teilen:
\[\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}\quad\Leftrightarrow\quad R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3\]
Im Abgleich sind also auch die Produkte gegenüberliegender Rautenseiten gleich. Die Höhe der Quellenspannung spielt dabei keine Rolle.
Die Abgleichbedingung wird im Examen gerne gefragt: Stromloses Nullinstrument, gleiches Potential an C und D und \(R_1/R_2 = R_3/R_4\) beschreiben denselben Zustand. Setze immer die beiden Widerstände desselben Spannungsteilers ins Verhältnis, wobei beide Zähler am selben Quellenpol liegen.
Das Prüfen geht schnell. Mit \(R_1 = 100\) Ω, \(R_2 = 200\) Ω, \(R_3 = 150\) Ω und \(R_4 = 300\) Ω sind beide Verhältnisse 0,5. Die Brücke ist abgeglichen. Ersetzt man \(R_4\) durch 250 Ω, beträgt das rechte Verhältnis 0,6. Jetzt schlägt das Instrument aus.
Unbekannten Widerstand bestimmen
Im Abgleich löst man die Bedingung nach \(R_x\) auf. Steht \(R_x\) an der Stelle von \(R_2\), gilt \(R_1/R_x = R_3/R_4\) und damit:
\[R_x = R_1\cdot\frac{R_4}{R_3}\]
Mit \(R_1 = 200\) Ω, \(R_3 = 500\) Ω und \(R_4 = 300\) Ω folgt \(R_x = 120\) Ω.
Die Quellenspannung kürzt sich heraus. Man muss sie deshalb nicht messen. Ebenso entfallen der Strom durch \(R_x\) und die Spannungen an einzelnen Widerständen. Nötig sind nur die bekannten Widerstände und die Nullanzeige. Weil im Abgleich kein Strom durch das Instrument fließt, verfälscht auch sein Innenwiderstand nichts, anders als bei der direkten Strom- und Spannungsmessung.
Schleifdraht-Brücke
Hier ersetzt ein gespannter, homogener Draht zwei der vier Widerstände. Oben liegen \(R_x\) und ein bekannter Vergleichswiderstand \(R_N\) in Reihe. Ein Schleifkontakt teilt den Draht in die Abschnitte a und b. Da der Widerstand eines Drahts proportional zu seiner Länge ist, verhalten sich die Teilwiderstände wie die Längen. Man verschiebt den Schleifer, bis das Galvanometer null zeigt:
\[\frac{R_x}{R_N}=\frac{a}{b}\quad\Rightarrow\quad R_x = R_N\cdot\frac{a}{b}\]
Mit \(R_N = 100\) Ω, a = 40 cm und b = 60 cm ergibt sich \(R_x \approx 66{,}7\) Ω.
Jeder Drahtabschnitt gehört zu dem Widerstand, der ihm gegenüberliegt: a zu \(R_x\), b zu \(R_N\). Vertauscht man die Zuordnung, erhält man im Beispiel fälschlich 150 Ω.
Brückenzweig im Abgleich
Im Abgleich fließt durch den Brückenzweig kein Strom, weil seine Enden C und D auf gleichem Potential liegen. Ob dort ein Messgerät oder ein beliebiger Querwiderstand sitzt, ist dann gleichgültig. Man darf den Zweig für Rechnungen weglassen. Ströme und Spannungen an den vier Brückenwiderständen ändern sich dadurch nicht.
Übrig bleiben zwei Reihenschaltungen, die parallel an der Quelle liegen. Da in C kein Strom abzweigt, führen \(R_1\) und \(R_2\) denselben Strom. Dasselbe gilt für \(R_3\) und \(R_4\).
Ein Zahlenbeispiel mit \(U = 12\) V zeigt die Folgen:
| Widerstand | Wert | Strom | Spannung |
|---|---|---|---|
| \(R_1\) | 100 Ω | 40 mA | 4 V |
| \(R_2\) | 200 Ω | 40 mA | 8 V |
| \(R_3\) | 200 Ω | 20 mA | 4 V |
| \(R_4\) | 400 Ω | 20 mA | 8 V |
\(R_1\) und \(R_3\) liegen zwischen A und den gleich hohen Punkten C und D. Sie haben deshalb denselben Spannungsabfall. Trotzdem fließen verschieden starke Ströme, denn der größere Widerstand lässt bei gleicher Spannung weniger Strom durch. Für \(R_2\) und \(R_4\) gilt dasselbe.
Den Ersatzwiderstand berechnet man ohne Brückenzweig:
\[R_\text{ges}=\frac{(R_1+R_2)\cdot(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}\]
Im Beispiel liegen 300 Ω parallel zu 600 Ω, das ergibt 200 Ω. Die Kontrolle passt: 12 V / 200 Ω = 60 mA, also 40 mA + 20 mA. Am einfachsten ist die symmetrische Brücke aus vier gleichen Widerständen \(R\). Jede Seite hat \(2R\), beide parallel ergeben wieder \(R\), unabhängig vom Querwiderstand zwischen C und D.
Quiz
Aussage 1
Liegt bei einer Schleifdraht-Brücke der Abschnitt a gegenüber \(R_x\) und b gegenüber \(R_N\), so gilt im Abgleich \(R_x = R_N \cdot b/a\).
Jeder Abschnitt gehört zum gegenüberliegenden Widerstand: \(R_x/R_N = a/b\), also \(R_x = R_N \cdot a/b\).
Aussage 2
Zeigt das Nullinstrument einer Wheatstone-Brücke den Strom null an, liegen die beiden Endpunkte des Brückenzweigs auf gleichem Potential.
Ohne Potentialdifferenz zwischen C und D fließt kein Strom durch den Brückenzweig. Genau das ist der Abgleich.
Aussage 3
Bei einer funktionsfähigen Wheatstone-Brücke liegt das Galvanometer an derselben Diagonale wie die Spannungsquelle.
Die Quelle liegt an der Diagonale A–B, das Galvanometer an der anderen Diagonale zwischen den Mittelpunkten C und D der Spannungsteiler.
Aussage 4
Entfernt man in einer abgeglichenen Wheatstone-Brücke den Brückenzweig, bleiben Ströme und Spannungen an den vier Brückenwiderständen unverändert.
Durch den Brückenzweig fließt im Abgleich kein Strom. Sein Entfernen ändert daher nichts an der übrigen Schaltung.
Aussage 5
Eine Brücke mit \(R_1 = 50\) Ω, \(R_2 = 150\) Ω, \(R_3 = 120\) Ω und \(R_4 = 360\) Ω ist abgeglichen.
Beide Verhältnisse betragen 1/3: 50/150 = 120/360. Damit ist \(R_1/R_2 = R_3/R_4\) erfüllt.
Aussage 6
Um \(R_x\) an einer abgeglichenen Brücke zu berechnen, muss die angelegte Spannung bekannt sein.
Die Quellenspannung kürzt sich heraus. \(R_x\) folgt allein aus den bekannten Widerständen über die Abgleichbedingung.
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