Freier Fall und Wurfbewegungen
Freier Fall, senkrechter, waagerechter und schräger Wurf ohne Luftreibung: Formeln, Proportionalitäten und Rechenwege für Fallzeit, Fallweg und Aufprallgeschwindigkeit.
Das Wichtigste in Kürze
- Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit \(a = g\), bei der nur die Gewichtskraft wirkt. Fallzeit und Beschleunigung sind massenunabhängig.
- Aus der Ruhe gilt \(v = g \cdot t\) (linear) und \(s = \frac{1}{2} g t^2\) (quadratisch). Die Höhe folgt einer nach unten geöffneten Parabel.
- Die Aufprallgeschwindigkeit ist \(v = \sqrt{2 g h}\), die Falldauer \(t = v/g\). Vierfache Höhe ergibt doppelte Geschwindigkeit.
- Beim senkrechten Wurf sind Steig- und Fallzeit gleich. Die Flugzeit ist \(2 v_0/g\), die Steigzeit die halbe Gesamtzeit.
- Beim waagerechten Wurf bleibt \(v_x\) konstant. Der Körper landet gleichzeitig mit einem frei fallenden aus gleicher Höhe.
- Beim schrägen Wurf ins Tal ist die Steigzeit kürzer als die Fallzeit. Die Vertikalkomponente kehrt im Scheitel ihre Richtung um.
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Worum es geht
Fällt ein Körper ohne Luftreibung, beschleunigt ihn allein die Schwerkraft. Fall und Wurf sind damit die wichtigsten Anwendungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit wenigen Formeln lassen sich Fallzeiten, Aufprallgeschwindigkeiten und Wurfbahnen berechnen.
Freier Fall
Ein Körper fällt frei, wenn nur die Gewichtskraft auf ihn wirkt. Nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt dann \(a = F_G/m = m g/m = g\). Die Masse kürzt sich heraus. Deshalb fallen Feder und Bleikugel im Vakuum gleich schnell. Die Fallzeit hängt nicht von der Masse ab. Die Fallbeschleunigung \(g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\) bleibt während des ganzen Falls konstant.
Es wirkt keine Gegenkraft, also herrscht kein Kräftegleichgewicht. Der Körper wird ständig schneller und erreicht ohne Reibung keine Grenzgeschwindigkeit. Eine konstante Endgeschwindigkeit entsteht erst durch Reibung im Medium, siehe Kugelfall und Stokes’sche Reibung.
Der freie Fall aus der Ruhe ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit \(a = g\) und \(v_0 = 0\). Die dortigen Gesetze gelten direkt:
\[v = g \cdot t \qquad s = \tfrac{1}{2} g t^2 \qquad v = \sqrt{2 g h}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(v\) | Fallgeschwindigkeit | m/s |
| \(g\) | Fallbeschleunigung | m/s² |
| \(t\) | Fallzeit | s |
| \(s\) | Fallweg nach der Zeit \(t\) | m |
| \(h\) | gesamte Fallhöhe | m |
Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit. Der Fallweg wächst dagegen quadratisch. Für die Höhe über dem Boden gilt \(h(t) = h_1 - \frac{1}{2} g t^2\). Im Diagramm ist das eine nach unten geöffnete Parabel. Die dritte Formel entsteht, wenn man \(t = v/g\) in das Weg-Zeit-Gesetz einsetzt: \(h = v^2/(2g)\).
Die Proportionalitäten im Überblick:
- Doppelte Fallzeit: doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Fallweg.
- Vierfache Fallhöhe: doppelte Fallzeit und doppelte Aufprallgeschwindigkeit.
- Doppelte Masse: keine Änderung.
Ein Tablettenröhrchen fällt aus 1,25 m Höhe vom Regal. Mit \(g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}\) rechnet man so:
- Fallzeit: \(h = \frac{1}{2} g t^2\) nach \(t\) auflösen: \(t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \cdot 1{,}25\ \mathrm{m} / 10\ \mathrm{m/s^2}} = 0{,}5\ \mathrm{s}\).
- Aufprallgeschwindigkeit: \(v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 1{,}25\ \mathrm{m}} = 5\ \mathrm{m/s}\).
- Kontrolle: \(v = g \cdot t = 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}5\ \mathrm{s} = 5\ \mathrm{m/s}\). Umgekehrt liefert \(t = v/g\) die Falldauer aus der Aufprallgeschwindigkeit.
Die Aufprallgeschwindigkeit \(v = \sqrt{2 g h}\) und die Falldauer \(t = v/g\) werden im Examen gerne gefragt. Achte auf die Wurzel: \(v\) wächst nur mit \(\sqrt{h}\), die doppelte Höhe ergibt also das \(\sqrt{2}\)-Fache, etwa 1,41-mal so schnell.
Häufige Fehler sind ein vergessenes Quadrat bei \(t^2\) und Höhen in Zentimetern statt Metern.
\(\frac{1}{2} g t^2\) erinnert an \(\frac{1}{2} m v^2\), ist aber ein Weg. Die Einheitenprobe zeigt es: \(\mathrm{m/s^2} \cdot \mathrm{s^2} = \mathrm{m}\).
Senkrechter Wurf
Beim senkrechten Wurf verlässt der Körper die Hand mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) nach oben. Auch hier wirkt nur \(g\), jetzt aber gegen die Bewegungsrichtung. Es gilt \(v(t) = v_0 - g t\). Die Geschwindigkeit sinkt pro Sekunde um rund 9,81 m/s, bis sie im Scheitel null ist. Daraus folgt die Steigzeit \(t_{St} = v_0/g\).
Vom Scheitel an fällt der Körper frei zurück. Ohne Luftreibung ist der Abstieg das Spiegelbild des Aufstiegs. Steigzeit und Fallzeit sind gleich lang, und der Körper kommt mit \(v_0\) nach unten zurück. Die gesamte Flugzeit beträgt deshalb \(t = 2 v_0/g\). Sie ist proportional zur Anfangsgeschwindigkeit.
Die Symmetrie hat eine praktische Folge. Die Steigzeit ist immer die halbe Gesamtflugzeit. Dafür muss man weder \(v_0\) noch die Steighöhe kennen. Ein Beispiel: Ein Ball landet 3 s nach dem Abwurf wieder in der Hand.
- Steigzeit: \(t_{St} = 3\ \mathrm{s} / 2 = 1{,}5\ \mathrm{s}\).
- Anfangsgeschwindigkeit: \(v_0 = g \cdot t_{St} = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} \cdot 1{,}5\ \mathrm{s} \approx 14{,}7\ \mathrm{m/s}\).
- Steighöhe: Der Rückweg ist ein freier Fall von 1,5 s: \(h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} \cdot (1{,}5\ \mathrm{s})^2 \approx 11\ \mathrm{m}\).
Lege vor dem Rechnen eine Richtung als positiv fest. Sonst geraten die Vorzeichen von \(v_0\) und \(g\) durcheinander.
Waagerechter und schräger Wurf
Beim waagerechten Wurf startet der Körper horizontal, etwa von einer Tischkante. Seine Bewegung ist eine Überlagerung zweier unabhängiger Teilbewegungen. Waagerecht wirkt ohne Reibung keine Kraft, also bleibt \(v_x\) konstant. Senkrecht zur Tischplatte beschleunigt \(g\) den Körper genau wie beim freien Fall.
Die horizontale Anfangsgeschwindigkeit beeinflusst die Fallzeit deshalb nicht. Eine waagerecht geworfene und eine frei fallende Kugel aus gleicher Höhe landen gleichzeitig. Beide haben beim Aufprall dieselbe vertikale Geschwindigkeit \(v_y = \sqrt{2 g h}\). Zu jedem Zeitpunkt liegen sie auf gleicher Höhe, wie die Abbildung zeigt. Die geworfene Kugel rückt dabei in gleichen Zeiten um gleiche Strecken vor.
Die Aufprallgeschwindigkeit setzt sich vektoriell aus beiden Komponenten zusammen: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\). Die Bahn ist ein Parabelast.
Beim schrägen Wurf zeigt \(v_0\) schräg nach oben. Wieder wirkt nur die senkrecht nach unten gerichtete Fallbeschleunigung. Die Horizontalkomponente bleibt bis zum Aufschlag gleich. Die Vertikalkomponente nimmt ab, ist im Scheitel null und kehrt dort ihre Richtung um. Die Steigzeit \(t_{St} = v_{y,0}/g\) hängt nicht von der Masse ab.
Liegt der Landepunkt tiefer als der Abwurfpunkt, wie bei einem Wurf vom Hang ins Tal, bricht die Symmetrie auf. Der Körper fällt nach dem Scheitel erst bis zur Abwurfhöhe zurück und dann noch tiefer. Die Steigzeit ist daher kürzer als die Fallzeit.
Wer Wurf und Fall lieber über Energien betrachtet, findet das beim Energieerhaltungssatz.
Quiz
Aussage 1
Auch ohne Luftreibung erreicht ein fallender Körper nach einiger Zeit eine konstante Grenzgeschwindigkeit.
Ohne Reibung wirkt nur die Gewichtskraft. Es gibt kein Kräftegleichgewicht, die Geschwindigkeit wächst mit \(v = g \cdot t\) weiter.
Aussage 2
Wird die Fallhöhe vervierfacht, verdoppelt sich beim freien Fall aus der Ruhe die Aufprallgeschwindigkeit.
Nach \(v = \sqrt{2 g h}\) wächst \(v\) mit \(\sqrt{h}\), und \(\sqrt{4} = 2\).
Aussage 3
Bei einem schrägen Wurf von einem Hang in ein tiefer liegendes Tal ist die Steigzeit kürzer als die Fallzeit.
Nach dem Scheitel fällt der Körper bis zur Abwurfhöhe und dann noch weiter bis zum Talboden. Die Fallzeit ist deshalb länger.
Aussage 4
Dauert ein senkrechter Wurf ohne Luftreibung insgesamt 4 s, so beträgt die Steigzeit 2 s, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit unbekannt ist.
Steig- und Fallzeit sind gleich lang. Die Steigzeit ist daher die halbe Gesamtflugzeit.
Aussage 5
Eine Kugel mit doppelter Masse braucht beim reibungsfreien Fall aus gleicher Höhe nur die halbe Zeit.
Die Masse kürzt sich heraus, es gilt \(a = g\). Beide Kugeln brauchen gleich lang.
Aussage 6
Eine waagerecht von der Tischkante geworfene Kugel landet später als eine gleichzeitig von dort fallen gelassene Kugel.
Die horizontale Geschwindigkeit beeinflusst die Fallbewegung nicht. Beide Kugeln landen gleichzeitig und mit gleicher vertikaler Geschwindigkeit.
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