Isochore, isobare und isotherme Zustandsänderungen
Wie sich bei isochoren, isobaren und isothermen Prozessen idealer Gase die zugeführte Wärme auf innere Energie und Volumenarbeit verteilt.
Das Wichtigste in Kürze
- Isochore, isobare und isotherme Zustandsänderungen halten Volumen, Druck oder Temperatur konstant und werden mit dem ersten Hauptsatz \(\Delta U = Q + W\) bilanziert.
- Die Volumenarbeit ist \(W = -\int p\,dV\); ihr Betrag ist die Fläche unter der p-V-Kurve bis zur V-Achse. Bei Kompression wird am Gas Arbeit verrichtet, bei Expansion verrichtet das Gas Arbeit.
- Isotherm und reversibel gilt für das ideale Gas \(W = -nRT\ln(V_2/V_1)\), bei Expansion ist \(W\) negativ.
- Isochor ist \(W = 0\) und damit \(\Delta U = Q\); die molare Änderung ist \(\Delta U_m = Q/n\), Temperatur und Druck steigen bei Wärmezufuhr.
- Isobar teilt sich die Wärme auf innere Energie und Volumenarbeit auf, das Gas hebt den Kolben.
- Isotherm ist \(\Delta U = 0\), die aufgenommene Wärme wird vollständig als Arbeit abgegeben.
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Worum es geht
Ändert ein Gas seinen Zustand, wird Energie als Wärme und als Arbeit ausgetauscht. Mit dem ersten Hauptsatz lässt sich für jeden der drei Grundprozesse genau sagen, wohin die Energie geht. Das braucht man für Druckgasflaschen, Autoklaven und später für Kreisprozesse.
Arten von Zustandsänderungen
Bei den einfachsten Zustandsänderungen bleibt eine der drei Größen Druck, Volumen oder Temperatur konstant. Die Namen kennst du aus der Zustandsgleichung des idealen Gases: isochor heißt konstantes Volumen, isobar konstanter Druck, isotherm konstante Temperatur.
| Prozess | konstant | Gasgesetz | Kurve im p-V-Diagramm |
|---|---|---|---|
| isochor | \(V\) | Amontons | senkrechte Linie |
| isobar | \(p\) | Gay-Lussac | waagerechte Linie |
| isotherm | \(T\) | Boyle-Mariotte | fallende Hyperbel \(p = nRT/V\) |
Im p-V-Diagramm starten die drei Wege vom selben Punkt. Die Isochore verläuft senkrecht, weil sich nur der Druck ändert. Die Isobare verläuft waagerecht. Die Isotherme fällt als Hyperbel, denn das Produkt \(pV\) bleibt gleich.
Volumenarbeit
Ein Gas in einem Zylinder drückt mit der Kraft \(F = pA\) auf einen beweglichen Kolben der Fläche \(A\). Verschiebt sich der Kolben um \(dx\), ändert sich das Volumen um \(dV = A\,dx\). Die dabei übertragene Arbeit ist \(F\,dx = p\,dV\).
Die Volumenarbeit ist die Arbeit, die bei einer Volumenänderung gegen den Druck übertragen wird: \(W = -\int_{V_1}^{V_2} p\,dV\). Nach der Vorzeichenkonvention zählt Arbeit, die dem Gas zugeführt wird, positiv.
Daraus folgen die Vorzeichen. Bei einer Kompression ist \(dV < 0\), also \(W > 0\): Am Gas wird Arbeit verrichtet. Das gilt isobar wie isotherm. Bei einer Expansion ist \(dV > 0\) und \(W < 0\): Das Gas verrichtet Arbeit und gibt Energie an die Umgebung ab.
Geometrisch ist der Betrag der Volumenarbeit die Fläche unter der p-V-Kurve. Sie wird oben von der Kurve, unten von der V-Achse und seitlich von den Senkrechten bei \(V_1\) und \(V_2\) begrenzt. Unter einer Isobaren ist diese Fläche ein Rechteck mit dem Inhalt \(p\,\Delta V\). Unter einer Isochoren gibt es keine Breite, also keine Fläche und keine Arbeit.
Die Volumenarbeit ist die Fläche zwischen Kurve und V-Achse. Die Fläche links der Kurve bis zur p-Achse gehört zu \(\int V\,dp\) und ist eine andere Größe.
Isotherme Volumenarbeit herleiten
Bei der Isotherme ändert sich der Druck während der Expansion. Man setzt deshalb die Gasgleichung in das Integral ein.
- Ansatz: \(W = -\int_{V_1}^{V_2} p\,dV\).
- Druck ersetzen: Aus \(pV = nRT\) folgt \(p = nRT/V\). Da \(n\), \(R\) und \(T\) konstant sind, ziehen sie vor das Integral.
- Integrieren: \(\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = \ln V_2 - \ln V_1 = \ln\frac{V_2}{V_1}\).
- Vorzeichen prüfen: Bei Expansion ist \(V_2 > V_1\), der Logarithmus positiv und \(W\) negativ.
\[W = -nRT \ln\frac{V_2}{V_1}\]
\(n\) Stoffmenge in mol, \(R = 8{,}314\) J/(mol·K), \(T\) absolute Temperatur in K, \(V_1\) und \(V_2\) Anfangs- und Endvolumen. Gilt für reversible isotherme Prozesse idealer Gase.
Beispiel: 1 mol eines idealen Gases dehnt sich bei 300 K auf das doppelte Volumen aus. Dann ist \(W = -1 \cdot 8{,}314 \cdot 300 \cdot \ln 2\) J \(\approx -1{,}73\) kJ. Das Gas gibt also 1,73 kJ als Arbeit ab.
Isochore Zustandsänderung
Isochor heißt: Anfangs- und Endzustand haben dasselbe Volumen. Das Gas sitzt in einem starren Gefäß. Ohne Volumenänderung gibt es keine Volumenarbeit, also \(W = 0\).
Der erste Hauptsatz \(\Delta U = Q + W\) wird damit besonders einfach:
\[\Delta U = Q\]
Die zugeführte Wärme landet vollständig in der inneren Energie. Beim idealen Gas steigt dadurch die Temperatur und nach Amontons auch der Druck. Umgekehrt gilt: Wer den Druck isochor erhöhen will, muss Wärme zuführen. Das Prinzip gilt auch für ein Flüssigkeit-Dampf-System im verschlossenen Gefäß, etwa Wasser im Autoklaven: Auch hier wächst die innere Energie beim Erwärmen.
Wird im Examen gerne gefragt: Isochor ist \(W = 0\), deshalb gilt \(\Delta U = Q\). Achte darauf, dass Wärmezufuhr hier stets innere Energie, Temperatur und Druck erhöht, weil kein Anteil als Arbeit abfließt.
Molare innere Energie berechnen
Oft ist die Änderung pro Mol gefragt. Man teilt dazu die Wärme durch die Stoffmenge:
\[\Delta U_m = \frac{Q}{n}\]
Diese Rechnung solltest du sicher können, sie gilt so nur isochor, weil nur dort \(\Delta U = Q\) ist. Beispiel: Einem starren Behälter mit 2 mol Stickstoff werden 800 J zugeführt. Dann steigt die molare innere Energie um \(\Delta U_m = 800\ \text{J} / 2\ \text{mol} = 400\) J/mol. Wie diese Wärme mit der Temperaturerhöhung zusammenhängt, zeigt die Einheit zu den molaren Wärmekapazitäten.
Isobare Erwärmung
Jetzt sitzt das Gas in einem Zylinder mit einem beweglichen, belasteten Kolben. Der Druck bleibt konstant, weil die Last gleich bleibt. Führt man Wärme zu, nimmt das Gas Wärme auf, seine Temperatur steigt und nach Gay-Lussac wächst das Volumen. Ein ideales Gas kann sich also gleichzeitig erwärmen und ausdehnen.
Die Wärme teilt sich dabei auf zwei Posten auf. Ein Teil erhöht die innere Energie. Der andere Teil wird als Volumenarbeit an die Umgebung abgegeben:
\[Q = \Delta U + p\,\Delta V\]
Die Expansion hebt den Kolben samt Last an und verrichtet dabei Hubarbeit. Man kann sich den Kolben wie einen Aufzug vorstellen, den das Gas mit einem Teil der Heizenergie nach oben drückt.
Ein Zahlenbeispiel zeigt die Aufteilung. Für 1 mol eines einatomigen idealen Gases und 10 K Erwärmung ist \(p\,\Delta V = nR\,\Delta T \approx 83\) J. Die innere Energie steigt um \(\tfrac{3}{2}nR\,\Delta T \approx 125\) J. Zuführen muss man also etwa 208 J, deutlich mehr als isochor für dieselbe Erwärmung.
Isotherme Expansion
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Bleibt \(T\) konstant, bleibt auch \(U\) konstant: \(\Delta U = 0\). Der erste Hauptsatz liefert dann \(Q = -W\).
Bei der isothermen Expansion nimmt das Gas Wärme auf und verrichtet Volumenarbeit. Die aufgenommene Wärme wird vollständig als Arbeit abgegeben. Wärmezufuhr führt also nicht zwingend zu einer Temperaturerhöhung. Damit die Temperatur konstant bleibt, muss das Gas während der Ausdehnung im Kontakt mit einem Wärmebad stehen. Für das Beispiel oben heißt das: Das Gas nimmt 1,73 kJ Wärme auf und gibt genau 1,73 kJ als Arbeit ab.
Daraus folgt ein Vergleich mit der Isobaren. Bei gleicher zugeführter Wärme erreicht das Gas isotherm ein größeres Endvolumen als isobar. Isotherm fließt die ganze Wärme in Arbeit. Isobar zweigt ein Teil in die innere Energie ab und steht für die Ausdehnung nicht zur Verfügung.
| Prozess | \(W\) | \(\Delta U\) | Bilanz bei Wärmezufuhr |
|---|---|---|---|
| isochor | \(0\) | \(Q\) | Wärme erhöht nur \(U\) |
| isobar | \(-p\,\Delta V\) | \(Q - p\,\Delta V\) | Wärme teils in \(U\), teils in Arbeit |
| isotherm | \(-nRT\ln(V_2/V_1)\) | \(0\) | Wärme vollständig in Arbeit |
Ohne jeden Wärmeaustausch läuft dagegen ein adiabatischer Prozess ab.
Quiz
Aussage 1
Bei gleicher zugeführter Wärme erreicht ein ideales Gas isotherm ein größeres Endvolumen als isobar.
Isotherm wird die gesamte Wärme zu Arbeit, isobar fließt ein Teil in die innere Energie.
Aussage 2
Wird ein Gas isobar komprimiert, verrichtet das Gas dabei Arbeit an der Umgebung.
Bei Kompression ist \(dV < 0\) und \(W > 0\): Am Gas wird Arbeit verrichtet.
Aussage 3
Führt man einem idealen Gas bei isothermer Expansion Wärme zu, steigt seine innere Energie um diese Wärme.
Isotherm bleibt \(U\) konstant, weil \(U\) beim idealen Gas nur von \(T\) abhängt. Die Wärme wird vollständig als Volumenarbeit abgegeben.
Aussage 4
Die Volumenarbeit einer isothermen Expansion entspricht im p-V-Diagramm der Fläche zwischen Kurve und p-Achse.
Maßgeblich ist die Fläche zwischen Kurve und V-Achse, begrenzt durch die Senkrechten bei \(V_1\) und \(V_2\).
Aussage 5
Erhalten 0,5 mol eines idealen Gases isochor 1,5 kJ Wärme, steigt die molare innere Energie um 3 kJ/mol.
\(\Delta U_m = Q/n = 1{,}5\ \text{kJ} / 0{,}5\ \text{mol} = 3\) kJ/mol.
Aussage 6
Bei einer isochoren Zustandsänderung eines idealen Gases gilt \(\Delta U = Q\), weil keine Volumenarbeit verrichtet wird.
Ohne Volumenänderung ist \(W = 0\), der erste Hauptsatz reduziert sich auf \(\Delta U = Q\).
Aussage 7
Bei isobarer Erwärmung eines idealen Gases dient die zugeführte Wärme ausschließlich der Erhöhung der inneren Energie.
Das Gas dehnt sich aus und verrichtet Volumenarbeit; es gilt \(Q = \Delta U + p\,\Delta V\).
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