Normalverteilung, Mittelwert und Standardabweichung
Wie man eine Messreihe mit Mittelwert und Standardabweichung beschreibt und welcher Anteil der Messwerte einer Normalverteilung in den Sigma-Intervallen liegt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Normalverteilung beschreibt rein zufällig streuende Messwerte als symmetrische Glockenkurve mit Maximum beim Mittelwert und Wendepunkten bei \(\overline{m}\pm s\).
- Die Standardabweichung \(s\) ist die Wurzel aus der Varianz und hat die Einheit der Messwerte.
- Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist die Fläche unter der Dichtefunktion, also ein Integral; die Gesamtfläche ist 1.
- Im Intervall \(\overline{m}\pm s\) liegen rund 68,3 %, in \(\overline{m}\pm 2s\) rund 95,4 %, in \(\overline{m}\pm 3s\) rund 99,7 % der Messwerte.
- Schief verteilte Daten werden oft durch Logarithmieren annähernd normalverteilt.
Worum es geht
Wiederholte Messungen streuen wegen zufälliger Messabweichungen um einen mittleren Wert. Mittelwert und Standardabweichung fassen diese Streuung in zwei Zahlen zusammen. Das braucht man in der Pharmazie bei jeder Gehaltsbestimmung und Wägeserie.
Messreihen statistisch beschreiben
Der arithmetische Mittelwert ist die Summe aller \(n\) Messwerte \(m_i\), geteilt durch ihre Anzahl. Wie stark die Werte um ihn streuen, beschreibt die Varianz \(s^2\). Ihre Wurzel ist die Standardabweichung \(s\), die dieselbe Einheit wie die Messwerte hat.
\[\overline{m}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} m_i \qquad s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(m_i-\overline{m}\right)^2}\]
Für unendlich viele Messungen nähert sich \(\overline{m}\) dem Erwartungswert \(\mu\) und \(s\) der Größe \(\sigma\). Rein zufällige Abweichungen ergeben meist eine Normalverteilung. Ihr Graph ist die Gaußsche Glockenkurve: symmetrisch, mit dem Maximum beim Mittelwert und den Wendepunkten bei \(\overline{m}\pm s\).
Manche Daten sind schief verteilt, etwa Konzentrationen, die nicht negativ werden können. Nach einer Transformation, oft durch Logarithmieren, sind sie häufig wieder annähernd normalverteilt.
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Glockenkurve zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)\). Ihre Höhe an einer Stelle ist selbst keine Wahrscheinlichkeit. Erst die Fläche unter der Kurve über einem Intervall gibt an, wie wahrscheinlich ein Messwert in diesem Intervall liegt. Rechnerisch ist das ein Integral:
\[P(a\le x\le b)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1, also 100 %. Man kann sich die Fläche wie einen Sandhaufen vorstellen: Wie viel Sand zwischen a und b liegt, ist der Anteil der Messwerte dort.
Sigma-Intervalle
Bei einer Normalverteilung hängt der Anteil im Intervall nur davon ab, wie viele Standardabweichungen es breit ist. Je breiter das Intervall, desto größer die Fläche.
| Intervall | Anteil der Messwerte |
|---|---|
| \(\overline{m}\pm s\) | rund 68,3 % |
| \(\overline{m}\pm 2s\) | rund 95,4 % |
| \(\overline{m}\pm 3s\) | rund 99,7 % |
Im Diagramm sucht man für 68,3 % den Bereich von \(\overline{m}-s\) bis \(\overline{m}+s\). Er besteht aus den zwei mittleren Streifen mit je 34,1 %. Ein einseitiges Intervall wie \(\overline{m}\) bis \(\overline{m}+2s\) enthält dagegen nur 34,1 % + 13,6 % = 47,7 %.
Faustregel 68 – 95 – 99,7: So viel Prozent der Messwerte liegen innerhalb von einer, zwei und drei Standardabweichungen um den Mittelwert.
Quiz
Aussage 1
Der Funktionswert der Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle gibt direkt die Wahrscheinlichkeit an, genau diesen Messwert zu erhalten.
Wahrscheinlichkeiten ergeben sich erst als Fläche unter der Dichtefunktion über einem Intervall, also als Integral von a bis b.
Aussage 2
Das Intervall vom Mittelwert bis \(\overline{m}+2s\) enthält bei einer Normalverteilung rund 68,3 % der Messwerte.
Dieser einseitige Bereich umfasst nur 34,1 % + 13,6 % = 47,7 %. Die 68,3 % liegen symmetrisch zwischen \(\overline{m}-s\) und \(\overline{m}+s\).
Aussage 3
Bei einer Normalverteilung liegen im Intervall \(\overline{m}\pm 2s\) rund 95,4 % der Messwerte.
Das doppelte Sigma-Intervall ist breiter als \(\overline{m}\pm s\) und umfasst deshalb mehr als 68,3 %, nämlich rund 95,4 %.
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