Phasendifferenz sinusförmiger Größen
Wie man den zeitlichen Versatz zweier gleichfrequenter Sinusgrößen als Winkel angibt, aus Diagrammen bestimmt und Gegenphasigkeit erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) ist der konstante Winkel zwischen zwei gleichfrequenten Sinusgrößen, etwa Spannung und Stromstärke.
- Sie hat die Dimension eines Winkels (rad oder Grad), anders als Frequenz und Kreisfrequenz mit der Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\).
- Aus dem Zeitversatz gilt \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot \Delta t/T\): Viertelperiode gleich \(\pi/2\), volle Periode gleich \(2\pi\), deckungsgleiche Kurven gleich null.
- Am Oszilloskop ergibt Kästchenzahl mal Zeitablenkung die Periodendauer \(T\), daraus folgt \(f = 1/T\).
- Gegenphasig (\(\Delta\varphi = \pi\)) sind Kurven, wenn Maximum auf Minimum trifft bzw. an gemeinsamen Nulldurchgängen die eine steigt und die andere fällt.
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Worum es geht
Zwei Wechselgrößen gleicher Frequenz laufen oft nicht im Gleichtakt. Die Phasendifferenz beschreibt diesen Versatz als Winkel. Man braucht sie, um Oszilloskopbilder auszuwerten und später die Phasenlage an Spule und Kondensator zu verstehen.
Phasendifferenz als Winkel
Zwei Sinusgrößen gleicher Frequenz erreichen ihr Maximum oft nicht gleichzeitig. Die Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) gibt an, wie weit ihre Phasen auseinanderliegen. Das typische Beispiel sind Spannung und Stromstärke im Wechselstromkreis.
Man kann sich jede Sinusgröße als Zeiger vorstellen, der gleichmäßig auf einem Kreis umläuft. Haben beide Zeiger dieselbe Kreisfrequenz, bleibt der Winkel zwischen ihnen konstant. Genau dieser Winkel ist die Phasendifferenz. Projiziert man die Zeiger auf eine Achse, entstehen zwei gegeneinander verschobene Sinuskurven.
Die Phasendifferenz hat deshalb die Dimension eines Winkels. Man gibt sie in Radiant oder Grad an, etwa \(\pi/2\) oder 90°. Frequenz und Kreisfrequenz haben dagegen die Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\). Sie beschreiben, wie schnell der Zeiger umläuft. Die Phasendifferenz sagt nur, wie weit ein Zeiger dem anderen voraus ist.
Phasendifferenz aus Zeitverschiebung
Im Diagramm sieht man keinen Winkel, sondern einen Zeitversatz \(\Delta t\). Eine volle Periode \(T\) entspricht einem vollen Umlauf des Zeigers, also \(2\pi\) oder 360°. Der Zeitversatz ist ein Bruchteil davon.
\[\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{\Delta t}{T}\]
\(\Delta\varphi\): Phasendifferenz in rad. \(\Delta t\): Zeitversatz zwischen gleichartigen Punkten beider Kurven in s. \(T\): Periodendauer in s. Für Grad ersetzt man \(2\pi\) durch 360°.
Daraus folgen die Eckwerte. Ein Versatz um eine Viertelperiode ergibt \(\pi/2\) (90°), eine halbe Periode ergibt \(\pi\) (180°). Eine volle Periode ergibt \(2\pi\), und die Kurven liegen wieder übereinander. Deckungsgleiche Verläufe haben die Phasendifferenz null.
Auswertung eines Oszilloskopbilds
Das Oszilloskop zeigt ein Kästchenraster mit bekannter Zeitablenkung. So gehst du vor:
- Periode ablesen: Kästchen zwischen zwei gleichen Punkten einer Kurve zählen, etwa zwei ansteigenden Nulldurchgängen. Mal Zeitablenkung ergibt \(T\).
- Frequenz berechnen: \(f = 1/T\).
- Versatz ablesen: Kästchen zwischen entsprechenden Punkten beider Kurven zählen und in \(\Delta t\) umrechnen.
- Phasendifferenz berechnen: \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot \Delta t/T\).
Im Beispiel der Abbildung beträgt die Zeitablenkung 2 ms pro Kästchen. Eine Periode umfasst 5 Kästchen, also \(T\) = 10 ms und \(f\) = 100 Hz. Der Versatz beträgt 1 Kästchen, also \(\Delta t\) = 2 ms. Damit gilt \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot 0{,}2 = 0{,}4\pi\), das sind 72°.
Vergleichst du zwei getrennte Diagramme, prüfst du die Größen einzeln. Die Amplitude liest du an der Höhe der Maxima ab, die Frequenz über die Periodendauer. Eine Phasendifferenz ist nur bei gleicher Frequenz sinnvoll. Nur dann bleibt der Versatz über alle Perioden konstant.
Die Umrechnung \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot \Delta t/T\) wird im Examen gerne gefragt, meist am Oszilloskopbild. Rechne \(\Delta t\) und \(T\) mit derselben Zeitablenkung um. Viertelperiode entspricht \(\pi/2\), volle Periode \(2\pi\).
Gegenphasigkeit
Bei \(\Delta\varphi = \pi\) (180°) sind zwei Sinusgrößen gegenphasig. Sie sind um eine halbe Periode verschoben. Bei gleicher Amplitude ist die eine Kurve das Spiegelbild der anderen an der Zeitachse.
Zwei Merkmale verraten Gegenphasigkeit:
- Dem Maximum der einen Kurve steht stets ein Minimum der anderen gegenüber.
- Beide haben dieselben Nulldurchgänge, aber dort steigt die eine, während die andere fällt.
Gleiche Nulldurchgänge allein genügen also nicht. Bei gleicher Steigung dort sind die Kurven gleichphasig mit \(\Delta\varphi = 0\). Bei \(\pi/2\) fällt das Maximum der einen dagegen auf einen Nulldurchgang der anderen.
Um das Diagramm mit \(\Delta\varphi = \pi\) zu finden, schau auf das Maximum der ersten Kurve. Liegt die zweite dort im Minimum, sind beide gegenphasig.
Quiz
Aussage 1
Zwei gleichfrequente Sinusspannungen sind gegenphasig, wenn das Maximum der einen auf einen Nulldurchgang der anderen fällt.
Maximum auf Nulldurchgang bedeutet \(\Delta\varphi = \pi/2\). Gegenphasig (\(\Delta\varphi = \pi\)) sind sie, wenn dem Maximum der einen ein Minimum der anderen gegenübersteht.
Aussage 2
Bei einer Zeitablenkung von 5 ms pro Kästchen und einer Periode über 4 Kästchen hat die Spannung eine Frequenz von 50 Hz.
\(T\) = 4 · 5 ms = 20 ms, also \(f = 1/T\) = 50 Hz.
Aussage 3
Sind zwei gleichfrequente Sinusspannungen um ein Viertel der Periodendauer gegeneinander verschoben, beträgt ihre Phasendifferenz \(\pi/2\).
Nach \(\Delta\varphi = 2\pi \cdot \Delta t/T\) ergibt \(\Delta t = T/4\) genau \(\pi/2\), also 90°.
Aussage 4
Die Phasendifferenz zwischen Spannung und Stromstärke hat dieselbe Einheit wie die Kreisfrequenz, nämlich \(\mathrm{s^{-1}}\).
Die Phasendifferenz ist ein Winkel und wird in rad oder Grad angegeben. Die Kreisfrequenz beschreibt die Umlaufgeschwindigkeit und hat die Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\).
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