Bändermodell: Metall, Halbleiter, Isolator
Wie aus Atomniveaus Energiebänder entstehen und warum Bandbesetzung und Bandlücke entscheiden, ob ein Festkörper Metall, Halbleiter oder Isolator ist.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Bändermodell beschreibt die Energiezustände der Elektronen im Festkörper: Atomniveaus spalten im Kristall zu Energiebändern auf, zwischen Valenz- und Leitungsband kann eine Bandlücke liegen.
- Ein Stoff leitet, wenn sein höchstes besetztes Band nur teilweise gefüllt ist. Vollständig gefüllte Bänder tragen nie zum Strom bei, auch nicht in Metallen.
- Bei Metallen grenzen Valenz- und Leitungsband ohne Lücke aneinander oder überlappen, wie 3s- und 3p-Band beim Magnesium.
- Ein Isolator hat ein volles Valenzband, ein praktisch leeres Leitungsband und eine große Lücke von etwa 5 eV, mindestens eine Größenordnung über der thermischen Energie.
- Ein Halbleiter hat ebenfalls ein volles Valenzband, aber eine kleinere Lücke (etwa 1 eV). Je kleiner die Lücke, desto kleiner der Widerstand.
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Worum es geht
Kupfer leitet, Silicium nur mäßig, Glas praktisch gar nicht. Das Bändermodell erklärt diese Unterschiede aus der Energie der Elektronen im Festkörper. Es ist die Grundlage, um Leiter, Halbleiter und Isolatoren, etwa in Messgeräten und Sensoren, einzuordnen.
Energiebänder im Festkörper
Im einzelnen Atom besetzen Elektronen scharf definierte Energieniveaus, wie im Bohr’schen Atommodell beschrieben. Rücken viele Atome zu einem Kristall zusammen, beeinflussen sich ihre Elektronen gegenseitig. Jedes Niveau spaltet dabei auf: Zwei Atome liefern zwei Niveaus, \(N\) Atome liefern \(N\) Niveaus. Bei rund \(10^{23}\) Atomen liegen sie so dicht, dass ein praktisch kontinuierliches Energieband entsteht.
Für die Leitfähigkeit zählen zwei Bänder. Das Valenzband entsteht aus den Niveaus der Valenzelektronen. Das Leitungsband ist das nächsthöhere Band. Elektronen darin können sich frei durch den Kristall bewegen, es ist leer oder nur teilweise besetzt.
Die Bandlücke \(E_g\) ist der Energiebereich zwischen Oberkante des Valenzbands und Unterkante des Leitungsbands, in dem es keine erlaubten Zustände für Elektronen gibt. Man gibt sie meist in Elektronenvolt (eV) an.
Bandbesetzung und Leitfähigkeit
Ob ein Stoff leitet, entscheidet die Besetzung seines höchsten besetzten Bandes. Ein elektrisches Feld kann ein Elektron nur beschleunigen, wenn es dabei in einen freien, etwas energiereicheren Zustand wechseln kann. In einem teilweise gefüllten Band liegen solche freien Plätze direkt über den besetzten. Der Stoff ist ein Leiter.
Ein vollständig gefülltes Band trägt dagegen nichts zum Strom bei. Man kann es sich wie ein voll besetztes Parkhaus vorstellen: Kein Auto kann umparken, weil jeder Platz belegt ist. Das gilt auch in Metallen. Ihre inneren, vollen Bänder leiten nicht mit.
Im Idealfall ist das leitende Band eines Metalls nur halb besetzt. Bei Natrium steuert jedes Atom ein 3s-Elektron bei, jedes Niveau fasst aber zwei. Die vielen freien Zustände direkt darüber erklären die gute Leitfähigkeit. Wie sich diese Elektronen bewegen, beschreibt die Einheit Elektronenleitung in Metallen.
Bandschema der Metalle
Im Bandschema eines Metalls fehlt die Bandlücke. Valenz- und Leitungsband grenzen direkt aneinander oder überlappen. So leiten auch Metalle mit zwei Valenzelektronen. Magnesium hätte allein betrachtet ein voll besetztes 3s-Band. Das leere 3p-Band reicht aber energetisch in das 3s-Band hinein, und die Elektronen verteilen sich auf beide. Keines ist voll, also leiten beide.
Bandschema eines Metalls: Zwischen besetzten und freien Zuständen liegt keine Lücke. Entweder ist ein Band nur teilweise gefüllt, oder zwei Bänder überlappen.
Isolatoren und Halbleiter
Isolatoren und Halbleiter folgen demselben Muster. Das höchste besetzte Band ist ein vollständig gefülltes Valenzband. Darüber folgt eine Bandlücke, dann das Leitungsband. Beide unterscheiden sich nur in der Größe der Lücke. Maßstab ist die thermische Energie \(k_\mathrm{B}T\), bei Raumtemperatur etwa 0,026 eV.
Beim Isolator ist die Lücke groß, etwa 5 eV (Diamant rund 5,5 eV). Sie ist mindestens eine Größenordnung größer als die thermische Energie. Praktisch kein Elektron erreicht das Leitungsband. Es ist also nicht teilweise besetzt, sondern praktisch leer. Ein volles und ein leeres Band tragen beide keinen Strom.
Beim Halbleiter ist die Lücke deutlich kleiner, etwa 1 eV (Silicium 1,1 eV). Vereinfacht sagt man, sie liegt in der Größenordnung der thermischen Energie. Ein kleiner Teil der Elektronen gelangt deshalb thermisch angeregt ins Leitungsband und kann Strom tragen. Je kleiner die Lücke, desto mehr Ladungsträger und desto kleiner der Widerstand. Der Widerstand eines Halbleiters hängt also von der Größe seiner Energielücke ab. Ladungsträger und Temperaturverhalten behandelt Ladungstransport in Halbleitern.
Im direkten Vergleich lässt sich jedes Schema schnell zuordnen:
| Stoffklasse | höchstes besetztes Band | Bandlücke | Leitungsband |
|---|---|---|---|
| Metall | teilweise gefüllt oder überlappend | keine | teilweise besetzt |
| Halbleiter | vollständig gefüllt | klein, etwa 1 eV | fast leer |
| Isolator | vollständig gefüllt | groß, etwa 5 eV | praktisch leer |
Sollst du aus mehreren Schemata den Isolator auswählen, suche das mit der größten Lücke zwischen vollem Valenzband und leerem Leitungsband.
Quiz
Aussage 1
In Metallen tragen auch die vollständig gefüllten inneren Bänder zum elektrischen Strom bei, weil dort sehr viele Elektronen vorhanden sind.
Ein volles Band hat keine freien Zustände, in die Elektronen beschleunigt werden könnten. Auch in Metallen leitet nur das teilweise besetzte Band.
Aussage 2
Im Bandschema eines Metalls überlappen Valenz- und Leitungsband oder grenzen ohne Bandlücke aneinander.
Genau das kennzeichnet ein Metall: Direkt über den besetzten Zuständen gibt es freie Zustände.
Aussage 3
Bei gleicher Temperatur hat ein Halbleiter mit größerer Bandlücke einen größeren Widerstand als einer mit kleinerer Bandlücke.
Eine größere Lücke lässt weniger Elektronen thermisch ins Leitungsband gelangen. Weniger Ladungsträger bedeuten einen größeren Widerstand.
Aussage 4
Bei einem Isolator ist das Leitungsband teilweise besetzt, aber durch eine große Bandlücke von etwa 5 eV vom Valenzband getrennt.
Das Leitungsband eines Isolators ist praktisch leer. Das Valenzband ist vollständig gefüllt, dazwischen liegt die große Lücke von etwa 5 eV.
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