Ultraschall: Echolaufzeit und Doppler-Effekt
Wie man aus der Laufzeit eines Ultraschallechos Tiefen, Schallgeschwindigkeiten und Wellenlängen berechnet und warum bewegte Quellen, Hörer und Blutkörperchen die Frequenz verschieben.
Das Wichtigste in Kürze
- Ultraschall ist Schall über 20 kHz. Er wird in der Sonografie zur Bildgebung und zur Blutflussmessung genutzt.
- Beim Impuls-Echo-Verfahren läuft der Impuls hin und zurück: \(t = 2d/c\). Die Laufzeit ist unabhängig von der Frequenz.
- Wellenlänge aus \(\lambda = c/f\). Bei stehenden Wellen ist der Knotenabstand \(\lambda/2\), also \(c = 2d \cdot f\).
- Doppler-Effekt: Annäherung von Quelle oder Hörer ergibt eine höhere, Entfernung eine tiefere Frequenz. Bewegen sich Quelle, Medium und Hörer gemeinsam, gibt es keine Verschiebung.
- In der Doppler-Sonografie ist die Echofrequenz größer, wenn Erythrozyten auf den Schallkopf zu strömen, und kleiner, wenn sie wegströmen.
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Worum es geht
Ultraschall ist Schall oberhalb der menschlichen Hörgrenze. Man nutzt ihn in der Medizin zur Bildgebung und zur Messung des Blutflusses, in der pharmazeutischen Technologie zum Zerkleinern und Mischen. Für das Examen brauchst du vor allem zwei Werkzeuge: die Echolaufzeit und den Doppler-Effekt.
Schall und Ultraschall
Schall ist eine mechanische Longitudinalwelle. Er braucht ein Medium und ist im Vakuum unmöglich. Nach der Frequenz teilt man ihn in drei Bereiche ein.
| Bereich | Frequenz | Beispiel |
|---|---|---|
| Infraschall | unter 16 Hz | Erdbeben, Windräder |
| Hörschall | 16 Hz bis 20 kHz | Sprache, Musik |
| Ultraschall | über 20 kHz | Sonografie mit etwa 2 bis 15 MHz |
Die Sonografie erzeugt Schnittbilder aus reflektiertem Ultraschall. Die Doppler-Sonografie misst zusätzlich, wie schnell und in welche Richtung Blut strömt. In der Galenik zerteilen starke Ultraschallfelder Tröpfchen und Partikel. So entstehen Emulsionen und Dispersionen, also mehrphasige Systeme.
Impuls-Echo-Verfahren
Beim Impuls-Echo-Verfahren sendet ein Schallkopf einen kurzen Ultraschallimpuls ins Gewebe. An jeder Grenzfläche zwischen zwei Geweben wird ein Teil reflektiert. Derselbe Schallkopf empfängt das Echo und misst die Zeit seit dem Senden. Der Impuls legt die Strecke zur Grenzfläche also zweimal zurück: hin und zurück.
\[t = \frac{2d}{c}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(t\) | Echolaufzeit | s |
| \(d\) | Tiefe der Grenzfläche bzw. Körperdicke | m |
| \(c\) | Schallgeschwindigkeit im Medium | m/s |
Die Laufzeit wächst proportional mit der Tiefe: doppelte Tiefe, doppelte Laufzeit. In einem schnelleren Medium kommt das Echo früher. Die Frequenz des Ultraschalls steht nicht in der Formel. Ein 3-MHz- und ein 10-MHz-Impuls brauchen für dieselbe Tiefe gleich lange. Die Frequenz bestimmt nur die Wellenlänge über \(\lambda = c/f\) und damit die Bildauflösung.
Rechenbeispiel
Eine Gewebeschicht ist 3,0 cm dick. Das Echo ihrer Rückseite kommt nach 40 µs an. Gesendet wird mit 2,0 MHz.
- Einheiten umrechnen: \(d = 0{,}030\) m, \(t = 4{,}0 \cdot 10^{-5}\) s, \(f = 2{,}0 \cdot 10^{6}\) Hz.
- Schallgeschwindigkeit: \(c = 2d/t = 0{,}060\ \mathrm{m} / 4{,}0 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{s} = 1500\) m/s.
- Wellenlänge: \(\lambda = c/f = 1500 / 2{,}0 \cdot 10^{6}\) m \(= 7{,}5 \cdot 10^{-4}\) m \(= 0{,}75\) mm.
Umgekehrt gilt: Liegt eine Grenzfläche in Weichgewebe (\(c \approx 1540\) m/s) 7,7 cm tief, kommt das Echo nach \(t = 0{,}154\ \mathrm{m} / 1540\ \mathrm{m/s} = 100\) µs.
Schallgeschwindigkeit aus stehenden Wellen
In einer stehenden Welle liegen benachbarte Knoten eine halbe Wellenlänge auseinander. Mit dem Knotenabstand \(d\) gilt also \(\lambda = 2d\) und damit \(c = 2d \cdot f\). Misst man bei 1000 Hz einen Knotenabstand von 17 cm, ergibt sich \(c = 0{,}34\ \mathrm{m} \cdot 1000\ \mathrm{Hz} = 340\) m/s, die Schallgeschwindigkeit in Luft.
Die häufigsten Fehler sind schnell aufgezählt. Man vergisst den Faktor 2 beim Hin- und Rückweg oder beim Knotenabstand. Oder man rechnet cm, µs und MHz nicht in m, s und Hz um.
Doppler-Effekt
Ein vorbeifahrender Krankenwagen klingt beim Herankommen höher und danach tiefer. Das ist der Doppler-Effekt: Bewegen sich Quelle und Hörer relativ zueinander, weicht die wahrgenommene Frequenz von der gesendeten ab.
Bei bewegter Quelle rücken die Wellenfronten vor ihr zusammen. Der Hörer vor ihr empfängt eine kürzere Wellenlänge und damit eine höhere Frequenz. Hinter der Quelle liegen die Fronten weiter auseinander, der Ton klingt tiefer.
Bewegt sich dagegen der Hörer, bleiben die Wellenfronten unverändert. Läuft er auf die Quelle zu, trifft er aber pro Sekunde mehr Fronten. Entfernt er sich, sind es weniger. Das Ergebnis ist in beiden Fällen gleich gerichtet und gilt in Luft wie in Wasser.
Annäherung ergibt eine höhere, Entfernung eine tiefere Frequenz. Wer sich bewegt, Quelle, Hörer oder beide, ändert nur den Betrag der Verschiebung.
Quantitativ gilt für Quelle und Hörer, die sich aufeinander zu bewegen:
\[f' = f \cdot \frac{c + v_H}{c - v_Q}\]
Dabei sind \(v_H\) und \(v_Q\) die Geschwindigkeiten von Hörer und Quelle gegenüber dem ruhenden Medium. Beim Entfernen kehren sich beide Vorzeichen um. Entscheidend ist die Schallgeschwindigkeit \(c\) im ruhenden Medium, nicht direkt dessen Dichte. Bewegen sich Quelle, Medium und Hörer gemeinsam gleich schnell, tritt keine Verschiebung auf. Ein Fahrgast hört die Durchsage im fahrenden Zug deshalb unverändert.
Doppler-Sonografie
Die Doppler-Sonografie nutzt den Doppler-Effekt im Körper. Der Schallkopf sendet Ultraschall mit fester Frequenz in ein Blutgefäß. Die strömenden Erythrozyten reflektieren ihn. Weil sie sich bewegen, weicht die Echofrequenz von der Sendefrequenz ab.
Strömen die Erythrozyten auf den Schallkopf zu, ist die Echofrequenz größer als die Sendefrequenz. Strömen sie weg, ist sie kleiner. Aus dem Vorzeichen der Verschiebung folgt also die Flussrichtung, aus ihrem Betrag die Geschwindigkeit.
Die Verschiebung tritt dabei zweimal auf. Der Erythrozyt empfängt die Welle als bewegter Hörer und sendet sie als bewegte Quelle zurück. Für Blutgeschwindigkeiten \(v\) weit unter \(c\) gilt näherungsweise \(\Delta f = 2 f v \cos\alpha / c\).
Der Winkel \(\alpha\) zwischen Schallstrahl und Strömung ist wichtig. Steht der Strahl senkrecht zum Gefäß, ist \(\cos\alpha = 0\) und man misst keine Verschiebung, obwohl Blut fließt.
Quiz
Aussage 1
Bei einer stehenden Schallwelle entspricht der Abstand zweier benachbarter Knoten der ganzen Wellenlänge, daher gilt \(c = d \cdot f\).
Benachbarte Knoten liegen \(\lambda/2\) auseinander. Richtig ist \(c = 2d \cdot f\).
Aussage 2
Bewegen sich Schallquelle, Medium und Hörer gemeinsam mit derselben Geschwindigkeit, hört der Hörer eine erhöhte Frequenz.
Ohne Relativbewegung gegenüber dem Medium tritt keine Doppler-Verschiebung auf. Der Hörer nimmt die gesendete Frequenz wahr.
Aussage 3
Liegt eine Grenzfläche in Weichgewebe (\(c \approx 1540\) m/s) 3,85 cm tief, trifft ihr Echo nach etwa 50 µs am Schallkopf ein.
\(t = 2 \cdot 0{,}0385\ \mathrm{m} / 1540\ \mathrm{m/s} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\) s, also 50 µs.
Aussage 4
Wird die Ultraschallfrequenz von 3 MHz auf 10 MHz erhöht, kommt das Echo einer Grenzfläche in gleicher Tiefe früher an.
Die Echolaufzeit \(t = 2d/c\) hängt nur von Tiefe und Schallgeschwindigkeit ab. Die Frequenz ändert nur die Wellenlänge.
Aussage 5
Ein Taucher, der von einer ruhenden Schallquelle unter Wasser wegschwimmt, nimmt eine tiefere Frequenz wahr als die ausgesendete.
Entfernt sich der Hörer, trifft er pro Sekunde weniger Wellenfronten. Das gilt in Wasser wie in Luft.
Aussage 6
Strömen Erythrozyten vom Schallkopf weg, ist die Echofrequenz kleiner als die Sendefrequenz.
Wegströmen entspricht einer Entfernung und senkt die Frequenz. Zuströmen erhöht sie.
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