Kräfte addieren und zerlegen
Wie man Kräfte als Pfeile addiert, subtrahiert und in senkrechte Komponenten zerlegt und woran man ein Kräftegleichgewicht erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller an einem Punkt angreifenden Kräfte, zeichnerisch die Diagonale des Kräfteparallelogramms.
- Senkrechte Kräfte addiert man nach Pythagoras: \(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\), bei drei Richtungen mit \(F_z^2\) als drittem Summanden; zwei gleiche Kräfte \(F_0\) ergeben \(\sqrt{2}\,F_0\).
- \(\vec F_1 - \vec F_2 = \vec F_1 + (-\vec F_2)\) zeigt bei gemeinsamem Ursprung von der Spitze von \(\vec F_2\) zur Spitze von \(\vec F_1\).
- Im Kräftegleichgewicht ist die Vektorsumme null, das Krafteck ist geschlossen und hat einen einheitlichen Umlaufsinn.
- Bei senkrechter Zerlegung gilt \(F_x = F\cos\alpha\), \(F_y = F\sin\alpha\) und \(F_y = F_x\tan\alpha\), mit \(\alpha\) zwischen \(\vec F\) und \(\vec F_x\).
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Kräfte haben eine Richtung. Deshalb addiert man sie als Vektoren und nicht als bloße Zahlen. Dieses Handwerkszeug brauchst du überall in der Mechanik, von der Gewichtskraft an der schiefen Ebene bis zu Seilkräften und Zentrifugen.
Kraft als vektorielle Größe
Eine Kraft verformt einen Körper oder ändert seinen Bewegungszustand. Ihre Einheit ist das Newton: \(1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg\,m/s^2}\). Vollständig beschrieben ist eine Kraft erst mit drei Angaben:
- Betrag: wie stark sie wirkt, in N
- Richtung: wohin sie wirkt
- Angriffspunkt: wo sie am Körper ansetzt
Man zeichnet sie deshalb als Kraftpfeil. Die Länge steht für den Betrag, die Spitze für die Richtung, der Fußpunkt für den Angriffspunkt. Mit Kraftpfeilen rechnet man wie mit allen Vektoren. Die Regeln kennst du schon von der Überlagerung von Geschwindigkeiten.
Resultierende Kraft
Greifen mehrere Kräfte an einem Punkt an, wirken sie wie eine einzige Kraft. Diese resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller Einzelkräfte. Zeichnerisch ergänzt man zwei Pfeile mit gemeinsamem Fußpunkt zum Kräfteparallelogramm. Seine Diagonale vom Fußpunkt aus ist die Summe \(\vec F_1 + \vec F_2\).
Stehen die Kräfte senkrecht aufeinander, wird das Parallelogramm zum Rechteck. Die Diagonale ist dann die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Satz des Pythagoras liefert den Betrag:
\[F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\]
Bei drei zueinander senkrechten Kräften kommt ein dritter Summand hinzu: \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}\).
Beträge senkrechter Kräfte addiert man quadratisch, nie einfach: \(3\,\mathrm{N}\) und \(4\,\mathrm{N}\) ergeben \(5\,\mathrm{N}\), nicht \(7\,\mathrm{N}\). Zwei gleich große senkrechte Kräfte \(F_0\) ergeben \(\sqrt{2}\,F_0\).
Ein Beispiel: \(6\,\mathrm{N}\) und \(8\,\mathrm{N}\) ziehen senkrecht an einem Körper mit \(4\,\mathrm{kg}\). Die Resultierende beträgt \(10\,\mathrm{N}\). Der Körper beschleunigt in ihrer Richtung mit \(a = F/m = 2{,}5\,\mathrm{m/s^2}\). Drei senkrechte Kräfte von \(2\), \(3\) und \(6\,\mathrm{N}\) ergeben \(\sqrt{49}\,\mathrm{N} = 7\,\mathrm{N}\). Die Gleichgewichtskraft hebt die Resultierende auf. Sie hat denselben Betrag und zeigt in die Gegenrichtung.
Vektordifferenz
Die Differenz zweier Kräfte führt man auf die Addition zurück. Man kehrt \(\vec F_2\) um und addiert diesen Gegenvektor: \(\vec F_1 - \vec F_2 = \vec F_1 + (-\vec F_2)\). Gleichwertig zeichnet man beide Pfeile aus einem Ursprung. Der Differenzpfeil führt dann von der Spitze von \(\vec F_2\) zur Spitze von \(\vec F_1\).
Vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich der Pfeil um: \(\vec F_2 - \vec F_1\) ist der Gegenvektor zu \(\vec F_1 - \vec F_2\). Kehrt man in einer Summe einen einzelnen Vektor um, ändert sich die Summe um das Doppelte dieses Vektors. Beispiel auf einer Linie: \(+5\,\mathrm{N}\), \(+3\,\mathrm{N}\) und \(-2\,\mathrm{N}\) ergeben \(+6\,\mathrm{N}\). Dreht man die \(+3\,\mathrm{N}\) um, sinkt die Summe um \(6\,\mathrm{N}\) auf null.
Kräftegleichgewicht
Ein ruhender Körper bleibt in Ruhe, wenn die Vektorsumme aller angreifenden Kräfte null ist. Dieser Zustand heißt Kräftegleichgewicht oder statisches Gleichgewicht. Warum ohne Resultierende keine Beschleunigung entsteht, erklären die Newton’schen Axiome.
Zeichnerisch prüft man das mit dem Krafteck. Man hängt alle Pfeile Spitze an Fuß aneinander. Endet der letzte Pfeil am Fuß des ersten, ist das Krafteck geschlossen und die Summe null. Dazu müssen alle Pfeile im selben Umlaufsinn laufen. Zeigt ein Pfeil gegen diesen Sinn, bleibt eine Resultierende übrig, obwohl die Figur geschlossen aussieht.
Zerlegung in Komponenten
Die Zerlegung kehrt die Addition um. Eine Kraft \(\vec F\) wird in zwei senkrechte Kraftkomponenten \(\vec F_x\) und \(\vec F_y\) aufgeteilt. \(\vec F\) ist dann die Diagonale eines Kräfterechtecks. Mit \(\alpha\) als Winkel zwischen \(\vec F\) und \(\vec F_x\) gelten die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck:
| Gesucht | Beziehung | Grund |
|---|---|---|
| \(F_x\) | \(F\cos\alpha\) | Ankathete von \(\alpha\) |
| \(F_y\) | \(F\sin\alpha\), also \(\sin\alpha = F_y/F\) | Gegenkathete von \(\alpha\) |
| \(F_y\) aus \(F_x\) | \(F_x\tan\alpha\) | Gegenkathete durch Ankathete |
Beispiel: \(F = 10\,\mathrm{N}\) und \(\alpha = 30^\circ\) ergeben \(F_x = 8{,}66\,\mathrm{N}\) und \(F_y = 5\,\mathrm{N}\). Die Probe mit Pythagoras liefert wieder \(10\,\mathrm{N}\).
Die Komponenten müssen vektoriell stets die Gesamtkraft ergeben. Kennt man die Gewichtskraft und eine schräge Komponente, findet man die fehlende über das Parallelogramm. Sie bildet mit der bekannten Komponente die Seiten, deren Diagonale die Gewichtskraft ist: \(\vec F_2 = \vec F_G - \vec F_1\). Angewendet wird das an der schiefen Ebene.
Quiz
Aussage 1
Zeichnet man \(\vec F_1\) und \(\vec F_2\) aus einem gemeinsamen Ursprung, führt der Pfeil von der Spitze von \(\vec F_2\) zur Spitze von \(\vec F_1\) genau \(\vec F_1 - \vec F_2\) dar.
Denn \(\vec F_2\) plus dieser Pfeil ergibt \(\vec F_1\). Der umgekehrte Pfeil wäre \(\vec F_2 - \vec F_1\).
Aussage 2
Ist \(\alpha\) der Winkel zwischen \(\vec F\) und der Komponente \(\vec F_x\), so gilt für die senkrechte Komponente \(F_y = F_x \tan\alpha\).
Im Kräfterechteck ist \(F_y\) die Gegenkathete und \(F_x\) die Ankathete von \(\alpha\), also \(\tan\alpha = F_y/F_x\).
Aussage 3
Zwei senkrecht aufeinander stehende Kräfte von \(5\,\mathrm{N}\) und \(12\,\mathrm{N}\) ergeben eine Resultierende von \(17\,\mathrm{N}\).
Senkrechte Kräfte addiert man quadratisch: \(\sqrt{25 + 144}\,\mathrm{N} = 13\,\mathrm{N}\).
Aussage 4
Bilden drei Kraftpfeile ein geschlossenes Dreieck, ist ihre Vektorsumme unabhängig von den Pfeilrichtungen null.
Die Summe ist nur null, wenn alle Pfeile im selben Umlaufsinn Spitze an Fuß liegen. Zeigt einer dagegen, bleibt eine Resultierende.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.