Mechanische Arbeit und Hubarbeit
Wie man mechanische Arbeit aus Kraft und Weg berechnet, warum Hubarbeit als potentielle Energie gespeichert wird und weshalb die schiefe Ebene Kraft spart, aber keine Arbeit.
Das Wichtigste in Kürze
- Arbeit ist übertragene Energie: Bei konstanter Kraft parallel zum Weg gilt \(W = F \cdot s\), Einheit Joule = N·m.
- Steht die Kraft unter dem Winkel \(\varphi\) zum Weg, gilt \(W = F s \cos\varphi\); bei veränderlicher Kraft ist die Arbeit die Fläche unter der F-s-Kurve.
- Die Hubarbeit \(W = F_G \cdot h = m g h\) wird als potentielle Energie gespeichert und hängt nur vom Höhenunterschied ab, nicht von der Geschwindigkeit.
- Beim reibungsfreien waagerechten Verschieben ändert sich die potentielle Energie nicht; Massen in Tonnen vor dem Rechnen in kg umrechnen.
- Auf der reibungsfreien schiefen Ebene ist die Kraft kleiner, der Weg länger; die Arbeit ist mit \(h = s \sin\alpha\) gleich \(m g s \sin\alpha\), unabhängig vom Winkel.
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Worum es geht
Mechanische Arbeit verknüpft Kraft und Weg. Beim Heben wird sie als potentielle Energie gespeichert. Die Beziehung \(W = m g h\) trägt viele Energierechnungen der Mechanik, vom Kran bis zum Energieerhaltungssatz, und hilft in der Pharmazie etwa beim Verständnis von Sinkvorgängen.
Arbeit und Energie
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten. Arbeit ist der Vorgang, bei dem Energie von einem System auf ein anderes übertragen wird. Arbeit beschreibt also einen Prozess, Energie einen Zustand. Man kann sich Energie wie einen Kontostand vorstellen und Arbeit wie die Überweisung, die ihn ändert.
Beide Größen haben dieselbe Einheit, das Joule (J). Ein Joule ist die Arbeit, die eine Kraft von 1 N längs 1 m verrichtet:
\[1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N \cdot m} = 1\,\mathrm{kg \cdot m^2/s^2}\]
Mehr zum Joule steht unter Einheiten von Energie und Leistung. Die Mechanik kennt drei Energieformen:
- Potentielle Energie (Lageenergie): gespeichert durch die Höhe im Schwerefeld, Thema dieser Einheit.
- Kinetische Energie: gespeichert in der Bewegung, siehe Kinetische Energie und Spannenergie.
- Spannenergie: gespeichert in einer gedehnten oder gestauchten Feder.
Wie diese Formen ineinander übergehen, beschreibt der Energieerhaltungssatz.
Arbeit als Kraft mal Weg
Wirkt eine konstante Kraft \(F\) parallel zum Weg \(s\), ist die verrichtete Arbeit das Produkt aus beiden.
\[W = F \cdot s\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(W\) | mechanische Arbeit | J = N·m |
| \(F\) | konstante Kraft parallel zum Weg | N |
| \(s\) | zurückgelegter Weg | m |
Die Arbeit wächst proportional mit beiden Faktoren. Doppelte Kraft auf gleichem Weg ergibt doppelte Arbeit, doppelter Weg bei gleicher Kraft ebenso. Wer einen Koffer mit 30 N über 10 m zieht, verrichtet 300 J.
Steht die Kraft unter dem Winkel \(\varphi\) zum Weg, zählt nur ihre Komponente in Wegrichtung (siehe Kräfte zerlegen):
\[W = F \cdot s \cdot \cos\varphi\]
Bei \(\varphi = 0^\circ\) ist \(\cos\varphi = 1\), und es gilt wieder \(W = F \cdot s\). Bei \(\varphi = 90^\circ\) wird \(\cos\varphi = 0\). Eine Kraft senkrecht zum Weg verrichtet also keine Arbeit.
Ändert sich die Kraft längs des Weges, darf man nicht einfach multiplizieren. Die Arbeit ist dann die Fläche unter der Kurve im Kraft-Weg-Diagramm. Bei konstanter Kraft ist das ein Rechteck. Bei linear ansteigender Kraft ist es ein Dreieck mit \(W = \tfrac{1}{2} F_{max} \cdot s\). Allgemein gilt \(W = \int F\,\mathrm{d}s\).
Manchmal steckt der Weg versteckt in der Aufgabe. Ein Rasenmäher mit der Schnittbreite \(b = 0{,}5\,\mathrm{m}\) mäht eine Fläche \(A = 200\,\mathrm{m^2}\). Er legt dabei \(s = A/b = 400\,\mathrm{m}\) zurück. Mit einer mittleren Schubkraft von 50 N ergibt das \(W = 20\,\mathrm{kJ}\). Auch bei einer Kugel, die gleichförmig gegen eine Reibungskraft von 2 N über 3 m rollt, genügen Kraft und Strecke: \(W = 6\,\mathrm{J}\). Die Geschwindigkeit geht nicht ein.
Hubarbeit und potentielle Energie
Hebt man einen Körper der Masse \(m\) gleichförmig an, muss man seine Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) überwinden. Kraft und Weg zeigen dabei beide senkrecht nach oben. Mit der Hubhöhe \(h\) als Weg ergibt sich die Hubarbeit:
\[W_{Hub} = F_G \cdot h = m \cdot g \cdot h = \Delta E_{pot}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(W_{Hub}\) | Hubarbeit | J |
| \(m\) | Masse | kg |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 (gerundet 10) | m/s² |
| \(h\) | Höhenunterschied | m |
| \(\Delta E_{pot}\) | Zunahme der potentiellen Energie | J |
Die Hubarbeit geht nicht verloren. Sie steckt danach als potentielle Energie \(E_{pot} = m \cdot g \cdot h\) im Körper. Das Nullniveau darf man frei wählen, physikalisch zählt nur der Höhenunterschied \(\Delta h\). Fällt der Körper zurück, nimmt seine potentielle Energie um genau \(m g h\) ab.
In \(m g h\) kommt keine Geschwindigkeit vor. Ob ein Aufzug langsam oder schnell fährt, die Hubarbeit zwischen zwei Stockwerken bleibt gleich. Ebenso verliert ein fallender Körper \(m g h\) an potentieller Energie, egal wie schnell er unten ankommt. Das gilt auch für eine Kugel, die langsam in Glycerin absinkt. Dort wird die Energie in Reibungswärme umgesetzt, ihre Abnahme beträgt trotzdem \(m g h\).
Nur die senkrechte Strecke zählt
Beim reibungsfreien waagerechten Verschieben steht die Gewichtskraft senkrecht zum Weg. Gegen die Schwerkraft wird keine Arbeit verrichtet, die potentielle Energie bleibt gleich. Trägt man ein Paket 20 m über den Flur und hebt es dann 1,6 m auf ein Regal, zählen nur die 1,6 m. Bei \(F_G = 120\,\mathrm{N}\) sind das \(W = 192\,\mathrm{J}\).
Die Hubarbeit \(W = m g h\) ist ein Examensklassiker. Sie hängt nur von Masse und Höhenunterschied ab, nicht von Geschwindigkeit oder waagerechtem Weg. Achte beim Rechnen auf die Umrechnung von Tonnen in Kilogramm und von Joule in Megajoule.
Rechenbeispiel: Kran und Hubhöhe
Ein Kran hebt einen Betonträger von 2,5 t um 40 m. Danach die Umkehrung: Wie hoch steigt ein Rucksack von 5 kg, der 600 J potentielle Energie gewinnt?
- Einheiten umrechnen: \(m = 2{,}5\,\mathrm{t} = 2500\,\mathrm{kg}\).
- Einsetzen: \(W = 2500\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \cdot 40\,\mathrm{m} = 981\,000\,\mathrm{J}\).
- Vorsilbe wählen: \(W \approx 0{,}98\,\mathrm{MJ}\), mit \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) rund 1 MJ (siehe Dezimale Vorsilben).
- Nach h umstellen: \(h = \frac{E_{pot}}{m \cdot g} = \frac{600\,\mathrm{J}}{5\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\mathrm{m/s^2}} = 12\,\mathrm{m}\).
Arbeit an der schiefen Ebene
Eine Rampe macht das Heben leichter, aber nicht billiger. Auf der reibungsfreien schiefen Ebene muss man nur die Hangabtriebskraft \(F_H = F_G \cdot \sin\alpha\) überwinden. Sie ist kleiner als die Gewichtskraft. Dafür ist die Rampenlänge \(s\) länger als die Höhe \(h\). Das rechtwinklige Dreieck verknüpft beide:
\[h = s \cdot \sin\alpha\]
Multipliziert man Kraft und Weg, steckt im Ergebnis wieder nur die Höhe:
\[W = F_H \cdot s = m g \sin\alpha \cdot s = m g h\]
Die Arbeit ist genauso groß wie beim senkrechten Heben um \(h\), unabhängig vom Steigungswinkel. Der Winkel bestimmt nur die Aufteilung. Eine flache Rampe bedeutet kleine Kraft und langen Weg, eine steile große Kraft und kurzen Weg. Rutscht der Körper reibungsfrei hinab, wird dieselbe Energie \(E = m g s \sin\alpha\) wieder frei.
Die Rampenlänge \(s\) ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete zu \(\alpha\). Deshalb gilt \(h = s \sin\alpha\). Mit \(\cos\alpha\) erhält man die waagerechte Strecke, die keine Hubarbeit kostet.
Rechenbeispiel: Kiste auf der Rampe
Eine Kiste von 40 kg wird reibungsfrei eine 5 m lange Rampe mit \(\alpha = 30^\circ\) hinaufgeschoben.
- Höhe bestimmen: \(h = 5\,\mathrm{m} \cdot \sin 30^\circ = 2{,}5\,\mathrm{m}\).
- Hubarbeit: \(W = 40\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\mathrm{m/s^2} \cdot 2{,}5\,\mathrm{m} = 1000\,\mathrm{J}\).
- Kontrolle über die Kraft: \(F_H = 400\,\mathrm{N} \cdot 0{,}5 = 200\,\mathrm{N}\), also \(W = 200\,\mathrm{N} \cdot 5\,\mathrm{m} = 1000\,\mathrm{J}\).
Typische Fehler sind ein Taschenrechner im Bogenmaß statt in Grad und die Rampenlänge statt der Höhe in \(m g h\). Mit Reibung kommt Arbeit gegen die Reibungskraft hinzu. Dann ist die aufzuwendende Arbeit größer als \(m g h\).
Quiz
Aussage 1
Hebt ein Kran eine Last von 3 t um 20 m, beträgt die Hubarbeit mit \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) etwa 0,6 MJ.
\(W = 3000\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\mathrm{m/s^2} \cdot 20\,\mathrm{m} = 600\,000\,\mathrm{J} = 0{,}6\,\mathrm{MJ}\).
Aussage 2
Auf einer schiefen Ebene mit Rampenlänge \(s\) und Neigungswinkel \(\alpha\) beträgt der Höhenunterschied \(h = s \cdot \cos\alpha\).
Die Höhe ist die Gegenkathete zu \(\alpha\): \(h = s \cdot \sin\alpha\). Mit \(\cos\alpha\) erhält man die waagerechte Strecke.
Aussage 3
Auf einer reibungsfreien schiefen Ebene braucht man weniger Kraft als beim senkrechten Heben, die Arbeit bis zur gleichen Höhe ist aber gleich groß.
Die Hangabtriebskraft ist kleiner als \(F_G\), der Weg dafür länger. Das Produkt ergibt in beiden Fällen \(m g h\).
Aussage 4
Bei einer längs des Weges veränderlichen Kraft entspricht die Arbeit der Steigung der Kurve im Kraft-Weg-Diagramm.
Die Arbeit ist die Fläche unter der Kurve im F-s-Diagramm, allgemein \(W = \int F\,\mathrm{d}s\).
Aussage 5
Eine Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, verrichtet keine Arbeit.
Für \(\varphi = 90^\circ\) ist \(\cos\varphi = 0\), also \(W = F s \cos\varphi = 0\).
Aussage 6
Wird eine Last reibungsfrei waagerecht verschoben, nimmt ihre potentielle Energie proportional zur zurückgelegten Strecke zu.
Beim waagerechten Verschieben steht die Gewichtskraft senkrecht zum Weg. Die potentielle Energie bleibt gleich, nur die senkrechte Hubstrecke zählt.
Aussage 7
Fährt ein Aufzug doppelt so schnell zwischen zwei Stockwerken, ist die verrichtete Hubarbeit doppelt so groß.
Die Hubarbeit \(W = m g h\) enthält keine Geschwindigkeit. Sie ist bei gleicher Masse und gleichem Höhenunterschied immer gleich.
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