Bildkonstruktion und Bildarten an dünnen Linsen
Wie man mit Parallel-, Brennpunkt- und Mittelpunktstrahl Bilder an Sammel- und Zerstreuungslinsen konstruiert und Art, Lage und Größe des Bildes aus der Gegenstandsweite vorhersagt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Bildkonstruktion an dünnen Linsen bestimmt Lage, Art und Größe eines Bildes mit Konstruktionsstrahlen, die an der Mittelebene geknickt werden.
- An der Sammellinse läuft der Parallelstrahl durch \(F'\), der Brennpunktstrahl danach achsenparallel und der Mittelpunktstrahl ungebrochen.
- Sammellinse: Bei \(g > 2f\) verkleinert, bei \(g = 2f\) gleich groß in \(2f\), bei \(f < g < 2f\) vergrößert, jeweils reell und umgekehrt; bei \(g < f\) virtuell, aufrecht, vergrößert.
- An der Zerstreuungslinse scheinen achsenparallele Strahlen aus dem virtuellen Brennpunkt \(F'\) auf der Gegenstandsseite zu kommen; das Bild ist stets virtuell, aufrecht, verkleinert.
- Chromatische Aberration entsteht durch Dispersion: Blau hat eine kürzere Brennweite als Rot, bei dünnen wie dicken Linsen.
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Worum es geht
Mit drei ausgezeichneten Strahlen lässt sich das Bild jeder dünnen Linse zeichnen, ohne zu rechnen. Daraus folgt, wann eine Sammellinse ein reelles Bild auf einen Schirm wirft und wann sie wie eine Lupe ein virtuelles Bild liefert. Dieses Wissen trägt später das Verständnis von Lupe und Mikroskop.
Konstruktionsstrahlen an der Sammellinse
Eine dünne Linse ersetzt man in der Zeichnung durch ihre Mittelebene senkrecht zur optischen Achse. Jeder Strahl knickt genau einmal an dieser Ebene. Die Brennpunkte kennst du aus Linsenformen, Brechwert und Brennweite. Bei der Sammellinse liegt der gegenstandsseitige Brennpunkt \(F\) vor der Linse, der bildseitige Brennpunkt \(F'\) dahinter.
Die Gegenstandsweite \(g\) ist der Abstand des Gegenstands von der Mittelebene, die Bildweite \(b\) der Abstand des Bildes von ihr. Beide misst man entlang der optischen Achse.
Ein Bild entsteht, weil sich alle Strahlen eines Gegenstandspunkts hinter der Sammellinse im zugehörigen Bildpunkt treffen. Zum Konstruieren genügen deshalb zwei Strahlen mit bekanntem Verlauf. Diese Konstruktionsstrahlen starten an der Gegenstandsspitze:
- Parallelstrahl: Er fällt achsenparallel ein und wird so geknickt, dass er durch \(F'\) läuft. Achsenparallele Strahlen vereinigt die Sammellinse also im bildseitigen Brennpunkt.
- Brennpunktstrahl: Er läuft durch \(F\) und verlässt die Linse achsenparallel. Umgekehrt ist jeder hinter der Linse achsenparallele Strahl vorher durch \(F\) gegangen.
- Mittelpunktstrahl: Er geht durch die Linsenmitte und läuft ungebrochen weiter.
Zwei Strahlen liefern die Bildspitze, der dritte dient zur Kontrolle. Ein Strahl vom Gegenstandsfußpunkt auf der Achse schneidet die Achse hinter der Linse im Bildfußpunkt. Das Bild steht also senkrecht auf der Achse. Die Strahlen dürfen an der Mittelebene auch außerhalb des echten Linsendurchmessers geknickt werden. Sie sind Zeichenhilfen, die wirklichen Strahlen treffen denselben Bildpunkt.
In der Abbildung hat die Linse \(f = 3\) cm, der Gegenstand steht bei \(g = 5\) cm. Die Strahlen schneiden sich bei \(b = 7,5\) cm unterhalb der Achse. Das Bild ist umgekehrt und 1,5-mal so groß. Dasselbe liefert die Abbildungsgleichung mit Brennweite \(f\), Gegenstandsweite \(g\) und Bildweite \(b\) in derselben Längeneinheit:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{3\,\text{cm}}=\frac{1}{5\,\text{cm}}+\frac{1}{7{,}5\,\text{cm}}\]
Beim Beurteilen eingezeichneter Strahlen hilft eine Regel. Jeder Strahl aus der Gegenstandsspitze muss hinter der Linse durch die Bildspitze laufen, gleich unter welchem Winkel er einfällt. Eine Fortsetzung, die daran vorbeiführt, ist falsch. Treffen sich Strahlen schon in der Linsenebene, wird dieser Punkt auf sich selbst abgebildet. Die Strahlen verlassen die Linse dann als divergentes Bündel. Liegt der Gegenstand innerhalb der Brennweite, laufen Parallel- und Mittelpunktstrahl hinter der Linse auseinander. Ihre rückwärtigen Verlängerungen schneiden sich im virtuellen Bild, so wie bei der Lupe.
Strahlengang an der Zerstreuungslinse
An der Zerstreuungslinse sind die Rollen der Brennpunkte vertauscht. Achsenparallele Strahlen laufen hinter der Linse divergent auseinander. Sie verlaufen so, als kämen sie aus dem bildseitigen Brennpunkt \(F'\). Dieser liegt hier auf der Gegenstandsseite und ist virtuell: Nur die gestrichelten Rückverlängerungen treffen sich dort.
Der gegenstandsseitige Brennpunkt \(F\) liegt entsprechend hinter der Linse. Ein Strahl, der auf \(F\) zielt, verlässt die Linse achsenparallel. Der Mittelpunktstrahl geht auch hier ungebrochen durch.
Der Punkt vor der Linse, aus dem paralleles Licht scheinbar kommt, heißt bildseitiger Brennpunkt \(F'\). Manche Bücher nennen ihn nach seiner Lage objektseitigen Brennpunkt. Gemeint ist derselbe virtuelle Punkt.
Um richtige Skizzen zu erkennen, prüfst du zwei Merkmale. Ein achsenparalleles Bündel muss hinter der Linse auseinanderlaufen. Seine Rückverlängerungen müssen sich in einem Punkt vor der Linse treffen. Laufen die Strahlen hinter der Linse zusammen, zeigt die Skizze eine Sammellinse.
Bildarten der Sammellinse
Ob das Bild einer Sammellinse reell oder virtuell ist, entscheidet die Lage des Gegenstands relativ zur Brennweite. Ein reelles Bild entsteht, wenn sich die Strahlen hinter der Linse wirklich treffen. Man kann es auf einem Schirm auffangen, und es steht auf dem Kopf. Ein virtuelles Bild entsteht nur aus Rückverlängerungen und steht aufrecht auf der Gegenstandsseite. Beide Begriffe kennst du vom Hohlspiegel.
| Gegenstandsweite | Bildweite | Bildart | Lage | Orientierung | Größe |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g > 2f\) | zwischen \(f\) und \(2f\) | reell | hinter der Linse | umgekehrt | verkleinert |
| \(g = 2f\) | \(b = 2f\) | reell | hinter der Linse | umgekehrt | gleich groß |
| \(f < g < 2f\) | \(b > 2f\) | reell | hinter der Linse | umgekehrt | vergrößert |
| \(g < f\) | negativ | virtuell | Gegenstandsseite | aufrecht | vergrößert |
Je weiter der Gegenstand entfernt ist, desto näher rückt das Bild an \(F'\). Eine größere Gegenstandsweite verkleinert also die Bildweite. Nähert sich der Gegenstand dagegen \(F\), wandert das Bild weit hinaus und wächst. Bei \(g = f\) verlassen die Strahlen die Linse parallel, es entsteht kein Bild.
Gegenstand und Bild sind vertauschbar: Liegt das eine außerhalb von \(2f\), liegt das andere zwischen \(f\) und \(2f\). Das weiter entfernte ist auch das größere.
Innerhalb der Brennweite wird das Bild virtuell. Ein Beispiel mit \(f = 4\) cm und \(g = 2\) cm: Aus \(1/b = 1/(4\,\text{cm}) - 1/(2\,\text{cm})\) folgt \(b = -4\) cm. Das negative Vorzeichen zeigt ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite, hier genau in der Brennweite. Allgemein liefert \(g = f/2\) stets ein virtuelles Bild im Abstand \(f\).
Für jedes \(g > f\) ist das Bild reell und umgekehrt. So arbeitet die Linse als Projektor, nicht als Lupe. Ein reelles Bild eines realen Gegenstands verrät deshalb immer eine Sammellinse mit positiver Brennweite.
Die vier Fälle der Sammellinse sind ein Examensklassiker. Achte auf die Grenze bei \(f\): Für jedes \(g > f\) ist das Bild reell und umgekehrt, erst für \(g < f\) virtuell, aufrecht und vergrößert. Bei \(g = 2f\) liegt das Bild ebenfalls in \(2f\) und ist gleich groß.
Bild der Zerstreuungslinse
Für das Bild der Zerstreuungslinse genügen Parallel- und Mittelpunktstrahl. Der Parallelstrahl läuft weiter, als käme er aus \(F'\). Der Mittelpunktstrahl geht ungebrochen durch. Beide divergieren, ihre Rückverlängerungen schneiden sich vor der Linse zwischen \(F'\) und Mittelebene.
Daraus folgt eine Regel ohne Fallunterscheidung. Eine Zerstreuungslinse erzeugt von einem reellen Gegenstand stets ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild. Es liegt auf der Gegenstandsseite innerhalb der Brennweite, egal wie weit der Gegenstand entfernt ist. Diese feste Kombination wird im Examen gerne gefragt. Umgekehrte reelle Bilder und vergrößerte virtuelle Bilder liefert nur die Sammellinse.
Ein Zahlenbeispiel mit \(f = -6\) cm und \(g = 12\) cm:
\[\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{g}=-\frac{1}{6\,\text{cm}}-\frac{1}{12\,\text{cm}}=-\frac{1}{4\,\text{cm}}\]
Das Bild liegt 4 cm vor der Linse, also innerhalb der Brennweite, und ist auf ein Drittel verkleinert. Deshalb wirkt die Welt durch die Brille eines Kurzsichtigen etwas kleiner.
Abbildungsfehler
Die Konstruktionsstrahlen beschreiben eine ideale Linse. Reale Linsen bilden nicht perfekt ab, und das gilt für dünne wie dicke Linsen. Ein typischer Fehler ist die chromatische Aberration, der Farbfehler. Ihre Ursache ist die Dispersion: Die Brechzahl von Glas hängt von der Wellenlänge ab. Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes, die Linse hat für Blau also eine kürzere Brennweite.
Weißes Licht eines Gegenstandspunkts sammelt sich deshalb in mehreren Punkten hintereinander. Im Bild erscheinen farbige Säume. Der Fehler tritt überall auf, wo Licht an gekrümmten Flächen gebrochen wird: bei sphärischen Linsen, bei Zylinderlinsen und bei einer Glaskugel.
Quiz
Aussage 1
Ein Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite einer Sammellinse ergibt ein aufrechtes, vergrößertes, virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite.
Bei \(g < f\) divergieren die Strahlen hinter der Linse, ihre Rückverlängerungen bilden ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild vor der Linse.
Aussage 2
Wegen der chromatischen Aberration liegt der Brennpunkt einer Sammellinse für blaues Licht näher an der Linse als für rotes Licht.
Blaues Licht wird stärker gebrochen, die Brennweite für Blau ist daher kürzer als für Rot.
Aussage 3
Steht ein Gegenstand genau in der doppelten Brennweite vor einer Sammellinse, entsteht in der doppelten Brennweite hinter der Linse ein gleich großes, umgekehrtes, reelles Bild.
Bei \(g = 2f\) gilt auch \(b = 2f\). Das Bild ist reell, umgekehrt und gleich groß.
Aussage 4
Liegt der Gegenstand zwischen einfacher und doppelter Brennweite einer Sammellinse, entsteht ein verkleinertes reelles Bild.
Für \(f < g < 2f\) liegt das Bild außerhalb von \(2f\) und ist vergrößert. Verkleinert ist es bei \(g > 2f\).
Aussage 5
Achsenparallel einfallende Strahlen treffen sich hinter einer Zerstreuungslinse in einem reellen Brennpunkt.
Sie laufen hinter der Zerstreuungslinse auseinander, als kämen sie aus dem virtuellen Brennpunkt \(F'\) auf der Gegenstandsseite.
Aussage 6
Rückt ein reeller Gegenstand weit genug von einer Zerstreuungslinse weg, erzeugt sie ein umgekehrtes reelles Bild.
Eine Zerstreuungslinse liefert von reellen Gegenständen bei jeder Gegenstandsweite ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild.
Aussage 7
Ein Strahl, der durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt einer Sammellinse läuft, verlässt die Linse parallel zur optischen Achse.
Das ist der Brennpunktstrahl. Er verläuft hinter der Sammellinse achsenparallel.
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