Drehmoment und Hebelarm
Wie stark eine Kraft einen Körper dreht, hängt von ihrem Betrag und vom senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie zur Drehachse ab.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft auf einen drehbaren starren Körper und ist bei der Rotation das Gegenstück zur Kraft.
- Es gilt \(M = F \cdot r_\perp\) mit der Einheit Newtonmeter (\(\mathrm{N \cdot m}\)), vektoriell \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\).
- Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse; bei tangentialer Kraft an einer Scheibe ist er der Radius.
- Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch den Drehpunkt geht, erzeugt kein Drehmoment; die Fadenlänge hängender Gewichte ändert den Hebelarm nicht.
- Drehmomente gleichen Drehsinns addieren sich, beim Kräftepaar gilt \(M = F \cdot d\), am Lenkrad also \(M = 2 \cdot F \cdot r\).
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Worum es geht
Eine Kraft kann einen Körper nicht nur verschieben, sondern auch drehen. Wie stark sie dreht, beschreibt das Drehmoment. Es steckt hinter jedem Hebel und jedem Schraubdeckel und später hinter dem Hebelgesetz der Balkenwaage.
Kraft und Drehung
Für Drehungen betrachtet man einen starren Körper. Er verformt sich nicht, alle seine Punkte behalten ihren Abstand zueinander. Ist er an einer Drehachse gelagert, kann er sich nur um diese drehen. Eine Kraft als Vektor wirkt dann nicht allein über ihren Betrag.
Entscheidend sind auch ihr Angriffspunkt und ihre Richtung. Eine Tür öffnet sich leicht, wenn man an der Klinke senkrecht zur Türfläche drückt. Drückt man dicht am Scharnier oder zieht man zum Scharnier hin, bewegt sie sich kaum.
Die Größe, die diese Drehwirkung erfasst, ist das Drehmoment. Es ist bei der Rotation das Gegenstück zur Kraft. So wie eine Kraft nach dem Grundgesetz der Dynamik eine Masse beschleunigt, versetzt ein Drehmoment einen Körper in Drehung oder ändert seine Drehung.
Definition und Einheit
Das Drehmoment ist das Produkt aus der Kraft und ihrem Hebelarm. Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse.
\[M = F \cdot r_\perp\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(M\) | Drehmoment | \(\mathrm{N \cdot m}\) |
| \(F\) | Kraft | \(\mathrm{N}\) |
| \(r_\perp\) | Hebelarm, senkrechter Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse | \(\mathrm{m}\) |
Die Einheit ergibt sich direkt aus der Formel: Newton mal Meter, also Newtonmeter (\(\mathrm{N \cdot m}\)). Das Drehmoment ist proportional zu beiden Faktoren. Doppelte Kraft oder doppelter Hebelarm ergeben das doppelte Drehmoment.
Genau genommen ist das Drehmoment ein Vektor. Mit dem Ortsvektor \(\vec{r}\) von der Drehachse zum Angriffspunkt gilt das Kreuzprodukt:
\[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}, \qquad |\vec{M}| = r \cdot F \cdot \sin\alpha\]
Dabei ist \(\alpha\) der Winkel zwischen \(\vec{r}\) und \(\vec{F}\). Der Vektor \(\vec{M}\) steht senkrecht auf beiden und zeigt entlang der Drehachse. Seine Richtung liefert die Rechte-Hand-Regel: Die gekrümmten Finger folgen der Drehung, der Daumen zeigt in Richtung von \(\vec{M}\).
Ein häufiger Spezialfall ist eine Scheibe oder ein Rad, an dessen Rand eine Kraft tangential angreift. Die Kraft steht dann senkrecht auf dem Radius, und der Hebelarm ist genau der Radius \(r\). Eine Tangentialkraft von 20 N an einer Riemenscheibe mit 0,15 m Radius erzeugt also \(M = 20\ \mathrm{N} \cdot 0{,}15\ \mathrm{m} = 3{,}0\ \mathrm{N \cdot m}\). Wer den Durchmesser einsetzt, erhält fälschlich das Doppelte.
Die Definition \(M = F \cdot r_\perp\) mit der Einheit \(\mathrm{N \cdot m}\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, dass nur der senkrechte Abstand zählt und bei tangentialer Kraft an einer Scheibe der Radius der Hebelarm ist, nicht der Durchmesser.
Wirkungslinie und Hebelarm
Die Wirkungslinie ist die Gerade, auf der der Kraftpfeil liegt, gedanklich nach beiden Seiten verlängert. Den Hebelarm findet man, indem man von der Drehachse das Lot auf diese Linie fällt. Greift die Kraft unter dem Winkel \(\alpha\) zum Ortsvektor an, gilt \(r_\perp = r \cdot \sin\alpha\).
Daraus folgt: Verschiebt man den Angriffspunkt entlang der Wirkungslinie, bleibt das Drehmoment gleich. Das Lot ändert sich nicht. Man kann sich die Kraft wie einen Zug an einer gespannten Schnur vorstellen. Wo man entlang der Schnur anfasst, ist für die Drehung egal.
Zwei Grenzfälle sind wichtig. Steht die Kraft senkrecht auf \(\vec{r}\) (\(\alpha = 90°\)), ist der Hebelarm maximal und gleich \(r\). Verläuft die Wirkungslinie durch den Drehpunkt (\(\alpha = 0°\) oder \(180°\)), ist der Hebelarm null. Dann entsteht kein Drehmoment. Darum bewegt sich die Tür nicht, wenn man zum Scharnier hin zieht.
Bei Gewichten an Fäden ist die Wirkungslinie senkrecht. Ein gespanntes Seil überträgt die Kraft unverändert auf seinen Befestigungspunkt (siehe Seilkräfte). Der Hebelarm ist deshalb der waagerechte Abstand des Aufhängepunkts vom Lager. Die Fadenlänge verlängert ihn nicht.
So rechnet man eine solche Anordnung mit eigenen Zahlen durch:
- Skizze lesen: Eine waagerechte Stange ist links gelagert. Bei 0,10 m hängt an einem 0,40 m langen Faden ein Gewicht von 3,0 N, bei 0,25 m an einem 0,15 m langen Faden eines von 2,0 N.
- Hebelarme bestimmen: Die Wirkungslinien sind senkrecht, also gilt \(r_{\perp,1} = 0{,}10\ \mathrm{m}\) und \(r_{\perp,2} = 0{,}25\ \mathrm{m}\). Die Fadenlängen spielen keine Rolle.
- Einzeldrehmomente: \(M_1 = 3{,}0\ \mathrm{N} \cdot 0{,}10\ \mathrm{m} = 0{,}30\ \mathrm{N \cdot m}\) und \(M_2 = 2{,}0\ \mathrm{N} \cdot 0{,}25\ \mathrm{m} = 0{,}50\ \mathrm{N \cdot m}\).
- Zusammenfassen: Beide Gewichte drehen die Stange im Uhrzeigersinn. Das Gesamtdrehmoment beträgt \(0{,}80\ \mathrm{N \cdot m}\).
Mehrere Drehmomente und Kräftepaar
Greifen mehrere Kräfte an, bestimmt man für jede den Drehsinn. Dreht sie den Körper im oder gegen den Uhrzeigersinn? Üblich ist, Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn positiv und im Uhrzeigersinn negativ zu zählen. Drehmomente gleichen Drehsinns addieren sich, entgegengesetzte subtrahieren sich.
Ist die Summe null, dreht sich der Körper nicht: \(\sum F_i \cdot r_{\perp,i} = 0\). Diese Bedingung liefert fehlende Kräfte. Erzeugt eine Kraft \(F\) am Rand einer Scheibe das Drehmoment \(F \cdot r\), muss eine Gegenkraft bei halbem Radius doppelt so groß sein und entgegengesetzt drehen: \(2F \cdot r/2 = F \cdot r\). Ausführlich rechnet man das mit dem Hebelgesetz.
Ein Kräftepaar besteht aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Kräften auf parallelen Wirkungslinien im Abstand \(d\). Ihre Resultierende ist null, der Körper wird also nicht verschoben. Ihre Drehmomente haben aber denselben Drehsinn und addieren sich zu \(M = F \cdot d\).
Am Lenkrad greifen beide Hände tangential an gegenüberliegenden Punkten an, links nach oben und rechts nach unten. Jede Hand liefert \(F \cdot r\), zusammen also \(M = 2 \cdot F \cdot r = F \cdot d\) mit dem Durchmesser \(d\). Mit je 15 N an einem Lenkrad von 0,36 m Durchmesser ergibt sich \(M = 15\ \mathrm{N} \cdot 0{,}36\ \mathrm{m} = 5{,}4\ \mathrm{N \cdot m}\).
Zwei entgegengesetzt gerichtete Tangentialkräfte an gegenüberliegenden Punkten einer Scheibe heben ihre Drehwirkung nicht auf, sondern drehen im gleichen Sinn. Maßgeblich ist immer der Drehsinn, nicht die Richtung des Kraftpfeils.
Quiz
Aussage 1
Das Drehmoment wird in Newtonmeter (\(\mathrm{N \cdot m}\)) angegeben.
Aus \(M = F \cdot r_\perp\) folgt die Einheit Newton mal Meter.
Aussage 2
Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch den Drehpunkt verläuft, erzeugt kein Drehmoment.
Der Hebelarm ist dann null, also auch \(M = F \cdot r_\perp\).
Aussage 3
Verschiebt man den Angriffspunkt einer Kraft entlang ihrer Wirkungslinie weiter von der Drehachse weg, wird das Drehmoment größer.
Der senkrechte Abstand der Wirkungslinie zur Drehachse bleibt gleich, also bleibt auch das Drehmoment gleich.
Aussage 4
Hängt man ein Gewicht an derselben Stelle einer waagerechten, gelagerten Stange an einem längeren Faden auf, erhöht sich sein Drehmoment.
Die Wirkungslinie bleibt senkrecht durch den Aufhängepunkt, der Hebelarm ist der waagerechte Abstand zum Lager. Die Fadenlänge ändert ihn nicht.
Aussage 5
Zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Tangentialkräfte \(F\) an gegenüberliegenden Punkten eines Lenkrads mit Radius \(r\) erzeugen zusammen das Drehmoment \(M = 2 \cdot F \cdot r\).
Beide Kräfte drehen im gleichen Sinn, ihre Drehmomente addieren sich zu \(F \cdot d\) mit \(d = 2r\).
Aussage 6
Greift eine Kraft tangential am Rand einer drehbaren Scheibe an, ist der Hebelarm gleich dem Durchmesser der Scheibe.
Bei tangentialer Kraft steht diese senkrecht auf dem Radius, der Hebelarm ist daher der Radius.
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