Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und im Medium
Wie schnell Licht im Vakuum und in Materie ist, wie die Brechzahl diesen Unterschied beschreibt und wie man damit Laufzeiten berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Brechzahl \(n = c_0/c\) beschreibt, wie stark ein Stoff Licht gegenüber der Vakuumlichtgeschwindigkeit \(c_0\) bremst.
- Die Vakuumlichtgeschwindigkeit beträgt rund \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) bzw. 300 000 km/s; in Luft ist Licht praktisch genauso schnell.
- Die Brechzahl ist dimensionslos, im Vakuum genau 1 und in Materie größer als 1, nie null.
- Im Medium gilt \(c = c_0/n\): Mit steigender Brechzahl sinkt die Lichtgeschwindigkeit, in Glas mit \(n = 1{,}5\) auf etwa 200 000 km/s.
- Die Laufzeit durch eine Schicht ist \(t = n \cdot d/c_0\); bei reflektierten Signalen zählt der doppelte Weg, \(t = 2d/c\).
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Worum es geht
Licht ist im Vakuum am schnellsten und wird in jedem Stoff langsamer. Die Brechzahl misst, um wie viel. Sie ist die Grundgröße der geometrischen Optik und dient in der Pharmazie über die Refraktometrie zur Identitäts- und Reinheitsprüfung, etwa von fetten Ölen.
Licht als elektromagnetische Welle
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Ein elektrisches Feld \(\vec{E}\) und ein magnetisches Feld \(\vec{B}\) schwingen gekoppelt miteinander. Beide stehen senkrecht zueinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Licht ist also eine Transversalwelle.
Die beiden Felder erzeugen sich gegenseitig immer wieder neu. Deshalb braucht Licht keinen Träger. Es breitet sich auch im leeren Raum aus, anders als Schall, der Luftmoleküle zum Schwingen braucht. So erreicht uns das Sonnenlicht durch das Vakuum des Weltalls.
Wie jede Welle hat Licht eine Wellenlänge \(\lambda\) und eine Frequenz \(f\). Ihr Produkt ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit, \(c = \lambda \cdot f\). Diese Größen sind unter Kenngrößen und Ausbreitung von Wellen erklärt. Hier geht es um die Geschwindigkeit selbst: Wie groß ist sie im Vakuum, und wie ändert sie sich in Materie?
Vakuumlichtgeschwindigkeit
Im Vakuum breitet sich Licht mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit \(c_0\) aus. Sie ist eine Naturkonstante und für alle Frequenzen gleich. Ihr Wert ist exakt festgelegt: \(c_0 = 299\,792\,458\,\mathrm{m/s}\). Der Meter ist heute sogar über diesen Wert definiert.
Für Rechnungen genügt der gerundete Wert \(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Man findet ihn auch als \(3 \times 10^8\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\) geschrieben. Das ist dieselbe Angabe in anderer Schreibweise. In einer Sekunde würde Licht die Erde mit ihrem Umfang von 40 000 km also gut siebenmal umrunden.
Umrechnung in km/s
Ein Kilometer sind \(10^3\) Meter. Um von m/s auf km/s zu kommen, teilt man deshalb durch 1000:
\[3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s} = 3 \cdot 10^5\,\mathrm{km/s} = 300\,000\,\mathrm{km/s}\]
Der Wert von \(c_0\) ist ein Examensklassiker: Du solltest 300 000 km/s und \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) sicher als gleichwertig erkennen. Nicht verwechseln darf man ihn mit 200 000 km/s. Das ist die Lichtgeschwindigkeit in Glas, wie der nächste Abschnitt zeigt.
Licht in Luft
Luft ist ein sehr dünnes Medium. Sie bremst Licht nur um etwa 0,03 %. Für alle praktischen Rechnungen gilt deshalb auch in Luft \(c \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Ob eine Aufgabe Vakuum oder Luft nennt, ändert am Ergebnis nichts.
Brechzahl
In Materie ist Licht langsamer als im Vakuum. Das elektrische Feld regt die Elektronen des Stoffes zum Mitschwingen an. Diese strahlen selbst Wellen ab, die sich der ursprünglichen Welle überlagern. Die Gesamtwelle läuft dadurch langsamer. Wie stark ein Stoff Licht bremst, beschreibt seine Brechzahl \(n\), auch Brechungsindex genannt. Sie ist das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit im Medium.
\[n = \frac{c_0}{c} \qquad \Leftrightarrow \qquad c = \frac{c_0}{n}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(n\) | Brechzahl des Mediums | dimensionslos (1) |
| \(c_0\) | Vakuumlichtgeschwindigkeit, \(\approx 3 \cdot 10^8\) | m/s |
| \(c\) | Lichtgeschwindigkeit im Medium | m/s |
Wertebereich
Im Vakuum ist \(c = c_0\), also gilt dort genau \(n = 1\). Jeder durchsichtige Stoff bremst das Licht. Für Materie ist \(n\) deshalb größer als 1. Insgesamt ist die Brechzahl stets mindestens 1 und nie null. Eine Brechzahl von null würde eine unendliche Geschwindigkeit bedeuten. Gase liegen knapp über 1, Luft etwa bei 1,0003. Wasser hat 1,33, Glas etwa 1,5 und Diamant 2,42.
Geschwindigkeit im Medium
Löst man die Definition nach \(c\) auf, folgt \(c = c_0/n\). Die Lichtgeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Brechzahl: doppelte Brechzahl, halbe Geschwindigkeit. Im Vakuum ist Licht am schnellsten. Mit steigender Brechzahl wird es immer langsamer. Auch in Flüssigkeiten und Gasen ist es deshalb langsamer als \(c_0\) oder höchstens ungefähr gleich schnell.
\(c = c_0/n\) gehört zum Pflichtprogramm. Achte darauf, \(c_0\) durch \(n\) zu teilen: Für Glas mit \(n = 1{,}5\) ergibt sich \(c = 2 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\), also 200 000 km/s, deutlich weniger als im Vakuum.
Die Abbildung zeigt die Reihenfolge: Vakuum vor Luft, dann Wasser mit rund 225 000 km/s, Glas und schließlich Diamant mit etwa 124 000 km/s.
Übergang in ein anderes Medium
Tritt Licht in einen Stoff mit anderer Brechzahl über, ändert sich seine Geschwindigkeit. Von Luft in Glas oder in Wasser wird es langsamer, beim Austritt wieder schneller. Die Frequenz bleibt dabei gleich, die Wellenlänge ändert sich. Das behandelt die Einheit Wellenlänge und Frequenz beim Mediumwechsel. Die Richtungsänderung an der Grenzfläche gehört zu Reflexion und Brechung.
Rechnen mit der Brechzahl
In einer klaren Flüssigkeit misst man \(c = 2{,}05 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Wie groß ist ihre Brechzahl?
- Formel wählen: Gesucht ist \(n\), also \(n = c_0/c\).
- Einheiten prüfen: Zähler und Nenner stehen beide in m/s. Die Einheit kürzt sich weg.
- Einsetzen: \(n = \dfrac{3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{2{,}05 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}\).
- Ergebnis: \(n \approx 1{,}46\). Der Wert liegt über 1 und passt zu einer Flüssigkeit wie Glycerol.
Der umgekehrte Weg ist genauso kurz. Für Wasser mit \(n = 1{,}33\) gilt \(c = 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s} / 1{,}33 \approx 2{,}26 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Fragt eine Aufgabe nach dem Anteil an \(c_0\), rechnet man \(c/c_0 = 1/n\). Für Wasser sind das \(1/1{,}33 \approx 0{,}75\), also 75 %.
Wer \(n = c/c_0\) rechnet, erhält einen Wert unter 1. Ein solches Ergebnis zeigt sofort, dass Zähler und Nenner vertauscht sind.
Laufzeiten
Mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium lässt sich berechnen, wie lange Licht für eine Strecke braucht. Grundlage ist die gleichförmige Bewegung: Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit. Setzt man \(c = c_0/n\) ein, erhält man die Laufzeit durch eine Schicht der Dicke \(d\):
\[t = \frac{d}{c} = \frac{n \cdot d}{c_0}\]
Die Brechzahl steht jetzt im Zähler. Ein Stoff mit höherem \(n\) verlängert die Laufzeit, weil das Licht langsamer ist. Die Laufzeit ist proportional zu \(n\) und zu \(d\).
Beispiel Glasfaser
In Glasfasern laufen Lichtpulse über weite Strecken. Wie lange braucht ein Puls durch eine 5 km lange Faser mit \(n = 1{,}5\)?
- Einheiten angleichen: \(s = 5\,\mathrm{km} = 5000\,\mathrm{m}\).
- Formel aufstellen: \(t = n \cdot s / c_0\).
- Einsetzen: \(t = \dfrac{1{,}5 \cdot 5000\,\mathrm{m}}{3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{s}\).
- Umrechnen: \(2{,}5 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{s} = 25\,\mathrm{\mu s}\).
Im Vakuum wären es nur rund 17 µs. Die Faser verlängert die Laufzeit genau um den Faktor \(n\). Wie Glasfasern das Licht durch Totalreflexion führen, erklärt die Einheit zu Brechungsgesetz und Totalreflexion.
Im Vakuum braucht Licht für einen Meter rund 3,3 ns, in Glas mit \(n = 1{,}5\) rund 5 ns.
Reflektierte Signale
Ein Laser-Entfernungsmesser schickt einen Lichtpuls zu einer Wand und misst, wann das reflektierte Signal zurückkommt. Das Licht legt die Entfernung \(d\) dabei zweimal zurück, einmal hin und einmal zurück. Die Laufzeit ist deshalb
\[t = \frac{2d}{c}\]
Bei einer Wand in 15 m Abstand gilt in Luft \(t = 2 \cdot 15\,\mathrm{m} / (3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}) = 1 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s}\), also 100 ns. Umgekehrt berechnet das Gerät aus der gemessenen Zeit die Entfernung mit \(d = c \cdot t/2\). Läuft das Signal durch ein Medium, setzt man dessen Geschwindigkeit \(c = c_0/n\) ein.
Typische Fehler
- Den Faktor 2 beim Hin- und Rückweg vergessen.
- Strecken in km mit \(c_0\) in m/s kombinieren, ohne umzurechnen.
- \(n\) in den Nenner der Laufzeit setzen. Ein dichteres Medium muss die Zeit verlängern, nicht verkürzen.
- Zehnerpotenzen falsch in µs oder ns umrechnen: \(1\,\mathrm{\mu s} = 10^{-6}\,\mathrm{s}\), \(1\,\mathrm{ns} = 10^{-9}\,\mathrm{s}\).
Quiz
Aussage 1
Ein Lichtpuls braucht für 2 km Glasfaser mit \(n = 1{,}5\) etwa 10 µs.
\(t = n \cdot s/c_0 = 1{,}5 \cdot 2000\,\mathrm{m} / (3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}) = 1 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{s} = 10\,\mathrm{\mu s}\).
Aussage 2
In Luft ist Licht spürbar langsamer als im Vakuum und erreicht nur etwa 200 000 km/s.
Luft bremst Licht nur um etwa 0,03 %, dort gilt praktisch \(3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\). Die 200 000 km/s gelten für Glas mit \(n = 1{,}5\).
Aussage 3
Licht legt im Vakuum rund 300 000 km in einer Sekunde zurück.
\(c_0 \approx 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) entspricht \(3 \cdot 10^5\,\mathrm{km/s}\), also 300 000 km/s.
Aussage 4
Ein Stoff mit höherer Brechzahl lässt Licht schneller hindurchlaufen als ein Stoff mit niedrigerer Brechzahl.
Wegen \(c = c_0/n\) nimmt die Lichtgeschwindigkeit mit steigender Brechzahl ab. Diamant mit \(n = 2{,}42\) ist langsamer als Wasser mit \(n = 1{,}33\).
Aussage 5
Die Brechzahl eines Mediums ist als Lichtgeschwindigkeit im Medium geteilt durch die Vakuumlichtgeschwindigkeit definiert.
Umgekehrt: \(n = c_0/c\). Der vertauschte Quotient ergäbe Werte unter 1.
Aussage 6
Für Licht in durchsichtiger Materie ist die Brechzahl stets größer als 1.
Jeder Stoff bremst Licht, also ist \(c < c_0\) und damit \(n > 1\). Nur im Vakuum ist \(n\) genau 1.
Aussage 7
In Glas mit der Brechzahl 1,5 breitet sich Licht mit etwa \(2 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\) aus.
\(c = c_0/n = 3 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s} / 1{,}5 = 2 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\).
Aussage 8
Bei der Laser-Entfernungsmessung ist die gemessene Laufzeit \(t = d/c\), weil nur der Weg zur Wand zählt.
Das Licht läuft hin und zurück, also die Strecke \(2d\). Es gilt \(t = 2d/c\).
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