Kreisprozesse, Wärmekraftmaschine und Carnot-Prozess
Wie ein Kreisprozess bilanziert wird, wie man den Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine berechnet und wie man den Carnot-Prozess im p-V-Diagramm liest.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, nach der die Arbeitssubstanz ihren Anfangszustand wieder erreicht, daher gilt je Umlauf \(\Delta U = 0\).
- Je Zyklus einer Wärmekraftmaschine gilt \(Q_{zu} = W + Q_{ab}\), die Arbeit ist die Differenz aus aufgenommener Wärme und Abwärme.
- Der thermische Wirkungsgrad \(\eta = W/Q_{zu} = (Q_{zu}-Q_{ab})/Q_{zu}\) gilt für jeden Kreisprozess und ist stets kleiner als 1.
- Der Carnot-Prozess besteht aus zwei Isothermen und zwei Adiabaten, alle reversibel, Wärme fließt nur auf den Isothermen.
- Im p-V-Diagramm sind die flacheren Kurven Isothermen, die steileren Adiabaten, die umschlossene Fläche ist die Nettoarbeit.
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Worum es geht
Motoren, Turbinen und, rückwärts betrieben, auch der Kühlschrank für die Kühlkette arbeiten mit Kreisprozessen. Ein Gas durchläuft dabei immer wieder dieselbe Folge von Zustandsänderungen und setzt Wärme in Arbeit um. Diese Einheit baut auf dem 1. Hauptsatz auf und führt zum Carnot-Prozess, dem Maßstab jeder Wärmekraftmaschine.
Reversible Prozesse
Ein reversibler Prozess lässt sich vollständig umkehren. System und Umgebung kehren dabei in ihren Ausgangszustand zurück, ohne dass eine Spur bleibt. Reale Vorgänge sind dagegen irreversibel. Reibung, Wirbel oder ein Wärmefluss über eine endliche Temperaturdifferenz lassen sich nicht rückgängig machen. Warum das so ist, erklärt der 2. Hauptsatz.
Reversibel ist ein Prozess nur, wenn er quasistatisch abläuft. Das Gas durchläuft dann unendlich langsam eine lückenlose Folge von Gleichgewichtszuständen. Man kann sich einen Kolben vorstellen, von dem man Sandkorn für Sandkorn Gewicht nimmt. Weil jeder Zwischenzustand definiert ist, lässt sich der Prozess als durchgehende Kurve im p-V-Diagramm zeichnen. Das ist eine Idealisierung. Sie liefert aber die Grenzwerte, an denen sich reale Maschinen messen.
Kreisprozess
Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, nach der die Arbeitssubstanz genau ihren Anfangszustand wieder erreicht. Im p-V-Diagramm ergibt sich eine geschlossene Kurve. Alle Zustandsgrößen haben danach ihren Ausgangswert. Deshalb ist nach jedem vollständigen Umlauf die Änderung der inneren Energie null: \(\Delta U = 0\). Wärme und Arbeit sind dagegen Prozessgrößen. Sie heben sich über den Umlauf nicht auf.
Die Teilschritte können je nach Prozess isochor, isobar, isotherm oder adiabatisch sein. Wie man diese einzeln bilanziert, steht unter isochore, isobare und isotherme Zustandsänderungen. Für jeden Teilschritt findet man die Richtung von Wärme und Arbeit mit zwei Überlegungen:
- Arbeit: Wächst das Volumen, verrichtet das Gas Arbeit. Schrumpft es, wird Arbeit am Gas verrichtet. Bleibt es konstant, fließt keine Volumenarbeit.
- Wärme: Beim idealen Gas hängt \(U\) nur von der Temperatur ab. Auf einer Isotherme ist \(\Delta U = 0\), die Wärme gleicht die Arbeit genau aus. Steigen Temperatur und Volumen zugleich, muss Wärme zufließen. Sinken beide, wird Wärme abgegeben.
Ein Beispiel aus zwei Isobaren (\(p_2 > p_1\)) und zwei Isothermen (\(T_2 > T_1\)), im Uhrzeigersinn durchlaufen:
| Teilschritt | Art | Volumen | Wärme | Arbeit |
|---|---|---|---|---|
| A → B | isobar bei \(p_2\), \(T_1 \to T_2\) | wächst | zugeführt | vom Gas verrichtet |
| B → C | isotherm bei \(T_2\) | wächst | zugeführt | vom Gas verrichtet |
| C → D | isobar bei \(p_1\), \(T_2 \to T_1\) | sinkt | abgegeben | am Gas verrichtet |
| D → A | isotherm bei \(T_1\) | sinkt | abgegeben | am Gas verrichtet |
Wärmekraftmaschine
Eine Wärmekraftmaschine wandelt Wärme periodisch in Arbeit um. Dazu durchläuft ihre Arbeitssubstanz einen Kreisprozess im Uhrzeigersinn. Sie nimmt aus einem heißen Reservoir die Wärme \(Q_{zu}\) auf, gibt die Arbeit \(W\) ab und leitet die Abwärme \(Q_{ab}\) an ein kaltes Kühlmedium. Weil je Zyklus \(\Delta U = 0\) gilt, verlangt der 1. Hauptsatz die Bilanz \(Q_{zu} = W + Q_{ab}\). Die Arbeit ist also die Differenz aus aufgenommener Wärme und Abwärme.
Wie gut die Maschine arbeitet, beschreibt der thermische Wirkungsgrad \(\eta\). Er setzt den Nutzen ins Verhältnis zum Aufwand.
\[\eta = \frac{W}{Q_{zu}} = \frac{Q_{zu} - Q_{ab}}{Q_{zu}}\]
\(W\) ist die je Zyklus abgegebene Arbeit, \(Q_{zu}\) die aufgenommene und \(Q_{ab}\) die abgegebene Wärme, alle in J. \(\eta\) ist eine Zahl ohne Einheit.
Eine periodisch arbeitende Maschine muss immer Wärme an das kalte Reservoir abgeben. Deshalb ist \(Q_{ab} > 0\) und der Wirkungsgrad stets kleiner als 1. Die Formel gilt für jeden Kreisprozess, nicht nur für den Carnot-Prozess. Die Obergrenze bei gegebenen Temperaturen liefert der Carnot-Wirkungsgrad.
- Gegeben: Eine Maschine nimmt je Zyklus 800 J auf und gibt 240 Nm Arbeit ab.
- Einheit prüfen: Es gilt \(1\,\mathrm{Nm} = 1\,\mathrm{J}\), also \(W = 240\,\mathrm{J}\).
- Abwärme: \(Q_{ab} = Q_{zu} - W = 800\,\mathrm{J} - 240\,\mathrm{J} = 560\,\mathrm{J}\).
- Wirkungsgrad: \(\eta = 240\,\mathrm{J} / 800\,\mathrm{J} = 0{,}30\), also 30 %.
Carnot-Prozess
Der Carnot-Prozess ist ein idealer Kreisprozess aus ausschließlich reversiblen Teilschritten: zwei Isothermen und zwei Adiabaten. Er arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit \(T_h\) und einem kalten mit \(T_k\). Wärme fließt nur auf den Isothermen. Dort bleibt die innere Energie des idealen Gases konstant, Wärme und Arbeit gleichen sich genau aus. Auf den Adiabaten fließt keine Wärme. Die Arbeit ändert dort allein die innere Energie und damit die Temperatur.
- Isotherme Expansion (1 → 2) bei \(T_h\): Das Gas nimmt \(Q_{zu}\) auf und verrichtet Arbeit.
- Adiabatische Expansion (2 → 3): Das Gas verrichtet Arbeit auf Kosten seiner inneren Energie, die Temperatur sinkt auf \(T_k\).
- Isotherme Kompression (3 → 4) bei \(T_k\): Am Gas wird Arbeit verrichtet, es gibt \(Q_{ab}\) an das kalte Reservoir ab.
- Adiabatische Kompression (4 → 1): Am Gas wird Arbeit verrichtet, die Temperatur steigt wieder auf \(T_h\).
Bei hoher Temperatur nimmt das Gas mehr Wärme auf, als es bei tiefer Temperatur abgibt. Die Differenz \(Q_{zu} - Q_{ab}\) ist die Nettoarbeit.
Im p-V-Diagramm lesen
Isothermen und Adiabaten unterscheidet man an der Steigung. Die flacheren Kurvenstücke sind die Isothermen, die steileren die Adiabaten. Der Grund: Bei adiabatischer Expansion sinkt zusätzlich die Temperatur, der Druck fällt also schneller (siehe Adiabate und Isotherme). Die obere Isotherme gehört zu \(T_h\), die untere zu \(T_k\). Auf den Isothermen verrät die Volumenänderung die Wärmerichtung. Expansion bedeutet Wärmezufuhr, Kompression Wärmeabgabe.
Auf dem oberen Weg verrichtet das Gas mehr Arbeit, als auf dem unteren an ihm verrichtet wird. Diese Differenz ist die von der Kurve umschlossene Fläche. Sie entspricht der Nettoarbeit je Umlauf. Läuft der Kreis im Uhrzeigersinn, arbeitet der Prozess als Wärmekraftmaschine.
Die umschlossene Fläche ist die Nettoarbeit \(W\), nicht die zugeführte Wärme. \(Q_{zu}\) entspricht der größeren Fläche unter der oberen Isotherme bis zur V-Achse.
Quiz
Aussage 1
Die vom Carnot-Prozess im p-V-Diagramm umschlossene Fläche entspricht der zugeführten Wärme \(Q_{zu}\).
Die umschlossene Fläche ist die Nettoarbeit \(W = Q_{zu} - Q_{ab}\). \(Q_{zu}\) entspricht der Fläche unter der oberen Isotherme.
Aussage 2
Im p-V-Diagramm des Carnot-Prozesses sind die steiler verlaufenden Kurvenstücke die Isothermen.
Die steileren Stücke sind die Adiabaten, weil dort zusätzlich die Temperatur sinkt. Die flacheren sind die Isothermen.
Aussage 3
Einen thermischen Wirkungsgrad kann man nur für den Carnot-Prozess angeben.
\(\eta = W/Q_{zu}\) lässt sich für jeden Kreisprozess berechnen. Der Carnot-Wirkungsgrad ist nur die Obergrenze.
Aussage 4
Bei der adiabatischen Kompression im Carnot-Prozess wird Arbeit am Gas verrichtet, ohne dass Wärme fließt, und die Temperatur steigt.
Adiabatisch heißt ohne Wärmeaustausch. Die am Gas verrichtete Arbeit erhöht die innere Energie und damit die Temperatur auf \(T_h\).
Aussage 5
Nimmt eine Wärmekraftmaschine je Zyklus 1000 J auf und gibt 350 Nm Arbeit ab, beträgt die Abwärme 650 J und der Wirkungsgrad 0,35.
Mit \(1\,\mathrm{Nm} = 1\,\mathrm{J}\) folgt \(Q_{ab} = 1000\,\mathrm{J} - 350\,\mathrm{J} = 650\,\mathrm{J}\) und \(\eta = 350/1000 = 0{,}35\).
Aussage 6
Nach einem vollständigen Umlauf eines Kreisprozesses hat die innere Energie der Arbeitssubstanz wieder ihren Anfangswert.
Die innere Energie ist eine Zustandsgröße. Da der Anfangszustand wieder erreicht wird, gilt \(\Delta U = 0\).
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