Reihenschaltung, Maschenregel und Spannungsteiler
Wie sich Strom, Widerstand und Spannung verhalten, wenn Bauteile hintereinander in einem unverzweigten Stromkreis liegen, und wie man Gesamtwiderstand, Strom und Teilspannungen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Reihenschaltung ordnet alle Bauteile hintereinander auf einem einzigen unverzweigten Weg an, sodass durch alle dieselbe Stromstärke fließt.
- Wird eine Reihenschaltung an einer Stelle unterbrochen, etwa durch einen offenen Schalter oder einen durchgebrannten Glühfaden, fließt im ganzen Kreis kein Strom mehr.
- Der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände, \(R_\text{ges} = R_1 + R_2 + \dots\), und damit größer als der größte Einzelwiderstand; der Strom ist \(I = U/R_\text{ges}\).
- Nach der Maschenregel addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung: \(U = U_1 + U_2 + U_3\).
- Am unbelasteten Spannungsteiler gilt \(U_i = U \cdot R_i/R_\text{ges}\): Die Teilspannungen verhalten sich wie die Widerstände, zwei gleiche Widerstände erhalten je die Hälfte.
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Worum es geht
Liegen Bauteile wie Perlen auf einer Schnur hintereinander, spricht man von einer Reihenschaltung. Sie ist die einfachste Widerstandsschaltung und baut direkt auf dem Ohm’schen Gesetz auf. Als Spannungsteiler liefert sie in Mess- und Laborgeräten genau die Teilspannung, die ein Bauteil braucht.
Stromkreise und Schaltbilder
Ein Stromkreis besteht aus einer Spannungsquelle, Verbrauchern und einer geschlossenen Leitung. Schaltbilder zeigen ihn mit genormten Zeichen. Die Gleichspannungsquelle erkennt man an zwei ungleich langen Strichen, der längere ist der Pluspol. Ein Widerstand ist ein Rechteck, eine Glühlampe ein Kreis mit Kreuz. Messgeräte sind Kreise mit A für das Amperemeter und V für das Voltmeter.
Zwei Begriffe gliedern jedes Schaltbild. Ein Knoten ist ein Punkt, an dem sich die Leitung verzweigt. Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf durch die Schaltung, der zum Ausgangspunkt zurückführt. Auf diese beiden Strukturen beziehen sich die Kirchhoff’schen Regeln:
- Knotenregel: Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden. Sie folgt aus der Ladungserhaltung und ist das Werkzeug der Parallelschaltung.
- Maschenregel: Alle Spannungen entlang einer Masche ergeben zusammen null. Sie folgt aus der Energieerhaltung und trägt diese Einheit.
Zusammen mit dem Ohm’schen Gesetz \(U = R \cdot I\) genügen sie, um jede Gleichstromschaltung aus Widerständen zu berechnen.
Strom in der Reihenschaltung
Bei einer Reihenschaltung (Serienschaltung) liegen alle Bauteile hintereinander auf einem einzigen, unverzweigten Weg. Es gibt keinen Knoten, an dem sich der Strom aufteilen könnte. Deshalb fließt durch alle Bauteile dieselbe Stromstärke. Ladung geht unterwegs nicht verloren und staut sich nirgends. Man kann sich das wie eine Menschenschlange in einem engen Gang vorstellen: Jede Stelle passieren pro Sekunde gleich viele Personen.
Das gilt für jedes Element im Kreis. Ein Amperemeter in Reihe mit einem Widerstand führt genau dessen Strom, darauf beruht die Strommessung. Auch ein Draht mit wechselndem Querschnitt ist eine Reihe von Abschnitten. Durch die dünne Stelle fließt dieselbe Stromstärke wie durch die dicke. Größer ist dort nur die Stromdichte.
Daraus folgt die Schwäche der Reihenschaltung. Wird der Kreis an einer einzigen Stelle unterbrochen, fließt im ganzen Kreis kein Strom mehr. Ein offener Schalter wirkt wie eine Lücke in der Leitung, der Zweig mit ihm entfällt. Brennt in einer Kette aus drei Glühlampen ein Faden durch, gehen deshalb alle Lampen aus, nicht nur die defekte.
Im Schaltplan erkennt man die Reihe daran, dass von Pol zu Pol nur ein einziger Weg führt und jede Lampe auf ihm liegt. Fällt eine Lampe aus, ist dieser Weg unterbrochen. Die übrigen Lampen leuchten dann weder schwächer noch heller, sondern gar nicht.
Gesamtwiderstand
Jeder Widerstand in der Kette bremst denselben Strom. Die Hindernisse summieren sich daher. Der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände.
\[R_\text{ges} = R_1 + R_2 + \dots + R_n\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(R_\text{ges}\) | Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) der Reihe | Ω |
| \(R_1 \dots R_n\) | Einzelwiderstände | Ω |
Weil jeder Summand positiv ist, liegt \(R_\text{ges}\) immer über dem größten Einzelwiderstand. Zwei Grenzfälle machen das anschaulich. Ein Widerstand nahe null, etwa ein Stück Draht, ändert die Summe kaum. Ein sehr großer Widerstand, im Extrem ein offener Schalter, bestimmt die Summe fast allein. Dasselbe gilt für hintereinanderliegende Abschnitte eines Leiters: Ihre Teilwiderstände aus dem spezifischen Widerstand addieren sich wie Reihenwiderstände.
Die Stromstärke liefert das Ohm’sche Gesetz, angewandt auf den Gesamtwiderstand:
\[I = \frac{U}{R_\text{ges}} = \frac{U}{R_1 + R_2}\]
Bei fester Spannung gilt: doppelter Gesamtwiderstand, halber Strom. Schaltet man zu einem Widerstand einen zweiten gleich großen in Reihe, sinkt die Stromstärke auf die Hälfte, also \(I_2 = I_1/2\). Bei \(n\) gleichen Widerständen \(R\) ist \(R_\text{ges} = n \cdot R\).
Die Addition \(R_\text{ges} = R_1 + R_2 + \dots\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, dass das Ergebnis größer als der größte Einzelwiderstand sein muss, und setze für den Strom immer \(R_\text{ges}\) ein, nie einen einzelnen Widerstand.
Der Gesamtleitwert ist in der Reihenschaltung nicht die Summe der Einzelleitwerte. Mit \(G = 1/R\) gilt hier \(1/G_\text{ges} = 1/G_1 + 1/G_2\). Kehrwerte von Widerständen addiert man nur in der Parallelschaltung.
- Gegeben: Quelle mit \(U = 12\,\text{V}\), dazu \(R_1 = 220\,\Omega\) und \(R_2 = 380\,\Omega\) in Reihe.
- Gesamtwiderstand: \(R_\text{ges} = 220\,\Omega + 380\,\Omega = 600\,\Omega\).
- Stromstärke: \(I = 12\,\text{V} / 600\,\Omega = 0{,}02\,\text{A} = 20\,\text{mA}\).
- Plausibilität: \(600\,\Omega\) ist größer als \(380\,\Omega\). Die 20 mA fließen durch beide Widerstände.
Ein häufiger Einheitenfehler lässt sich leicht vermeiden. Rechnet man mit kΩ, ergibt Volt durch Kiloohm direkt Milliampere.
Maschenregel und Spannungsteiler
Die Maschenregel lässt sich in der Reihenschaltung direkt anwenden. Auf einem Umlauf gewinnt die Ladung an der Quelle die Spannung \(U\) und gibt sie an den Widerständen vollständig wieder ab. Die Teilspannungen addieren sich daher zur Gesamtspannung:
\[U = U_1 + U_2 + U_3\]
Am einzelnen Widerstand fällt \(U_i = R_i \cdot I\) ab. Weil \(I\) überall gleich ist, wächst die Teilspannung proportional mit dem Widerstand. Die Gesamtspannung teilt sich also im Verhältnis der Widerstände auf. Eine Reihenschaltung, an der man eine solche Teilspannung abgreift, heißt Spannungsteiler. Setzt man \(I = U/R_\text{ges}\) ein, folgt die Spannungsteilerregel.
\[U_i = U \cdot \frac{R_i}{R_\text{ges}} \qquad \text{bzw.} \qquad \frac{U_i}{U} = \frac{R_i}{R_\text{ges}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(U_i\) | Teilspannung am Widerstand \(R_i\) | V |
| \(U\) | Gesamtspannung der Quelle | V |
| \(R_i\) | betrachteter Teilwiderstand | Ω |
| \(R_\text{ges}\) | Summe aller Reihenwiderstände | Ω |
Für zwei Widerstände lautet sie \(U_2 = U \cdot R_2/(R_1 + R_2)\). Diese Spannungsteilerregel wird im Examen gerne gefragt, meist als Anzeige eines Voltmeters parallel zu einem der Widerstände. Ein ideales Voltmeter zieht praktisch keinen Strom und zeigt genau diese Teilspannung. Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab. Zwei gleiche Widerstände erhalten je die Hälfte der Gesamtspannung, ungleiche dagegen ungleiche Teilspannungen.
Die Abbildung zeigt das mit runden Zahlen. Eine 9-V-Quelle speist 1 kΩ, 2 kΩ und 6 kΩ in Reihe. Der Gesamtwiderstand beträgt 9 kΩ, der Strom überall 1 mA. Die Teilspannungen sind 1 V, 2 V und 6 V, zusammen wieder 9 V. Das Voltmeter am 6-kΩ-Widerstand zeigt 6 V.
Für die Schaltung aus dem vorigen Abschnitt geht man so vor:
- Teilspannung an \(R_1\): \(U_1 = 12\,\text{V} \cdot 220\,\Omega / 600\,\Omega = 4{,}4\,\text{V}\).
- Teilspannung an \(R_2\): \(U_2 = 12\,\text{V} \cdot 380\,\Omega / 600\,\Omega = 7{,}6\,\text{V}\).
- Maschenregel prüfen: \(4{,}4\,\text{V} + 7{,}6\,\text{V} = 12\,\text{V}\).
Im Nenner steht der Gesamtwiderstand, nicht der andere Teilwiderstand. Das ist der häufigste Rechenfehler. Die Regel gilt außerdem nur für den unbelasteten Spannungsteiler, an dem kein Strom abgezweigt wird. Hängt man parallel zu einem Teilwiderstand einen Verbraucher an, sinkt der Widerstand dieses Teils und mit ihm seine Teilspannung. Man fasst dann das Parallelstück zu einem Ersatzwiderstand zusammen und wendet die Regel erneut an.
Ein Beispiel: Zwei 100-Ω-Widerstände an 12 V erhalten je 6 V. Ein dritter 100-Ω-Widerstand parallel zu \(R_2\) macht aus diesem Teil 50 Ω. Mit \(R_\text{ges} = 150\,\Omega\) folgt \(U_2 = 12\,\text{V} \cdot 50/150 = 4\,\text{V}\) und \(U_1 = 8\,\text{V}\).
Quiz
Aussage 1
Schaltet man einen Widerstand von 150 Ω mit einem von 50 Ω in Reihe, ist der Gesamtwiderstand größer als 150 Ω.
In Reihe addieren sich die Widerstände zu 200 Ω. Das Ergebnis liegt stets über dem größten Einzelwiderstand.
Aussage 2
Liegen \(R_1 = 1\,\text{k}\Omega\) und \(R_2 = 4\,\text{k}\Omega\) in Reihe an 10 V, zeigt ein ideales Voltmeter parallel zu \(R_2\) eine Spannung von 8 V.
Nach der Spannungsteilerregel gilt \(U_2 = 10\,\text{V} \cdot 4/5 = 8\,\text{V}\).
Aussage 3
Brennt in einer Reihenschaltung aus drei Glühlampen ein Faden durch, leuchten die beiden übrigen Lampen heller.
Der einzige Stromweg ist unterbrochen. Im ganzen Kreis fließt kein Strom, alle Lampen gehen aus.
Aussage 4
An zwei ungleich großen Reihenwiderständen fällt jeweils die halbe Gesamtspannung ab, weil beide denselben Strom führen.
Gleicher Strom bedeutet \(U_i = R_i \cdot I\). Die Teilspannungen verhalten sich daher wie die Widerstände, am größeren fällt mehr ab. Nur gleiche Widerstände teilen die Spannung in Hälften.
Aussage 5
In einer Reihenschaltung ist der Gesamtleitwert die Summe der Einzelleitwerte.
In Reihe addieren sich die Widerstände. Für die Leitwerte gilt deshalb \(1/G_\text{ges} = 1/G_1 + 1/G_2\).
Aussage 6
Wird bei konstanter Spannung zu einem Widerstand ein zweiter gleich großer in Reihe geschaltet, halbiert sich die Stromstärke.
Der Gesamtwiderstand verdoppelt sich. Nach \(I = U/R_\text{ges}\) sinkt der Strom auf die Hälfte.
Aussage 7
In einem Draht mit einer verengten Stelle fließt durch die dünne Stelle eine geringere Stromstärke als durch den dicken Teil.
Die Abschnitte liegen in Reihe, die Stromstärke ist überall gleich. An der dünnen Stelle ist nur die Stromdichte größer.
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