Kinetische Energie und Spannenergie
Wie man die Energie eines bewegten Körpers und einer gespannten Feder berechnet und wie Arbeit beim Beschleunigen und Bremsen in Bewegungsenergie übergeht.
Das Wichtigste in Kürze
- Die kinetische Energie der Translation eines geradlinig bewegten Körpers ist \(E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2\) mit der Einheit Joule (kg·m²/s²).
- Die kinetische Energie wächst linear mit der Masse und quadratisch mit der Geschwindigkeit: doppeltes \(v\) ergibt vierfache Energie.
- Kinetische Energie ist ein Skalar: Die Energien mehrerer Körper werden unabhängig von der Bewegungsrichtung addiert.
- Arbeit-Energie-Satz: \(F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2\). Gleiche Kraft über gleiche Strecke liefert gleiche Energie unabhängig von der Masse, der schwerere Körper braucht aber mehr Zeit und erhält mehr Impuls.
- Die Spannenergie einer Feder ist \(E = \frac{1}{2} D x^2\), im Energie-Dehnungs-Diagramm eine Parabel mit Scheitel im Ursprung.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Ein bewegter Körper kann Arbeit verrichten: Er treibt einen Nagel ins Holz oder verformt beim Aufprall ein Hindernis. Diese gespeicherte Arbeitsfähigkeit ist die kinetische Energie, ihr Gegenstück in einer gespannten Feder die Spannenergie. Beide Formeln brauchst du für jede Energiebilanz in der Mechanik, vom Bremsweg bis zum Stoß.
Kinetische Energie der Translation
Bewegt sich ein Körper geradlinig, ohne sich zu drehen, besitzt er kinetische Energie der Translation. Das gilt für einen gleitenden Klotz ebenso wie für einen fallenden Stein. Ein Hammer, der auf einen Nagel schlägt, überträgt seine kinetische Energie auf den Nagel.
\[E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(E_{kin}\) | kinetische Energie | J = kg·m²/s² |
| \(m\) | Masse des Körpers | kg |
| \(v\) | Geschwindigkeit | m/s |
Masse mal Geschwindigkeitsquadrat hat also die Dimension einer Energie: kg · (m/s)² = kg·m²/s² = N·m = J. Die Energie von Drehbewegungen behandelt die Einheit zur Rotationsenergie.
Proportionalitäten
Die Energie wächst linear mit der Masse, aber quadratisch mit der Geschwindigkeit. Doppelte Masse bedeutet doppelte Energie. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache, dreifache Geschwindigkeit neunfache Energie. Deshalb ist ein Aufprall bei hohem Tempo so viel zerstörerischer.
Auch eine fallende Kugel trifft mit einer Energie auf, die von ihrer Masse abhängt. Die Aufprallgeschwindigkeit liefert der freie Fall, danach setzt man in die Formel ein. Vergleicht man einen frei fallenden mit einem waagerecht geworfenen Körper, braucht man beide Massen und die horizontale Anfangsgeschwindigkeit. Fehlt eine dieser Angaben, lassen sich die Energien nicht vergleichen.
Der Ausdruck \(\sqrt{2gh}\) ist die Aufprallgeschwindigkeit nach der Fallhöhe \(h\), keine Energie. Erst \(\frac{1}{2} m v^2\) mit diesem \(v\) ergibt die kinetische Energie.
Mehrere Körper
Energie ist ein Skalar, sie hat keine Richtung. Die kinetischen Energien mehrerer Körper addieren sich deshalb einfach, auch wenn sie gegeneinander fliegen. Anders als beim Impuls heben sich entgegengesetzte Bewegungen nicht auf, denn \(v^2\) ist immer positiv.
\[E_{kin} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\]
Beispiel: Ein Wagen mit 2 kg fährt mit 3 m/s nach rechts, ein zweiter mit 1 kg mit 4 m/s nach links. Zusammen besitzen sie 9 J + 8 J = 17 J.
Rechnen mit Zehnerpotenzen
- Werte notieren: Ein Teilchen hat \(m = 2 \cdot 10^{-26}\) kg und \(v = 3 \cdot 10^{3}\) m/s.
- Quadrieren: \(v^2 = 9 \cdot 10^{6}\) m²/s². Die Hochzahl verdoppelt sich.
- Einsetzen: \(E_{kin} = 0{,}5 \cdot 2 \cdot 10^{-26} \cdot 9 \cdot 10^{6}\) J.
- Ergebnis: \(E_{kin} = 9 \cdot 10^{-20}\) J.
Ist statt \(v\) eine Strecke und eine Zeit bei konstanter Geschwindigkeit gegeben, rechnest du zuerst \(v = s/t\). Wird etwa ein Körper mit 5 kg in 2 s gleichmäßig um 4 m angehoben, ist \(v = 2\) m/s und \(E_{kin} = 10\) J.
Arbeit-Energie-Satz
Verrichtet eine Kraft an einem Körper Arbeit, ändert sich seine kinetische Energie genau um diesen Betrag. Das ist der Arbeit-Energie-Satz. Startet der Körper aus der Ruhe, gilt für die Beschleunigungsarbeit:
\[F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2\]
Beim Bremsen läuft der Vorgang rückwärts. Die Bremskraft verrichtet auf dem Bremsweg eine Arbeit, die der gesamten kinetischen Energie entspricht.
Gleiche Kraft, gleiche Strecke
Die Beschleunigungsarbeit \(W = F \cdot s\) enthält keine Masse. Zieht dieselbe Kraft zwei Körper reibungsfrei über dieselbe Strecke, erhalten beide dieselbe kinetische Energie. Der leichtere ist am Ende schneller, denn \(v = \sqrt{2Fs/m}\).
Der schwerere Körper wird wegen \(a = F/m\) langsamer beschleunigt. Er braucht für die Strecke daher mehr Zeit. Weil dieselbe Kraft länger wirkt, erhält er den größeren Impuls \(p = F \cdot t\). Arbeit und Energie sind also gleich, Zeit und Impuls nicht.
Bremskraft berechnen
- Einheiten prüfen: Ein Auto mit 1200 kg fährt 72 km/h. Das sind 72 : 3,6 = 20 m/s. Es bremst gleichmäßig auf 40 m.
- Energie berechnen: \(E_{kin} = 0{,}5 \cdot 1200 \cdot 20^2\) J = 240 000 J.
- Energiesatz ansetzen: \(F \cdot s = E_{kin}\), also \(F = E_{kin}/s\).
- Ergebnis: \(F = 240\,000 \text{ J} / 40 \text{ m} = 6000\) N.
Typische Fehler sind km/h ohne Umrechnung, das vergessene Quadrat und der fehlende Faktor ½. Bei doppelter Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg, wenn die Kraft gleich bleibt.
Spannenergie
Auch eine gedehnte Feder speichert Energie, die Spannenergie. Nach dem Hooke’schen Gesetz wächst die Federkraft linear mit der Dehnung: \(F = D \cdot x\). Die aufgewendete Arbeit ist die Fläche unter dieser Geraden, ein Dreieck mit dem Inhalt ½ · Grundseite · Höhe.
\[E = \frac{1}{2} D x^2\]
Hier ist \(D\) die Federkonstante in N/m und \(x\) die Dehnung in m. Die Energie wächst quadratisch mit der Dehnung. Doppelte Dehnung speichert also vierfache Energie.
Im Diagramm erkennst du die Spannenergie gegen die Dehnung an einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitel im Ursprung. Die Ursprungsgerade gehört dagegen zur Federkraft. Allgemein speichert jeder elastisch verformte Körper, etwa ein zusammengedrückter Gummiball, potentielle Energie als Deformationsenergie. Sie wird beim Entspannen wieder frei.
Quiz
Aussage 1
Beschleunigt dieselbe Kraft zwei Körper mit \(m\) und \(2m\) reibungsfrei über dieselbe Strecke, haben beide am Ende dieselbe kinetische Energie.
Die verrichtete Arbeit \(F \cdot s\) ist für beide gleich und geht vollständig in kinetische Energie über.
Aussage 2
Verdreifacht sich die Geschwindigkeit eines Körpers, steigt seine kinetische Energie auf das Neunfache.
Die Energie hängt von \(v^2\) ab, und \(3^2 = 9\).
Aussage 3
Der Ausdruck \(\sqrt{2gh}\) gibt die kinetische Energie eines Körpers nach dem Fall aus der Höhe \(h\) an.
\(\sqrt{2gh}\) ist die Aufprallgeschwindigkeit. Die Energie erhält man erst mit \(\frac{1}{2} m v^2\).
Aussage 4
Die Spannenergie einer Feder steigt linear mit der Dehnung, im Diagramm ergibt sich eine Ursprungsgerade.
Linear wächst die Federkraft. Die Spannenergie \(\frac{1}{2} D x^2\) wächst quadratisch und bildet eine Parabel mit Scheitel im Ursprung.
Aussage 5
Ein Auto mit 1000 kg und 10 m/s, das gleichmäßig auf 25 m zum Stehen kommt, erfährt eine Bremskraft von 2000 N.
\(E_{kin} = 0{,}5 \cdot 1000 \cdot 100\) J = 50 000 J. Geteilt durch 25 m ergibt das 2000 N.
Aussage 6
Zwei gleich schwere Körper, die mit gleicher Geschwindigkeit gegeneinander fliegen, haben zusammen die kinetische Energie null.
Energie ist ein Skalar. Die Einzelenergien addieren sich unabhängig von der Richtung, null wäre nur der Gesamtimpuls.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.