Energieumwandlung bei harmonischen Schwingungen
Wie sich bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung potentielle und kinetische Energie ineinander umwandeln und wie man die Energieverläufe in Diagrammen erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Schwingungsenergie ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines Oszillators; bei ungedämpfter Schwingung ist sie konstant, beim Federpendel \(W = \frac{1}{2} D \hat{y}^2\).
- In beiden Umkehrpunkten ist \(W_k = 0\) und \(W_p\) maximal; die gesamte Energie liegt als Spannenergie vor.
- In der Ruhelage ist \(W_p = 0\) und die gesamte Energie liegt als kinetische Energie vor.
- Potentielle und kinetische Energie wechseln gegenphasig zwischen null und \(W\) und sind nie negativ, weil \(y\) und \(v\) quadriert eingehen.
- Mit \(W_p = \frac{1}{2} D y^2\) verläuft \(W_p(t)\) bei sinusförmiger Auslenkung sinus²-förmig mit doppelter Frequenz und glatten Minima bei null.
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Worum es geht
Ein schwingendes Federpendel tauscht ständig Spannenergie der Feder gegen Bewegungsenergie der Masse. Wer diesen Tausch versteht, kann Energiezustände an jedem Punkt der Schwingung angeben und Energie-Zeit-Diagramme sicher deuten. Dasselbe Modell beschreibt auch harmonische Molekülschwingungen, mit denen man in der pharmazeutischen Analytik arbeitet.
Energieerhaltung
Ein Federpendel besteht aus einer Masse \(m\) an einer Feder mit der Federkonstante \(D\). Lenkt man die Masse aus und lässt sie los, schwingt sie um die Ruhelage. Ohne Reibung und Luftwiderstand geht dabei keine Energie verloren. Man spricht von einer ungedämpften oder verlustfreien Schwingung.
Nach dem Energieerhaltungssatz bleibt dann die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zeitlich konstant. An jedem Punkt der Bahn hat das Pendel also dieselbe Gesamtenergie. Nur ihre Aufteilung auf die beiden Formen ändert sich.
Die Schwingungsenergie \(W\) ist die Summe \(W = W_p + W_k\) aus potentieller und kinetischer Energie eines Oszillators. Beim ungedämpften Federpendel ist sie konstant und beträgt \(W = \frac{1}{2} D \hat{y}^2\) mit der Amplitude \(\hat{y}\).
Mit Dämpfung nimmt \(W\) dagegen ab, und die Amplitude klingt ab. Das behandelt die Einheit Gedämpfte und erzwungene Schwingungen.
Periodischer Energiewechsel
Die konstante Gesamtenergie pendelt zwischen zwei Speichern hin und her. Die potentielle Energie steckt beim Federpendel als Spannenergie in der gedehnten oder gestauchten Feder. Die kinetische Energie steckt in der Bewegung der Masse. Man kann sich das wie zwei verbundene Gefäße vorstellen: Was das eine verliert, gewinnt das andere.
Umkehrpunkte
In den Umkehrpunkten ist die Auslenkung maximal, also \(y = +\hat{y}\) oder \(y = -\hat{y}\). Dort kehrt die Masse um und steht für einen Moment still. Die kinetische Energie ist deshalb null. Die Feder ist maximal gespannt, die potentielle Energie also maximal. Die gesamte Schwingungsenergie liegt als potentielle Energie vor.
Das gilt für beide Umkehrpunkte gleichermaßen. Die Feder speichert nämlich bei Dehnung wie bei Stauchung Energie. Diese Zuordnung wird im Examen gerne gefragt: Im Umkehrpunkt ist \(W_p\) maximal und nicht minimal, während \(W_k = 0\) gilt.
Ruhelage
Beim Durchgang durch die Ruhelage (\(y = 0\)) ist die Feder entspannt. Die potentielle Energie ist hier am kleinsten, nämlich null. Dafür ist die Geschwindigkeit am größten. Die gesamte Schwingungsenergie liegt jetzt als kinetische Energie vor.
Zwischenlagen
Bei Zwischenauslenkungen ist die Energie auf beide Formen verteilt. Ein Teil steckt in der Feder, der Rest in der Bewegung. Daraus folgt: \(W_p\) und \(W_k\) sind nicht in jedem Augenblick gleich groß. Beide wechseln gegenphasig zwischen null und demselben Maximalwert \(W\). Ist die eine maximal, ist die andere null.
Zuordnung im Auslenkungs-Zeit-Diagramm
In einer Kurve \(y(t)\) lassen sich die Energiezustände direkt ablesen:
- Maxima und Minima suchen: Jeder Hoch- und jeder Tiefpunkt ist ein Umkehrpunkt. Dort gilt \(W_p = W\) und \(W_k = 0\).
- Nulldurchgänge suchen: Wo die Kurve die Zeitachse schneidet, gilt \(W_k = W\) und \(W_p = 0\). Die Kurve ist dort am steilsten, weil die Geschwindigkeit maximal ist.
- Dazwischen abschätzen: Je näher ein Punkt an einem Extremum liegt, desto größer ist der potentielle Anteil.
Zeitverlauf der Energien
Die potentielle Energie der Feder hängt quadratisch von der Auslenkung ab.
\[W_p = \frac{1}{2} D y^2\]
\(W_p\) potentielle Energie in J, \(D\) Federkonstante in N/m, \(y\) Auslenkung aus der Ruhelage in m.
Trägt man \(W_p\) gegen \(y\) auf, entsteht eine nach oben offene Parabel, das Parabelpotential. Die konstante Gesamtenergie \(W\) ist darin eine waagerechte Linie. Wo sie die Parabel schneidet, liegen die Umkehrpunkte \(\pm\hat{y}\). An jeder anderen Stelle ist der senkrechte Abstand zwischen Linie und Parabel die kinetische Energie. Beim senkrecht hängenden Federpendel gilt dasselbe Bild, wenn man die Gleichgewichtslage der hängenden Masse als Nullpunkt wählt.
Ein Zahlenbeispiel: Eine Feder mit \(D = 50\) N/m wird um \(\hat{y} = 4\) cm ausgelenkt.
\[W = \frac{1}{2} \cdot 50\ \mathrm{N/m} \cdot (0{,}04\ \mathrm{m})^2 = 0{,}04\ \mathrm{J}\]
Bei halber Auslenkung \(y = 2\) cm ist \(W_p = 0{,}01\) J, wegen des Quadrats also nur ein Viertel von \(W\). Die übrigen \(0{,}03\) J sind kinetische Energie. Gleich groß sind beide Anteile erst bei \(y = \hat{y}/\sqrt{2}\).
Warum die Energien nie negativ sind
Die Auslenkung wird abwechselnd positiv und negativ. In \(W_p\) geht sie aber quadriert ein. Auch \(W_k = \frac{1}{2} m v^2\) enthält das Quadrat der Geschwindigkeit. Beide Energien sind daher immer positiv oder null. Eine Energiekurve, die unter die Zeitachse taucht, ist falsch.
Doppelte Frequenz
Für \(y = \hat{y}\sin(\omega t)\) folgt \(W_p = W \sin^2(\omega t)\) und \(W_k = W \cos^2(\omega t)\). Wegen \(\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\omega t))\) schwingt \(W_p\) mit der doppelten Frequenz der Auslenkung. Anschaulich durchläuft das Pendel in einer Periode zwei Umkehrpunkte, und an beiden ist \(W_p\) maximal. Die Minima bei null sind glatte, abgerundete Täler und keine Spitzen.
Bezogen auf \(\omega t\) sind \(W_p\) und \(W_k\) um \(\frac{\pi}{2}\) gegeneinander verschoben. Für die Energiekurven selbst, die mit \(2\omega\) schwingen, ist das eine halbe Periode. Deshalb verlaufen sie genau gegenläufig, und ihre Summe bleibt die waagerechte Linie \(W\).
Dasselbe Muster zeigt jede harmonische Schwingung, etwa eine Molekülschwingung im Modell des harmonischen Oszillators. Bei der Auswahl eines Energie-Zeit-Diagramms prüfst du daher:
- Liegen beide Kurven vollständig oberhalb der Zeitachse?
- Hat jede Energiekurve doppelt so viele Maxima wie die Auslenkung?
- Liegen die Maxima von \(W_p\) an den Extrema von \(y\) und die von \(W_k\) an den Nulldurchgängen?
- Ergänzen sich beide überall zur konstanten Summe \(W\)?
Zu einer sinusförmigen Auslenkung gehört für \(W_p(t)\) eine sin²-Kurve: nie negativ, mit doppelter Frequenz und glatten Minima bei null. Achte darauf, dass \(W_k(t)\) als cos²-Kurve gegenläufig verläuft und die Summe überall \(W\) ergibt.
Quiz
Aussage 1
Beim Nulldurchgang eines ungedämpften Federpendels liegt die gesamte Schwingungsenergie als kinetische Energie vor.
In der Ruhelage ist die Feder entspannt (\(W_p = 0\)) und die Geschwindigkeit maximal.
Aussage 2
Beim ungedämpften Federpendel hat die Summe aus potentieller und kinetischer Energie an jedem Punkt der Schwingung denselben Wert.
Ohne Verluste gilt Energieerhaltung; nur die Aufteilung auf \(W_p\) und \(W_k\) ändert sich.
Aussage 3
Die potentielle Energie eines Federpendels erreicht in den Umkehrpunkten ihr Minimum.
In den Umkehrpunkten ist die Feder maximal gespannt, \(W_p\) ist dort maximal. Ihr Minimum (null) liegt in der Ruhelage.
Aussage 4
Schwingt die Auslenkung eines Federpendels mit der Frequenz \(f\), so schwingt seine potentielle Energie mit der Frequenz \(2f\).
\(W_p \propto \sin^2(\omega t)\) enthält \(\cos(2\omega t)\); pro Periode gibt es zwei Umkehrpunkte mit maximalem \(W_p\).
Aussage 5
Bei negativer Auslenkung nimmt die potentielle Energie des Federpendels negative Werte an.
Wegen \(W_p = \frac{1}{2} D y^2\) geht die Auslenkung quadriert ein; \(W_p\) ist immer positiv oder null.
Aussage 6
In beiden Umkehrpunkten eines Federpendels, oben wie unten, ist die kinetische Energie null.
Die Masse kehrt dort um und steht kurz still; die gesamte Energie steckt in der Feder.
Aussage 7
Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung sind potentielle und kinetische Energie in jedem Augenblick gleich groß.
Beide wechseln gegenphasig zwischen null und \(W\); gleich groß sind sie nur bei \(y = \hat{y}/\sqrt{2}\).
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