Elastische und unelastische Stöße
Wie Impuls und kinetische Energie bei elastischen, teilelastischen und vollständig unelastischen Stößen bilanziert werden und wie man Geschwindigkeiten nach zentralen Stößen berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Stoß ist eine kurze Wechselwirkung zweier Körper, beim zentralen Stoß liegen Geschwindigkeiten und Stoßkraft auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte.
- Der Gesamtimpuls bleibt bei elastischen, teilelastischen und vollständig unelastischen Stößen erhalten.
- Die kinetische Energie bleibt nur beim elastischen Stoß erhalten, sonst wird ein Teil in Verformungsenergie und Wärme umgewandelt.
- Beim vollständig unelastischen Stoß haften die Körper und bewegen sich mit gemeinsamer Geschwindigkeit: \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\, v'\).
- Beim zentralen elastischen Stoß gleicher Massen übernimmt ein ruhender Partner die volle Geschwindigkeit \(v\), entgegengesetzt gleich schnelle Körper kehren um.
- Bei senkrechter elastischer Reflexion ändert sich der Teilchenimpuls um \(-2mv\), die Wand erhält \(+2mv\).
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Worum es geht
Bei einem Stoß tauschen zwei Körper in kürzester Zeit Impuls und oft auch Energie aus. Mit der Impuls- und der Energiebilanz lässt sich vorhersagen, wie schnell sich die Körper danach bewegen. In der Pharmazie begegnet dir das Prinzip vor allem bei Gasteilchen, deren Stöße auf die Gefäßwand den Gasdruck erzeugen.
Stoßvorgänge
Ein Stoß ist eine kurze, heftige Wechselwirkung zweier Körper. Während der Berührung wirken große Kräfte, aber nur für Sekundenbruchteile. Äußere Kräfte wie Reibung oder Gewichtskraft fallen in dieser kurzen Zeit kaum ins Gewicht. Die beiden Stoßpartner bilden deshalb näherungsweise ein abgeschlossenes System.
Bei einem zentralen Stoß liegen beide Geschwindigkeiten und die Stoßkraft auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte. Die Bewegung bleibt dann eindimensional. Man legt eine positive Richtung fest und rechnet mit Vorzeichen statt mit Vektoren. Treffen sich die Körper versetzt, ist der Stoß schief, und sie fliegen seitlich auseinander.
Nach dem Verhalten der kinetischen Energie unterscheidet man drei Stoßarten. Die Begriffe „unelastisch“ und „inelastisch“ bedeuten dasselbe.
| Stoßart | Kinetische Energie | Verformung | Nach dem Stoß |
|---|---|---|---|
| Elastischer Stoß | bleibt erhalten | keine bleibende | Körper trennen sich |
| Teilelastischer Stoß | nimmt ab | teilweise bleibend | Körper trennen sich |
| Vollständig unelastischer Stoß | nimmt am stärksten ab | bleibend | Körper haften, gemeinsame Geschwindigkeit |
Impuls- und Energiebilanz
Der Impulserhaltungssatz gilt für jede Stoßart. Der Grund liegt im Wechselwirkungsprinzip: Die Kräfte zwischen den Partnern sind gleich groß und entgegengesetzt. Was der eine Körper an Impuls verliert, gewinnt der andere. Für den zentralen Stoß lautet die Bilanz:
\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'\]
Ungestrichene Größen gelten vor, gestrichene nach dem Stoß. Für die kinetische Energie \(E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} m v^2\) gilt kein solcher Satz für alle Stoßarten. Nur beim elastischen Stoß ist ihre Summe nachher so groß wie vorher. Beim teilelastischen Stoß ist sie danach kleiner, beim vollständig unelastischen am kleinsten.
Die fehlende Energie ist nicht verschwunden. Sie steckt in Verformungsenergie und Wärme: Die Körper werden deformiert, und das Material erwärmt sich. Man kann sich zwei Knetkugeln vorstellen, die zusammenklatschen und platt aneinander kleben. Beim vollkommen elastischen Stoß federn die Körper dagegen vollständig zurück und bleiben unverformt.
Wird im Examen gerne gefragt: Der Gesamtimpuls bleibt bei jeder Stoßart erhalten, auch beim vollständig unelastischen Stoß. Erhalten bleibt die kinetische Energie nur beim elastischen Stoß, beim teil- und vollständig unelastischen nimmt sie ab.
Endgeschwindigkeiten prüfen
Ob ein angegebenes Geschwindigkeitspaar nach einem Stoß möglich ist, prüfst du mit beiden Bilanzen. Beispiel: Eine Kugel mit \(m_1 = 2\) kg und \(v_1 = 3\) m/s trifft zentral eine ruhende Kugel mit \(m_2 = 1\) kg.
- Impuls vorher: \(p = m_1 v_1\) = 2 kg · 3 m/s = 6 kg·m/s.
- Energie vorher: \(E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2\) J = 9 J.
- Paar einsetzen: Für jedes Paar \(v_1'\), \(v_2'\) Impuls und Energie nachher berechnen.
- Bewerten: Der Impuls muss genau 6 kg·m/s ergeben. Die Energie darf 9 J nicht überschreiten.
| \(v_1'\) in m/s | \(v_2'\) in m/s | Impuls in kg·m/s | \(E_{\mathrm{kin}}\) in J | Urteil |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 6 | 6 | möglich, vollständig unelastisch |
| 1,5 | 3 | 6 | 6,75 | möglich, teilelastisch |
| 1 | 4 | 6 | 9 | möglich, elastisch |
| 0 | 6 | 6 | 18 | unmöglich, Energie wächst |
| 1 | 1 | 3 | 1,5 | unmöglich, Impuls fehlt |
Läuft ein Körper nach dem Stoß zurück, ist seine Geschwindigkeit negativ, und sein Impuls zählt mit Minus. In der Energie steht \(v^2\), daher ist jeder Energiebeitrag positiv. Wer Impulse nur als Beträge addiert, erhält falsche Bilanzen.
Vollständig unelastischer Stoß
Beim vollständig unelastischen Stoß haften die Körper nach dem Stoß aneinander. Sie bewegen sich mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit \(v'\) weiter. Dieses Haften ist das Erkennungsmerkmal des Stoßtyps. Aus der Impulsbilanz wird so eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\, v'\]
Ruht der zweite Körper (\(v_2 = 0\)), bleibt \(m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\, v'\).
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(m_1\), \(m_2\) | Massen der Stoßpartner | kg |
| \(v_1\), \(v_2\) | Geschwindigkeiten vor dem Stoß, vorzeichenrichtig | m/s |
| \(v'\) | gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß | m/s |
Der gestoßene Körper bremst den stoßenden, bis beide gleich schnell sind. Der gemeinsam bewegte Körper trägt danach den ganzen Impuls des stoßenden. Die Endgeschwindigkeit ist proportional zur Anfangsgeschwindigkeit: doppelte \(v_1\), doppelte \(v'\). Je schwerer der ruhende Partner, desto kleiner wird \(v'\).
- Gleiche Massen, Partner ruht: \(v' = v_1/2\). Die Hälfte der kinetischen Energie geht verloren.
- Gleiche Massen, entgegengesetzt gleich schnell: Der Gesamtimpuls ist null, also ruhen beide danach. Die gesamte kinetische Energie wird zu Verformung und Wärme.
- Sehr schwerer ruhender Partner: \(v'\) geht gegen null.
Die Gleichung lässt sich in beide Richtungen nutzen. Vorwärts: Ein Wagen von 3 kg mit 4 m/s koppelt an einen ruhenden Wagen von 1 kg. Dann gilt \(v'\) = 12 kg·m/s / 4 kg = 3 m/s. Rückwärts schließt man aus \(v'\) auf die Aufprallgeschwindigkeit. Dieses Umstellen nach \(v'\) oder nach \(v_1\) ist besonders prüfungsrelevant, und dabei musst du Gramm sicher in Kilogramm umrechnen.
Rechenbeispiel: Geschoss im Holzklotz
Ein Geschoss von 8 g schlägt in einen ruhenden Holzklotz von 1,992 kg ein und bleibt stecken. Klotz und Geschoss bewegen sich danach mit 2,0 m/s. Gesucht ist die Geschossgeschwindigkeit \(v_1\).
- Einheiten: \(m_G\) = 8 g = 0,008 kg. Gesamtmasse \(m_G + m_H\) = 2,000 kg.
- Impuls nachher: \(p\) = 2,000 kg · 2,0 m/s = 4,0 kg·m/s.
- Impulserhaltung: Vorher trug allein das Geschoss diesen Impuls, also \(m_G v_1\) = 4,0 kg·m/s.
- Auflösen: \(v_1\) = 4,0 kg·m/s / 0,008 kg = 500 m/s.
Mit einem aufgehängten Sandsack statt des Klotzes rechnet man genauso. Die Energiebilanz zeigt den Verlust deutlich: Das Geschoss bringt 1000 J mit, nach dem Stoß bleiben nur 4 J Bewegungsenergie.
Elastischer Stoß
Beim elastischen Stoß bleiben Impuls und kinetische Energie erhalten. Die Körper verformen sich nur kurz und federn vollständig zurück. Stahlkugeln oder Billardkugeln kommen diesem Ideal nahe. Für den zentralen Stoß gleicher Massen liefern beide Bilanzen ein einfaches Ergebnis.
Vorher \(v\) und \(0\), nachher \(0\) und \(v\). Die stoßende Kugel bleibt stehen, die gestoßene übernimmt die volle Geschwindigkeit \(v\).
Vorher \(+v\) und \(-v\), nachher \(-v\) und \(+v\). Beide kehren ihre Richtung um. Jeder Körper behält seinen Geschwindigkeitsbetrag und seine kinetische Energie.
Am Kugelstoßpendel sieht man den ersten Fall: Die erste Kugel schlägt an und bleibt liegen, die letzte fliegt weg.
Zentraler elastischer Stoß gleicher Massen: Die beiden Körper tauschen ihre Geschwindigkeiten.
Reflexion an einer Wand
Eine Wand ist ein Stoßpartner mit praktisch unendlicher Masse. Ein Teilchen, das senkrecht und elastisch auf sie trifft, kehrt mit gleichem Betrag um. Aus \(+mv\) wird \(-mv\). Seine Impulsänderung beträgt:
\[\Delta p_{\text{Teilchen}} = p_{\text{nachher}} - p_{\text{vorher}} = (-mv) - (+mv) = -2mv\]
Nach der Impulserhaltung erhält die Wand den entgegengesetzt gleichen Impuls:
\[\Delta \vec{p}_{\text{Wand}} = -(\vec{p}_{\text{nachher}} - \vec{p}_{\text{vorher}}) = +2m\vec{v}\]
Ein Ball von 0,2 kg, der mit 5 m/s senkrecht abprallt, überträgt also 2 kg·m/s auf die Wand. Ein typischer Fehler ist, nur \(mv\) anzusetzen. Das wäre der Übertrag, wenn das Teilchen an der Wand kleben bliebe. Die Wand bewegt sich wegen ihrer großen Masse kaum und nimmt praktisch keine Energie auf. Viele solcher Impulsüberträge von Gasteilchen ergeben den Gasdruck.
Quiz
Aussage 1
Prallt ein Teilchen der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) senkrecht und elastisch von einer Wand ab, erhält die Wand den Impuls \(mv\).
Der Teilchenimpuls ändert sich von \(+mv\) auf \(-mv\), also um \(-2mv\). Die Wand erhält daher \(+2mv\).
Aussage 2
Bei einem teilelastischen Stoß haben die Körper nach dem Stoß zusammen dieselbe kinetische Energie wie vorher.
Beim teilelastischen Stoß ist die kinetische Energie danach kleiner, weil ein Teil in Verformungsenergie und Wärme übergeht. Gleich bleibt sie nur beim elastischen Stoß.
Aussage 3
Ein Wagen von 2 kg mit 6 m/s koppelt an einen ruhenden Wagen von 1 kg an. Danach fahren beide mit 4 m/s weiter.
Aus \(m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\, v'\) folgt \(v'\) = 12 kg·m/s / 3 kg = 4 m/s.
Aussage 4
Trifft eine Kugel zentral und elastisch auf eine ruhende Kugel gleicher Masse, bewegen sich danach beide mit der halben Anfangsgeschwindigkeit weiter.
Beim elastischen Stoß bleibt die stoßende Kugel stehen, und die gestoßene übernimmt die volle Geschwindigkeit \(v\). Die halbe Geschwindigkeit gemeinsam ergibt sich beim vollständig unelastischen Stoß.
Aussage 5
Stoßen zwei gleich schwere Körper mit entgegengesetzt gleich großen Geschwindigkeiten vollständig unelastisch zusammen, ruhen sie danach.
Der Gesamtimpuls ist vor dem Stoß null, also muss auch die gemeinsame Geschwindigkeit danach null sein.
Aussage 6
Haften zwei Körper nach dem Zusammenprall aneinander und bewegen sich gemeinsam weiter, handelt es sich um einen elastischen Stoß.
Das gemeinsame Weiterbewegen mit einer Geschwindigkeit kennzeichnet den vollständig unelastischen Stoß.
Aussage 7
Auch beim vollständig unelastischen Stoß zweier kräftefreier Körper ist der Gesamtimpuls nach dem Stoß so groß wie vorher.
Der Impulserhaltungssatz gilt für jede Stoßart. Beim unelastischen Stoß geht nur kinetische Energie verloren.
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