Isochore Zustandsänderung und Zustandsdiagramme
Das Gesetz von Amontons beschreibt, wie der Druck eines idealen Gases bei konstantem Volumen mit der absoluten Temperatur steigt und wie man Isochoren und die anderen Gasgesetze in Zustandsdiagrammen erkennt.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Gesetz von Amontons beschreibt die isochore Zustandsänderung: Bei konstantem \(V\) und \(n\) ist der Druck eines idealen Gases proportional zur absoluten Temperatur, \(p_1/T_1 = p_2/T_2\).
- Isochore Wärmezufuhr erhöht Druck und Temperatur, das Gas verrichtet dabei keine Volumenarbeit.
- Gerechnet wird mit \(p_2 = p_1 \cdot T_2/T_1\) und \(T_2 = T_1 \cdot p_2/p_1\), Temperaturen immer in Kelvin; für doppelten Druck verdoppelt sich die Kelvin-Temperatur.
- Die Isochore ist im p-T-Diagramm eine Ursprungsgerade mit Steigung \(nR/V\) und im p-V-Diagramm eine senkrechte Linie.
- Auf der p-V-T-Fläche sind Linien konstanten Volumens Isochoren und Linien konstanter Temperatur Isothermen; Adiabaten sind keine Linien einer konstanten Größe.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Wird ein Gas in einem starren Gefäß erwärmt, steigt sein Druck. Das gilt etwa für eine verschlossene Spraydose im heißen Auto. Diese isochore Zustandsänderung ergänzt Isotherme und Isobare zu den drei einfachen Gasgesetzen, die man rechnen und in Diagrammen ablesen können muss.
Gesetz von Amontons
Hält man Volumen und Stoffmenge eines idealen Gases fest, bleibt von der allgemeinen Gasgleichung \(pV = nRT\) nur eine Beziehung zwischen Druck und Temperatur übrig. Das ist das Gesetz von Amontons. Eine Zustandsänderung bei konstantem Volumen heißt isochor. Ihre Kurve im Diagramm heißt Isochore.
\[\frac{p}{T} = \frac{nR}{V} = \text{const} \quad\Rightarrow\quad \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p\) | Druck des Gases | Pa (oder bar) |
| \(T\) | absolute Temperatur | K |
| \(n\) | Stoffmenge, konstant | mol |
| \(R\) | Gaskonstante, 8,314 | J/(mol·K) |
| \(V\) | Volumen, konstant | m³ |
| Index 1, 2 | Anfangs- und Endzustand | – |
Was physikalisch passiert
Erwärmt man ein Gas in einem starren Gefäß, bewegen sich die Teilchen schneller. Sie treffen häufiger und heftiger auf die Wand. Ausweichen kann das Gas nicht, also steigt der Druck. Isochore Wärmezufuhr erhöht deshalb Druck und Temperatur zugleich.
Da sich das Volumen nicht ändert, verrichtet das Gas dabei keine Volumenarbeit. Die vollständige Energiebilanz folgt bei den isochoren, isobaren und isothermen Prozessen.
Proportionalität und Grenzfall
Der Druck ist proportional zur absoluten Temperatur: doppelte Kelvin-Temperatur, doppelter Druck. Halbiert man \(T\), halbiert sich auch \(p\). Verlängert man die Gerade nach unten, erreicht sie \(p = 0\) am absoluten Nullpunkt bei \(T = 0\) K. Reale Gase verflüssigen sich vorher, diese Extrapolation gilt also nur im Modell.
Der Anstieg ist linear. Eine fallende Hyperbel beschreibt dagegen \(p \sim 1/V\) bei der Isotherme nach Boyle-Mariotte. Mit der Temperatur hat sie nichts zu tun.
Das Gesetz von Amontons ist ein Examensklassiker: Bei konstantem \(V\) und \(n\) gilt \(p \sim T\), und zwar nur mit \(T\) in Kelvin. Der Druck steigt linear mit der Temperatur und sinkt bei Erwärmung nie.
Isochoren-Rechnungen
Für Rechnungen stellt man \(p_1/T_1 = p_2/T_2\) nach der gesuchten Größe um. Drei Formen genügen:
- Enddruck: \(p_2 = p_1 \cdot T_2/T_1\)
- Endtemperatur: \(T_2 = T_1 \cdot p_2/p_1\)
- Temperaturanstieg aus dem relativen Druckanstieg: \(\Delta T = T_1 \cdot \Delta p/p_1\)
Die letzte Form folgt direkt aus der Proportionalität. Steigt der Druck um 15 %, steigt auch die Kelvin-Temperatur um 15 %. Aufgaben zu Druckverdopplung oder prozentualem Druckanstieg werden im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist dabei immer, Celsius-Werte zuerst in Kelvin umzurechnen.
Beispiel: Enddruck
Ein starrer Behälter enthält Stickstoff bei 2,0 bar und 17 °C. Er wird auf 75 °C erwärmt.
- In Kelvin umrechnen: \(T_1 = 17 + 273 = 290\) K und \(T_2 = 75 + 273 = 348\) K.
- Formel ansetzen: \(p_2 = p_1 \cdot T_2/T_1 = 2{,}0\ \text{bar} \cdot 348/290\).
- Ausrechnen: \(348/290 = 1{,}2\), also \(p_2 = 2{,}4\) bar.
- Plausibel prüfen: Das Gas wurde erwärmt, der Druck ist gestiegen. Das passt.
Druckverdopplung und prozentualer Anstieg
Wie heiß muss ein Gas von 27 °C werden, damit sich sein Druck verdoppelt? Mit \(T_1 = 300\) K folgt \(T_2 = 2 \cdot 300\ \text{K} = 600\) K. Das sind 327 °C und nicht etwa 54 °C.
Ein anderes Gas hat 7 °C, also 280 K. Sein Druck soll isochor um 15 % steigen. Dann gilt \(\Delta T = 280\ \text{K} \cdot 0{,}15 = 42\) K. Die Endtemperatur liegt bei 322 K, also 49 °C.
Mit Celsius-Werten in der Formel erhält man falsche Ergebnisse, denn die Proportionalität beginnt am absoluten Nullpunkt. Nur Temperaturdifferenzen sind in K und °C gleich groß: 42 K Anstieg entsprechen 42 °C.
Die Druckeinheit kürzt sich heraus. Man darf in bar, hPa oder Pa rechnen, solange beide Drücke dieselbe Einheit haben. Ein weiterer häufiger Fehler ist der Kehrwert. Wer \(T_1/T_2\) statt \(T_2/T_1\) einsetzt, erhält bei Erwärmung einen sinkenden Druck.
Isochore in Diagrammen
Im p-T-Diagramm trägt man den Druck über der absoluten Temperatur auf. Die Isochore ist dort eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(nR/V\). Je kleiner das Volumen, desto steiler die Gerade. Dieselben Teilchen drängen sich auf engerem Raum und erzeugen bei gleicher Temperatur mehr Druck.
Im p-V-Diagramm bleibt der Wert auf der V-Achse fest. Der Zustand wandert deshalb senkrecht nach oben oder unten. Ein Pfeil nach oben bedeutet Erwärmung mit Druckanstieg. Er führt von einer kälteren zu einer wärmeren Isotherme. Ein Pfeil nach unten bedeutet Abkühlung mit Druckabfall.
Zum Erkennen genügt eine Frage: Ändert sich entlang der Linie das Volumen? Steht die Linie im p-V-Diagramm senkrecht, lautet die Antwort nein, und die Änderung ist isochor. Daraus folgt sofort: Das Gas verrichtet keine Volumenarbeit, und Druck und Temperatur ändern sich in dieselbe Richtung.
Zustandsdiagramme im Vergleich
Die Gasgleichung verknüpft drei Größen. Trägt man \(p\), \(V\) und \(T\) auf drei Achsen auf, bilden alle möglichen Zustände eines idealen Gases eine gewölbte Fläche, die p-V-T-Fläche. Jeder Gleichgewichtszustand liegt auf ihr. Jede Zustandsänderung ist ein Weg auf dieser Fläche.
Schneidet man die Fläche bei festem Wert einer Größe, erhält man die Kurvenscharen der Gasgesetze. Linien konstanter Temperatur sind Isothermen. Sie erscheinen in der p-V-Ebene als gekrümmte Hyperbeln. Linien konstanten Volumens sind Isochoren. Sie verlaufen gerade, weil \(p\) linear von \(T\) abhängt. Linien konstanten Drucks sind die Isobaren nach Gay-Lussac.
Eine Adiabate liegt zwar auch auf der Fläche. Sie ist aber keine Linie einer konstanten Zustandsgröße, denn \(p\), \(V\) und \(T\) ändern sich gleichzeitig. Das Liniennetz und die Randlinien der Fläche bestehen deshalb aus Isothermen und Isochoren, gegebenenfalls ergänzt durch Isobaren.
Projektionen in die drei Ebenen
Projiziert man die Kurven in die Ebenen, entstehen die bekannten Diagramme. Die erste Größe steht jeweils auf der senkrechten Achse.
| Zustandsänderung | konstant | p-V-Diagramm | p-T-Diagramm | V-T-Diagramm |
|---|---|---|---|---|
| isochor | \(V\) | senkrechte Gerade | Ursprungsgerade | waagerechte Gerade |
| isobar | \(p\) | waagerechte Gerade | waagerechte Gerade | Ursprungsgerade |
| isotherm | \(T\) | Hyperbel | senkrechte Gerade | senkrechte Gerade |
So prüft man eine skizzierte Kurve: Zuerst die Achsen lesen, dann fragen, welche Größe konstant bleibt. Eine Ursprungsgerade zeigt Proportionalität zweier Größen. Eine Hyperbel im p-V-Diagramm zeigt \(p \sim 1/V\). Eine Skizze, in der bei konstantem Volumen der Druck mit steigender Temperatur fällt, ist falsch.
Bleibt die Größe auf einer Achse konstant, steht die Linie senkrecht zu dieser Achse. Ändern sich beide Achsengrößen, ist die Kurve eine Ursprungsgerade oder im p-V-Diagramm eine Hyperbel.
Quiz
Aussage 1
Ein senkrechter Pfeil im p-V-Diagramm steht für eine isobare Zustandsänderung.
Senkrecht heißt: \(V\) bleibt konstant. Die Änderung ist isochor, eine Isobare verläuft im p-V-Diagramm waagerecht.
Aussage 2
Steigt der Druck eines idealen Gases isochor um 10 %, steigt seine absolute Temperatur ebenfalls um 10 %.
Aus \(p \sim T\) folgt \(\Delta T/T_1 = \Delta p/p_1\).
Aussage 3
Damit sich der Druck eines idealen Gases von 0 °C bei konstantem Volumen verdoppelt, muss es auf 273 °C erwärmt werden.
\(T_1 = 273\) K, also \(T_2 = 546\) K. Das entspricht 273 °C.
Aussage 4
Auf der p-V-T-Fläche des idealen Gases sind die Linien konstanten Volumens Adiabaten.
Linien konstanten Volumens sind Isochoren mit linearem Verlauf von \(p\) über \(T\). Bei einer Adiabate ändern sich alle drei Größen.
Aussage 5
Steigt bei konstantem Volumen die Temperatur eines idealen Gases von 20 °C auf 40 °C, verdoppelt sich sein Druck.
Die Proportionalität gilt nur für die absolute Temperatur. Von 293 K auf 313 K steigt der Druck nur um etwa 7 %.
Aussage 6
Führt man einem idealen Gas bei konstantem Volumen Wärme zu, steigen Druck und Temperatur.
Die Teilchen werden schneller und treffen häufiger und heftiger auf die Wand, das Volumen bleibt gleich.
Aussage 7
Im p-T-Diagramm verläuft eine Isochore als Ursprungsgerade, die umso steiler ist, je kleiner das Volumen ist.
Die Steigung beträgt \(nR/V\) und wächst daher mit abnehmendem Volumen.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.