Gemischte Widerstandsschaltungen berechnen
Wie man Gesamtwiderstände gemischter Schaltungen schrittweise berechnet, Extremwerte findet und daraus Ströme und Leistungen bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Ersatzwiderstand ersetzt eine Widerstandsgruppe so, dass an gleicher Spannung derselbe Strom fließt; gemischte Schaltungen fasst man damit schrittweise zusammen.
- Die Reihenschaltung aller Widerstände ergibt den größten, die Parallelschaltung aller den kleinsten Gesamtwiderstand, bei \(n\) gleichen also \(nR\) bzw. \(R/n\).
- Bei drei verschiedenen Widerständen ist der Gesamtwiderstand am größten, wenn der größte in Reihe liegt, und am kleinsten mit dem kleinsten in Reihe.
- Drei gleiche Widerstände in Reihe parallel zu einem vierten ergeben \(\frac{3}{4}R\), der Sechseckring zwischen Nachbarknoten \(\frac{5}{6}R\).
- Der Gesamtstrom folgt aus \(I = U/R_{ges}\); ein Kondensatorzweig ist an Gleichspannung stationär stromlos.
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Worum es geht
Reale Schaltungen bestehen selten nur aus einer Reihe oder nur aus parallelen Zweigen. Man zerlegt sie in diese beiden Grundformen und fasst sie Schritt für Schritt zusammen. So lassen sich Gesamtwiderstand, Strom und Leistung jedes Netzwerks berechnen, vom Messgerät bis zum Vorwiderstand einer Lampe.
Extremwerte des Gesamtwiderstands
Aus denselben Widerständen lassen sich ganz unterschiedliche Gesamtwiderstände bauen. Die Grenzen folgen direkt aus den beiden Grundschaltungen. In der Reihenschaltung addieren sich alle Widerstände, weil der Strom jeden einzelnen durchlaufen muss. Das ergibt den größtmöglichen Gesamtwiderstand.
In der Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte. Jeder Zweig öffnet dem Strom einen zusätzlichen Weg. Das ergibt den kleinstmöglichen Gesamtwiderstand, der sogar unter dem kleinsten Einzelwiderstand liegt. Jede gemischte Anordnung liegt zwischen diesen beiden Werten.
\(n\) gleiche Widerstände \(R\) ergeben in Reihe das Maximum \(nR\) und parallel das Minimum \(R/n\). Drei gleiche liegen also zwischen \(R/3\) und \(3R\), vier zwischen \(R/4\) und \(4R\).
Bei drei verschiedenen Widerständen in gemischter Schaltung liegt einer in Reihe zum Parallelpaar der beiden anderen. Der Reihenwiderstand geht voll ein, das Paar nur verkleinert. Deshalb ist der Gesamtwiderstand am größten, wenn der größte Widerstand in Reihe liegt, und am kleinsten, wenn der kleinste dort liegt. Diese Regel solltest du sicher können. Beispiel mit 10 Ω, 20 Ω und 40 Ω: Liegt 40 Ω in Reihe, ergibt das 40 Ω + 6,7 Ω = 46,7 Ω. Liegt 10 Ω in Reihe, sind es nur 10 Ω + 13,3 Ω = 23,3 Ω.
Schrittweises Zusammenfassen
Gemischte Schaltungen löst man von innen nach außen. Man sucht eine Gruppe, die eindeutig in Reihe oder eindeutig parallel liegt. Diese ersetzt man durch einen einzigen Widerstand und wiederholt das, bis nur noch einer übrig ist.
Der Widerstand, der an derselben Spannung denselben Strom aufnimmt wie die Gruppe, die er ersetzt. Nach außen verhält sich die Schaltung unverändert.
- Gruppe erkennen: In Reihe fließt derselbe Strom ohne Abzweig. Parallel liegen beide Enden an denselben Knoten.
- Reihe zusammenfassen: \(R = R_1 + R_2 + \dots\)
- Parallel zusammenfassen: \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots\), für zwei Widerstände kurz \(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\).
- Wiederholen: bis ein einziger Ersatzwiderstand bleibt.
Ein Beispiel aus vier Widerständen: Zwei parallele 60-Ω-Widerstände ergeben 30 Ω. Dieser Ersatz liegt mit 20 Ω und 50 Ω in Reihe. Der Gesamtwiderstand beträgt also 100 Ω.
Sehr häufig liegt ein Einzelwiderstand parallel zu einer Reihe. Drei gleiche Widerstände in Reihe parallel zu einem vierten ergeben \(\frac{3R \cdot R}{4R} = \frac{3}{4}R\). Zwei in Reihe parallel zu einem dritten ergeben \(\frac{2}{3}R\).
Ein Widerstandsring sieht kompliziert aus, ist aber dieselbe Grundform. Zwischen zwei benachbarten Knoten eines Sechsecks aus sechs gleichen Widerständen gibt es zwei Wege. Der direkte führt über \(R\), der andere über die übrigen fünf in Reihe. Parallel ergibt das \(\frac{5R \cdot R}{6R} = \frac{5}{6}R\).
Auch Teilspannungen folgen aus dem Ersatzwiderstand. Beispiel: 30 Ω liegen parallel zu einer Reihe aus 10 Ω und 20 Ω, der Gesamtstrom beträgt 0,4 A. Der Ersatzwiderstand ist 15 Ω, also liegen \(U = I \cdot R_{ges} = 6\) V am Einzelwiderstand. Durch die Reihe fließen 6 V / 30 Ω = 0,2 A. An 10 Ω fallen damit 2 V ab, an 20 Ω 4 V.
Gemischte Schaltungen gleicher Widerstände werden im Examen gerne gefragt, etwa \(\frac{3}{4}R\) oder der Ring mit \(\frac{5}{6}R\). Achte bei Parallelteilen darauf, am Ende wieder den Kehrwert zu bilden.
Ströme in Netzwerken
Steht der Ersatzwiderstand fest, liefert das Ohm’sche Gesetz den Gesamtstrom: \(I = U/R_{ges}\). Diesen Strom zeigt ein Amperemeter in der Zuleitung an. Ein geschlossener Schalter fügt einen Parallelzweig hinzu, der Ersatzwiderstand sinkt und der Strom steigt. Bei offenem Schalter rechnet man ohne diesen Zweig.
Ein ideales Amperemeter hat praktisch keinen Innenwiderstand. Parallel zu einem Widerstand schließt es diesen kurz. Der Strom wird dann nur noch vom Vorwiderstand begrenzt: \(I = U/R_V\).
Ein Kondensator an Gleichspannung lädt sich nur kurz auf. Danach ist sein Zweig stromlos und fällt samt Reihenwiderstand aus der Rechnung. In der Abbildung bleiben deshalb nur \(R_1\) und \(R_2\) in Reihe. Mit 30 Ω und 20 Ω fließen an 10 V stationär 0,2 A, gleich welchen Wert \(R_3\) hat.
Für Leistungen gilt P = U·I, an fester Spannung also \(P = U^2/R_{ges}\). Die Schaltung mit kleinerem Ersatzwiderstand zieht mehr Strom und mehr Leistung. Drei gleiche Widerstände parallel nehmen neunmal so viel Leistung auf wie in Reihe.
Auch ein Vorwiderstand lässt sich so bestimmen. Eine Lampe mit 6 V und 3 W soll an 9 V betrieben werden. Sie braucht \(I = P/U_L = 0{,}5\) A. Der Vorwiderstand übernimmt die Restspannung von 3 V: \(R_V = 3\text{ V}/0{,}5\text{ A} = 6\) Ω.
Quiz
Aussage 1
Aus vier gleichen Widerständen von je 10 Ω lässt sich höchstens ein Gesamtwiderstand von 40 Ω erreichen.
Die Reihenschaltung aller Widerstände liefert das Maximum: 4 · 10 Ω = 40 Ω.
Aussage 2
Ein Zweig aus drei gleichen Widerständen \(R\) in Reihe, parallel zu einem einzelnen Widerstand \(R\), hat den Ersatzwiderstand \(\frac{3}{4}R\).
Parallel aus \(3R\) und \(R\): \(\frac{3R \cdot R}{4R} = \frac{3}{4}R\).
Aussage 3
Schaltet man drei verschiedene Widerstände gemischt, wird der Gesamtwiderstand am größten, wenn der kleinste Widerstand in Reihe zum Parallelpaar liegt.
Der Reihenwiderstand geht voll ein. Am größten wird der Gesamtwiderstand, wenn der größte Widerstand in Reihe liegt; mit dem kleinsten in Reihe wird er am kleinsten.
Aussage 4
Ein Zweig mit Kondensator, der parallel zu einem Widerstand an Gleichspannung liegt, senkt im stationären Zustand den Gesamtwiderstand der Schaltung.
Nach dem Aufladen ist der Kondensatorzweig stromlos und fällt aus der Rechnung; der Gesamtwiderstand bleibt der der übrigen Widerstände.
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