Parallelschaltung und Knotenregel
Wie sich Ströme an Knoten verhalten und wie man Spannungen, Zweigströme und den Gesamtwiderstand paralleler Widerstände berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Parallelschaltung besteht aus Zweigen zwischen denselben zwei Knoten; an allen Zweigen liegt dieselbe Spannung, bei direktem Anschluss die volle Quellenspannung.
- Nach der Knotenregel ist bei stationären Strömen die Summe der zufließenden gleich der Summe der abfließenden Ströme, mit Vorzeichen gilt \(\sum I_k = 0\).
- Der Gesamtstrom ist die Summe der Zweigströme und damit größer als jeder Zweigstrom; durch den kleineren Widerstand fließt der größere Strom.
- Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte: \(1/R_{ges} = \sum 1/R_i\), und \(R_{ges}\) ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
- Für zwei Widerstände gilt \(R_{ges} = R_1 R_2/(R_1 + R_2)\), für \(n\) gleiche Widerstände \(R/n\).
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Worum es geht
Liegen Bauteile zwischen denselben zwei Punkten nebeneinander, bilden sie eine Parallelschaltung. Mit der Knotenregel lassen sich ihre Ströme, ihre Spannungen und ihr Gesamtwiderstand berechnen. So hängen alle Geräte im Haushalt an derselben Netzspannung, und auch ein Voltmeter wird parallel angeschlossen.
Knotenregel
Die Knotenregel ist die erste der beiden Kirchhoff’schen Regeln. Die zweite, die Maschenregel, steht bei der Reihenschaltung. Ein Knoten ist ein Verzweigungspunkt, an dem mindestens drei Leitungen zusammentreffen. Bei stationären, also zeitlich konstanten Strömen gilt dort: Was hineinfließt, fließt auch wieder hinaus.
Der Grund ist die Ladungserhaltung. Im Knoten sammelt sich keine Ladung an, und es entsteht auch keine. Man kann sich das wie eine Verzweigung in einer Wasserleitung vorstellen: Das Wasser, das pro Sekunde hineinströmt, verlässt sie auch wieder.
\[\sum I_{zu} = \sum I_{ab} \quad \Leftrightarrow \quad \sum_k I_k = 0\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(I_{zu}\) | Stromstärke eines zufließenden Stroms | A |
| \(I_{ab}\) | Stromstärke eines abfließenden Stroms | A |
| \(I_k\) | Strom in Leitung \(k\), zufließend positiv, abfließend negativ | A |
Die zweite Schreibweise sagt dasselbe mit Vorzeichen. Zählt man zufließende Ströme positiv und abfließende negativ, ist die Summe aller Ströme am Knoten null. Man kann also auch sagen: Die Summe aller zum Knoten fließenden Stromstärken ist null, wenn ein abfließender Strom als negativer Zufluss zählt.
Knotenschemata prüfen
Zum Prüfen trennt man die Pfeile in zwei Gruppen. Alle Ströme zum Knoten hin werden addiert, alle vom Knoten weg ebenso. Stimmen beide Summen überein, ist die Regel erfüllt. In der Abbildung fließen 1,2 A und 0,8 A zu, zusammen 2,0 A. Ab fließen 0,5 A und 1,5 A, ebenfalls 2,0 A. Dreht man einen Pfeil um, stimmt die Bilanz nicht mehr. Ein solches Schema beschreibt keinen möglichen stationären Zustand.
Fehlt eine Stromstärke, liefert die Knotengleichung sie direkt. Fließen etwa 3,0 A und 1,5 A zu und 2,0 A ab, muss die vierte Leitung 2,5 A abführen. Ergibt die Rechnung einen negativen Wert, war nur die angenommene Pfeilrichtung falsch. Der Strom fließt dann mit demselben Betrag in Gegenrichtung.
Oft sind die Teilströme nicht direkt angegeben, sondern über Widerstände und Spannungsabfälle. Dann verbindet man die Knotenregel mit dem Ohm’schen Gesetz \(I = U/R\):
- Teilströme bestimmen: Zweig 1 mit \(R_1 = 3\,\Omega\) und \(U_1 = 6\,\text{V}\) führt \(I_1 = U_1/R_1 = 2{,}0\,\text{A}\) zum Knoten. Zweig 2 mit \(R_2 = 8\,\Omega\) und \(U_2 = 4\,\text{V}\) führt \(I_2 = 0{,}5\,\text{A}\) zum Knoten.
- Knotengleichung aufstellen: Zweig 3 ist der einzige Abfluss, also gilt \(I_3 = I_1 + I_2 = 2{,}5\,\text{A}\).
- Spannungsabfall berechnen: Mit \(R_3 = 2\,\Omega\) folgt \(U_3 = R_3 \cdot I_3 = 5\,\text{V}\).
Knotenschemata mit Pfeilen und Stromstärken werden im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist, jede Stromstärke nach ihrer Pfeilrichtung der Zufluss- oder Abflussseite zuzuordnen, statt einfach alle Zahlen zu addieren.
Spannung und Zweigströme
Bei einer Parallelschaltung verzweigt sich die Leitung an einem Knoten in mehrere Zweige. Diese laufen an einem zweiten Knoten wieder zusammen. Jedes Bauteil sitzt in einem eigenen Zweig.
Bauteile sind parallel geschaltet, wenn sie zwischen denselben zwei Knoten liegen. Sie haben dann dieselbe Spannung, führen aber im Allgemeinen verschiedene Ströme.
Gleiche Spannung an allen Zweigen
Alle Zweige beginnen am Knoten A und enden am Knoten B. Zwischen zwei Punkten gibt es nur eine Potentialdifferenz. Deshalb liegt an jedem Zweig dieselbe Spannung. Hängen die Zweige direkt an der Quelle, ist das die volle Quellenspannung. In der Abbildung zeigt jedes der drei Voltmeter 9 V, egal wie groß der Widerstand in seinem Zweig ist. Auch das Voltmeter selbst liegt übrigens parallel zum Bauteil.
Aufteilung des Stroms
Am Knoten A teilt sich der Gesamtstrom auf die Zweige auf, am Knoten B vereinigt er sich wieder. Nach der Knotenregel ist der Strom in der Zuleitung die Summe der Zweigströme:
\[I_{ges} = I_1 + I_2 + \dots + I_n\]
Daraus folgt sofort: Der Gesamtstrom ist größer als der Strom in jedem einzelnen Zweig. Da alle Zweige dieselbe Spannung \(U\) haben, gilt in jedem Zweig \(I_i = U/R_i\). Der Strom ist also umgekehrt proportional zum Zweigwiderstand. Durch den kleineren Widerstand fließt der größere Strom. Für zwei Zweige heißt das \(I_1 : I_2 = R_2 : R_1\). Halber Widerstand bedeutet doppelten Strom.
Liegt ein weiterer Widerstand in Reihe vor der Parallelschaltung, fließt durch ihn der ungeteilte Gesamtstrom. Er führt damit die größte Stromstärke der ganzen Schaltung. Ein Beispiel dazu folgt im nächsten Abschnitt.
Zweig- und Gesamtströme berechnet man in wenigen Schritten:
- Spannung an den Zweigen: \(R_1 = 4\,\Omega\) und \(R_2 = 12\,\Omega\) liegen parallel an \(U = 12\,\text{V}\). An beiden liegen 12 V.
- Zweigströme: \(I_1 = 12\,\text{V} / 4\,\Omega = 3\,\text{A}\) und \(I_2 = 12\,\text{V} / 12\,\Omega = 1\,\text{A}\).
- Gesamtstrom: \(I_{ges} = I_1 + I_2 = 4\,\text{A}\).
- Kontrolle: Der dreimal kleinere Widerstand führt den dreifachen Strom.
Gesamtwiderstand
Aus Sicht der Quelle wirkt die ganze Parallelschaltung wie ein einziger Widerstand \(R_{ges}\). Er muss bei der Spannung \(U\) den Gesamtstrom liefern, also \(U/R_{ges} = U/R_1 + U/R_2 + \dots\). Kürzt man \(U\), erhält man die zentrale Formel.
\[\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} = \sum_i \frac{1}{R_i}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(R_{ges}\) | Gesamt- oder Ersatzwiderstand der Parallelschaltung | Ω |
| \(R_i\) | Widerstand im Zweig \(i\) | Ω |
| \(1/R_i\) | Leitwert \(G_i\) des Zweigs | S = 1/Ω |
Mit dem Leitwert \(G = 1/R\) wird die Formel besonders einfach: Die Leitwerte addieren sich zum Gesamtleitwert, \(G_{ges} = G_1 + G_2 + \dots\). Jeder zusätzliche Zweig ist ein weiterer Weg für die Ladung. Man kann sich das wie zusätzlich geöffnete Kassen im Supermarkt vorstellen. Selbst eine langsame Kasse verkürzt die Schlange.
- Widerstände addieren sich
- Strom überall gleich
- Spannung teilt sich auf
- \(R_{ges}\) größer als der größte Einzelwiderstand
- Leitwerte addieren sich
- Spannung überall gleich
- Strom teilt sich auf
- \(R_{ges}\) kleiner als der kleinste Einzelwiderstand
Grenzfälle und Kurzform
Zu \(1/R_{ges}\) kommen nur positive Beiträge hinzu. Also ist \(1/R_{ges}\) größer als jeder einzelne Kehrwert. Damit ist der Gesamtwiderstand kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Jeder weitere Parallelwiderstand senkt \(R_{ges}\). Ein sehr großer Parallelwiderstand ändert dagegen kaum etwas. Ein Zweig mit nahezu null Ohm wirkt als Kurzschluss und drückt \(R_{ges}\) gegen null.
Für genau zwei Widerstände gibt es die Kurzform „Produkt durch Summe“:
\[R_{ges} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\]
Sie gilt nur für zwei Widerstände. Bei drei addiert man die Kehrwerte oder fasst paarweise zusammen. Mit den Zahlen aus dem vorigen Abschnitt ergibt sich \(R_{ges} = (4 \cdot 12)/(4 + 12)\,\Omega = 3\,\Omega\). Das passt zu \(U/I_{ges} = 12\,\text{V}/4\,\text{A}\).
Die Berechnung über \(1/R_{ges} = \sum 1/R_i\) ist ein Examensklassiker. Am Ende muss man den Kehrwert bilden, und das Ergebnis muss kleiner sein als der kleinste Einzelwiderstand.
Gleiche Widerstände
Sind alle \(n\) Widerstände gleich groß, addiert man \(n\)-mal denselben Kehrwert. Es gilt also \(1/R_{ges} = n/R\).
\(n\) gleiche Widerstände \(R\) parallel ergeben \(R_{ges} = R/n\). Zwei gleiche Widerstände ergeben den halben Einzelwiderstand.
Die Regel \(R/n\) wird im Examen gerne gefragt, oft als Vergleich mit einem Grenzwert. Fünf Widerstände zu je 50 Ω ergeben 10 Ω, also weniger als 12 Ω. Vierzig Widerstände zu je 2 kΩ ergeben 50 Ω, also mehr als 40 Ω. Dabei rechnet man kΩ vorher in Ω um.
Rechenbeispiel mit Vorwiderstand
In der folgenden Schaltung liegt \(R_1 = 8\,\Omega\) in Reihe zur Parallelschaltung aus \(R_2 = 6\,\Omega\) und \(R_3 = 12\,\Omega\) an 24 V. Man rechnet von innen nach außen:
- Parallelteil: \(R_{23} = (6 \cdot 12)/(6 + 12)\,\Omega = 4\,\Omega\).
- Gesamtwiderstand: \(R_{ges} = R_1 + R_{23} = 12\,\Omega\).
- Gesamtstrom: \(I = 24\,\text{V} / 12\,\Omega = 2{,}0\,\text{A}\). Er fließt ungeteilt durch \(R_1\).
- Spannungen: \(U_1 = 8\,\Omega \cdot 2{,}0\,\text{A} = 16\,\text{V}\). Am Parallelteil bleiben 8 V.
- Zweigströme: \(I_2 = 8\,\text{V}/6\,\Omega \approx 1{,}33\,\text{A}\) und \(I_3 = 8\,\text{V}/12\,\Omega \approx 0{,}67\,\text{A}\). Zusammen sind das 2,0 A, die Knotenregel ist erfüllt.
Solche Kombinationen vertieft die Einheit zu gemischten Schaltungen.
Typische Fehler
- Den Kehrwert am Ende vergessen: \(1/R_{ges}\) ist noch nicht \(R_{ges}\).
- \(1/(R_1 + R_2)\) rechnen: Das ist der Kehrwert der Reihenschaltung, nicht die Summe der Kehrwerte.
- „Produkt durch Summe“ auf drei Widerstände in einem Schritt anwenden.
- Ω und kΩ mischen, statt die Einheiten vorher anzugleichen.
Quiz
Aussage 1
In einer Parallelschaltung fließt durch den größeren Widerstand der größere Strom.
Bei gleicher Spannung gilt \(I = U/R\): Durch den kleineren Widerstand fließt der größere Strom.
Aussage 2
Vier parallel geschaltete Widerstände von je \(100\,\Omega\) ergeben einen Gesamtwiderstand von \(400\,\Omega\).
Für \(n\) gleiche Widerstände gilt \(R/n\), also \(25\,\Omega\). \(400\,\Omega\) wäre die Reihenschaltung.
Aussage 3
Fließen in einen Knoten 2 A und 3 A hinein und aus einer dritten Leitung 1 A heraus, muss die vierte Leitung 4 A abführen.
Zufluss 5 A muss gleich Abfluss sein: 1 A + 4 A = 5 A.
Aussage 4
Schaltet man \(10\,\Omega\) und \(15\,\Omega\) parallel, beträgt der Gesamtwiderstand \(6\,\Omega\).
Produkt durch Summe: \(150/25\,\Omega = 6\,\Omega\), kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
Aussage 5
Bei der Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte der Einzelwiderstände zum Gesamtleitwert.
Mit \(G = 1/R\) wird \(1/R_{ges} = \sum 1/R_i\) zu \(G_{ges} = \sum G_i\); bei der Reihenschaltung addieren sich dagegen die Widerstände.
Aussage 6
Liefert die Knotengleichung für einen unbekannten Strom einen negativen Wert, ist die Rechnung fehlerhaft.
Ein negatives Ergebnis heißt nur, dass der Strom entgegen der angenommenen Pfeilrichtung fließt, mit demselben Betrag.
Aussage 7
An drei Widerständen, die direkt parallel an einer 9-V-Quelle liegen, zeigt jedes Voltmeter 9 V an.
Parallele Zweige liegen zwischen denselben Knoten und haben daher dieselbe Spannung, hier die volle Quellenspannung.
Aussage 8
Der Gesamtstrom einer Parallelschaltung kann kleiner sein als der Strom im stärksten Zweig.
Der Gesamtstrom ist die Summe aller Zweigströme und damit größer als jeder einzelne Zweigstrom.
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