Aktivität und Zerfallsgesetz
Wie man die Zerfallsrate eines Radionuklids als Aktivität misst, warum sie exponentiell abnimmt und wie Zerfallskonstante, Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer zusammenhängen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Aktivität ist die Zahl der radioaktiven Zerfälle pro Zeit, gemessen in Becquerel (\(1\,\mathrm{Bq} = 1\,\mathrm{s^{-1}}\)) oder in Curie.
- Aktivität und Kernzahl sinken exponentiell nach \(A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}\) und erreichen in endlicher Zeit nicht null; der relative Abfall ist unabhängig von der Anfangsaktivität.
- Halbwertszeit und Zerfallskonstante sind nuklidspezifische Konstanten und hängen nicht von Menge, Temperatur, chemischer Bindung oder Umgebung ab, etwa bei \(\ce{^{32}P}\) im Blut.
- Es gilt \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\) mit der Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\); die Zerfallskonstante ist umgekehrt proportional zur Halbwertszeit, aber nicht ihr bloßer Kehrwert.
- Die mittlere Lebensdauer \(\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2 \approx 1{,}44\,T_{1/2}\) ist länger als die Halbwertszeit; nach \(\tau\) sind noch 37 % (\(1/e\)) übrig.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Radioaktive Präparate verlieren mit der Zeit an Aktivität, und zwar nach einem festen Gesetz. Wer ein Radiopharmakon wie \(\ce{^{99m}Tc}\) dosiert oder Restaktivitäten abschätzt, braucht Aktivität, Zerfallsgesetz und die drei Zeitgrößen Halbwertszeit, Zerfallskonstante und mittlere Lebensdauer.
Aktivität
Ein radioaktives Präparat enthält instabile Kerne, die sich spontan umwandeln (Grundlagen unter Radioaktiver Zerfall). Die Aktivität \(A\) gibt an, wie viele dieser Zerfälle pro Zeiteinheit stattfinden. Sie zählt also Ereignisse und beschreibt nicht die Masse des Nuklids. Ihre SI-Einheit ist das Becquerel: \(1\,\mathrm{Bq} = 1\,\mathrm{s^{-1}}\), also ein Zerfall pro Sekunde.
Die ältere Einheit Curie misst ebenfalls Aktivität. Es gilt \(1\,\mathrm{Ci} = 3{,}7 \cdot 10^{10}\,\mathrm{Bq}\), ursprünglich die Aktivität von 1 g Radium. Gauß und Tesla gehören dagegen zur magnetischen Flussdichte, Henry zur Induktivität.
Auch die mittlere Zeit zwischen zwei Zerfällen ist nicht die Aktivität, sondern ihr Kehrwert. Die spezifische Aktivität bezieht die Aktivität auf die Masse, etwa in Bq/g. Sie ist eine Eigenschaft des Stoffes. Aus absorbierter Energie lässt sie sich nicht ableiten, denn diese beschreibt die Energiedosis.
Exponentielles Zerfallsgesetz
Welcher Kern als nächster zerfällt, ist Zufall. Jeder Kern hat aber pro Zeit dieselbe Zerfallswahrscheinlichkeit. Deshalb zerfällt in jedem Zeitabschnitt derselbe Bruchteil der noch vorhandenen Kerne. Viele Kerne liefern viele Zerfälle, wenige Kerne wenige. Genau das ergibt eine exponentielle Abnahme (Mathematik unter Exponentialfunktion und Logarithmus).
\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \qquad A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(N(t)\), \(N_0\) | Zahl unzerfallener Kerne zur Zeit \(t\) bzw. am Anfang | 1 |
| \(A(t)\), \(A_0\) | Aktivität zur Zeit \(t\) bzw. am Anfang | Bq |
| \(\lambda\) | Zerfallskonstante | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(t\) | seit Beginn verstrichene Zeit | s |
| \(T_{1/2}\) | Halbwertszeit | s |
Weil \(A = \lambda \cdot N\) gilt, sinken Aktivität und Zahl unzerfallener Kerne mit derselben Halbwertszeit. Setzt man \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\) ein, erhält man die Form \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}\). Das \(t\) im Exponenten ist immer die verstrichene Zeit, nicht die Halbwertszeit.
Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der gerade vorhandene Wert: 50 %, 25 %, 12,5 %. In linearer Auftragung nähert sich die Kurve asymptotisch der Null. In endlicher Zeit erreicht die Aktivität den Wert null nicht. Eine Gerade beschreibt den Zerfall falsch, wie die gestrichelte Linie zeigt.
Entscheidend ist der relative Abfall. Ob ein Präparat mit 1 MBq oder mit 1 GBq startet: Nach zwei Halbwertszeiten sind in beiden Fällen 25 % übrig. Dass der relative Abfall nicht von der Anfangsaktivität abhängt, wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, dass sich nur die absoluten Werte unterscheiden, der Prozentsatz aber gleich bleibt. Das Rechnen mit Restaktivitäten vertieft Rechnen mit Halbwertszeiten.
Nuklidspezifische Konstanten
Halbwertszeit und Zerfallskonstante sind nuklidspezifisch. Jedes Radionuklid hat seine charakteristische Halbwertszeit, \(\ce{^{14}C}\) zum Beispiel rund 5730 Jahre. Beide Größen sind zeitlich konstant. Sie bleiben im Lauf der Jahre gleich und hängen auch nicht davon ab, wie lange man misst.
Der Grund liegt im Kern. Kernumwandlungen setzen Energien im MeV-Bereich um. Chemische Bindung, Temperatur und Druck wirken auf die Elektronenhülle mit Energien von wenigen eV. Man kann sich den Kern wie einen Tresor vorstellen, an dessen Inhalt das Wetter draußen nichts ändert. Anders als bei chemischen Reaktionen hängt die Zerfallsgeschwindigkeit deshalb nicht von der Temperatur ab. Auch die Bindungsform zählt nicht: \(\ce{^{14}C}\) zerfällt in \(\ce{CO2}\) genauso schnell wie in Glucose.
Ebenso gleichgültig ist die Menge. Zwei Präparate desselben Nuklids mit verschiedener Anfangsaktivität haben dieselbe Halbwertszeit. Ein \(\ce{^{32}P}\)-Tracer behält seine physikalische Halbwertszeit, wenn er im Blut verdünnt oder in ein Organ eingelagert wird. Die Wechselwirkung mit der Umgebung beeinflusst nur die Ausscheidung. Diese beschreibt die biologische Halbwertszeit.
Besonders prüfungsrelevant: Die physikalische Halbwertszeit und die Zerfallskonstante bleiben bei jeder Menge, Anfangsaktivität, Temperatur, chemischen Bindung und Umgebung gleich, etwa bei \(\ce{^{32}P}\) im Blut oder im Organ. Achte darauf, sie von der biologischen Halbwertszeit zu trennen, die sich im Körper sehr wohl ändert.
Zerfallskonstante
Die Zerfallskonstante \(\lambda\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Kerns pro Zeiteinheit. Sie hängt fest mit der Halbwertszeit zusammen. Setzt man im Zerfallsgesetz \(t = T_{1/2}\) und \(N = N_0/2\), folgt \(e^{-\lambda T_{1/2}} = 1/2\). Logarithmieren liefert:
\[\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}} \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\]
Die Zerfallskonstante ist also umgekehrt proportional zur Halbwertszeit. Halbe Halbwertszeit bedeutet doppelte Zerfallskonstante. Kurzlebige Nuklide haben daher ein großes \(\lambda\). Die Einheit ist eine reziproke Zeit, im SI \(\mathrm{s^{-1}}\), je nach Nuklid auch \(\mathrm{h^{-1}}\) oder \(\mathrm{a^{-1}}\).
Die Zerfallskonstante ist nicht einfach der Kehrwert der Halbwertszeit. Wer den Faktor \(\ln 2 \approx 0{,}693\) vergisst, erhält einen um rund 44 % zu großen Wert.
So berechnest du \(\lambda\) für \(\ce{^{99m}Tc}\) mit \(T_{1/2} = 6{,}0\,\mathrm{h}\):
- Formel wählen: \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\).
- Einsetzen: \(\lambda = 0{,}693 / 6{,}0\,\mathrm{h} = 0{,}116\,\mathrm{h^{-1}}\).
- In SI umrechnen: Mit \(1\,\mathrm{h} = 3600\,\mathrm{s}\) folgt \(\lambda = 0{,}116 / 3600\,\mathrm{s} \approx 3{,}2 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\).
- Plausibel prüfen: Pro Stunde zerfallen zu Beginn rund 11 % der Kerne, nach sechs Stunden ist die Hälfte weg.
Mittlere Lebensdauer
Ein einzelner Kern hat kein festes Ablaufdatum. Mittelt man aber über sehr viele Kerne, wie lange sie bis zum Zerfall existieren, erhält man die mittlere Lebensdauer \(\tau\). Sie ist der Kehrwert der Zerfallskonstante:
\[\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1{,}44 \cdot T_{1/2}\]
Setzt man \(t = \tau\) ins Zerfallsgesetz ein, wird der Exponent zu \(-1\). Nach Ablauf von \(\tau\) ist die Aktivität also auf \(1/e \approx 37\,\%\) des Anfangswerts gefallen. Nach einer Halbwertszeit sind es dagegen noch 50 %. Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer sind deshalb verschiedene Größen. Die mittlere Lebensdauer ist stets die längere, weil einige Kerne sehr lange überleben und den Mittelwert nach oben ziehen.
Durch \(\ln 2\) teilen macht länger: \(\tau = T_{1/2} / \ln 2\), umgekehrt \(T_{1/2} = \tau \cdot \ln 2\). Die Form \(\tau = \ln 2 \cdot T_{1/2}\) ist falsch, denn sie ergäbe ein \(\tau\) kürzer als die Halbwertszeit.
Als Beispiel dient \(\ce{^{131}I}\) mit \(T_{1/2} = 8{,}0\,\mathrm{d}\):
- Zerfallskonstante: \(\lambda = 0{,}693 / 8{,}0\,\mathrm{d} = 0{,}0866\,\mathrm{d^{-1}}\).
- Kehrwert bilden: \(\tau = 1/\lambda = 1 / 0{,}0866\,\mathrm{d^{-1}} \approx 11{,}5\,\mathrm{d}\).
- Direkt kontrollieren: \(\tau = 8{,}0\,\mathrm{d} / 0{,}693 \approx 11{,}5\,\mathrm{d}\), also etwa das 1,44-Fache von \(T_{1/2}\).
- Deuten: Nach 11,5 Tagen sind noch etwa 37 % der Anfangsaktivität vorhanden.
Quiz
Aussage 1
Nach Ablauf der mittleren Lebensdauer ist die Aktivität auf etwa 37 % gesunken, und \(\tau\) ist etwa 1,44-mal so lang wie die Halbwertszeit.
Richtig. Für \(t = \tau\) wird der Exponent \(-1\), also \(A = A_0/e\); zudem gilt \(\tau = T_{1/2}/\ln 2 \approx 1{,}44\,T_{1/2}\).
Aussage 2
Ein Radionuklid mit kürzerer Halbwertszeit besitzt eine größere Zerfallskonstante.
Richtig. Die Zerfallskonstante ist umgekehrt proportional zur Halbwertszeit: halbe Halbwertszeit, doppeltes \(\lambda\).
Aussage 3
Das Curie ist wie das Becquerel eine Einheit der Aktivität.
Richtig. \(1\,\mathrm{Ci} = 3{,}7 \cdot 10^{10}\,\mathrm{Bq}\); beide geben Zerfälle pro Zeit an.
Aussage 4
Die Aktivität eines Präparats sinkt linear und ist nach zwei Halbwertszeiten auf null gefallen.
Falsch. Die Aktivität sinkt exponentiell; nach zwei Halbwertszeiten sind noch 25 % vorhanden, und null wird in endlicher Zeit nicht erreicht.
Aussage 5
Zwei Präparate desselben Nuklids mit 1 MBq und 1 GBq Anfangsaktivität haben nach drei Halbwertszeiten beide noch 12,5 % ihrer Anfangsaktivität.
Richtig. Der relative Abfall hängt nicht von der Anfangsaktivität ab; nur die absoluten Werte unterscheiden sich.
Aussage 6
Erwärmt man ein \(\ce{^{32}P}\)-Präparat stark, verkürzt sich seine physikalische Halbwertszeit.
Falsch. Die physikalische Halbwertszeit ist eine temperaturunabhängige Kerneigenschaft, denn thermische Energien erreichen den Kern praktisch nicht.
Aussage 7
Die Zerfallskonstante erhält man, indem man den Kehrwert der Halbwertszeit bildet.
Falsch. Es gilt \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\); der Kehrwert allein ist um rund 44 % zu groß.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.