Elektrische Leistung und Energie
Wie man aus Spannung und Stromstärke die elektrische Leistung berechnet, daraus die umgesetzte Energie bestimmt und mit Batterien, Akkus und Wirkungsgraden rechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die elektrische Leistung ist die pro Zeit umgesetzte Energie und das Produkt aus Spannung und Stromstärke: \(P = U \cdot I\), gemessen mit Voltmeter und Amperemeter ohne Zeitmessung.
- Den Strom eines Verbrauchers liefert \(I = P/U\); für \(n\) gleiche Lampen gilt \(I = n \cdot P/U\), eine Sicherung erlaubt höchstens \(P = U \cdot I\).
- Die elektrische Energie ist \(W = U \cdot I \cdot t = U \cdot Q\); jeder Ausdruck mit dem Faktor \(t\), auch \(U^2 t/R\), ist eine Energie, keine Leistung.
- \(1\,\mathrm{Wh} = 3600\,\mathrm{J}\), \(1\,\mathrm{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\,\mathrm{J}\), \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W/A}\) und \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N \cdot m}\).
- Eine Akkuangabe in mAh ist eine Ladung; mit der Spannung wird daraus die Energie, die Betriebsdauer ist \(t = Q \cdot U/P\).
- Der Wirkungsgrad \(\eta = P_{ab}/P_{zu}\) ergibt beim Motor \(P_{ab} = \eta \cdot U \cdot I\) und damit den Motorstrom \(I = P_{ab}/(\eta \cdot U)\).
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Jedes elektrische Gerät setzt pro Sekunde eine bestimmte Energie um. Diese Leistung folgt aus Spannung und Stromstärke. Mit ihr berechnet man Stromstärken, Akkulaufzeiten und Energiekosten, vom Laborrührer bis zum Blutzuckermessgerät.
Leistung P = U·I
Die elektrische Leistung gibt an, wie viel Energie ein Verbraucher pro Zeit umsetzt: \(P = W/t\). Bei elektrischen Geräten lässt sie sich direkt aus zwei Messgrößen bilden. Die Spannung sagt, wie viel Energie jede Ladung abgibt. Die Stromstärke sagt, wie viel Ladung pro Sekunde fließt (siehe Stromstärke und Spannung). Ihr Produkt ist also Energie pro Sekunde.
\[P = U \cdot I\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(P\) | elektrische Leistung | W (Watt) = V·A |
| \(U\) | Spannung am Verbraucher | V (Volt) |
| \(I\) | Stromstärke durch den Verbraucher | A (Ampere) |
Man kann sich den Strom wie Wasser vorstellen, das über eine Stufe fällt. Die Fallhöhe entspricht der Spannung, die Wassermenge pro Sekunde dem Strom. Erst beides zusammen bestimmt, wie viel Arbeit das Wasser verrichtet. Den allgemeinen Leistungsbegriff kennst du aus der Mechanik, das Watt aus den Einheiten von Energie und Leistung.
Messen mit Volt- und Amperemeter
Zur Bestimmung genügen ein Voltmeter parallel zum Verbraucher und ein Amperemeter in Reihe dazu. Man multipliziert beide Anzeigen. Eine Zeitmessung braucht man dafür nicht, eine Temperaturmessung auch nicht. Die Leistung hängt nicht davon ab, wie lange der Strom schon fließt. Die Zeit kommt erst bei der umgesetzten Energie ins Spiel. Wie man die Geräte richtig anschließt, zeigt die Strom- und Spannungsmessung.
\(P = U \cdot I\) ist ein Examensklassiker. Das Produkt aus Spannung und Stromstärke ist die Leistung, und zu ihrer Bestimmung braucht man nur Volt- und Amperemeter. Erst mit der Zeit multipliziert wird daraus eine Energie.
Stromstärke aus Leistung und Spannung
Umgestellt liefert die Formel den Strom: \(I = P/U\). Bei gleicher Spannung ist der Strom proportional zur Leistung. Eine 60-W-Lampe zieht am Netz doppelt so viel Strom wie eine 30-W-Lampe. Ein Wasserkocher mit 2300 W an 230 V nimmt 10 A auf.
Bei mehreren Verbrauchern addiert man die Leistungen. Für \(n\) gleiche Lampen parallel am Netz gilt \(I = n \cdot P/U\). Zehn Lampen zu je 46 W an 230 V ziehen also 2 A aus der Quelle. Auch bei zwei Verbrauchern in Reihe gilt \(I = P_{ges}/U\) mit der Quellenspannung \(U\).
Eine Sicherung begrenzt den Strom auf ihren Nennstrom. Die maximal entnehmbare Leistung ist daher \(P = U \cdot I\). Bei 230 V und 16 A sind das 3680 W. Die Umstellung \(I = P/U\) mit Lampenzahl oder Sicherung solltest du sicher können, denn hier wird oft nur zwischen Leistung und Strom übersetzt.
Beispiel: Lampe mit Vorwiderstand
Eine Lampe für 6 V und 2,4 W soll an einer 9-V-Batterie leuchten. Ein Vorwiderstand in Reihe übernimmt die überschüssige Spannung. Durch beide fließt derselbe Strom.
- Lampenstrom: \(I = P_L/U_L = 2{,}4\,\mathrm{W} / 6\,\mathrm{V} = 0{,}4\,\mathrm{A}\).
- Restspannung: \(U_V = 9\,\mathrm{V} - 6\,\mathrm{V} = 3\,\mathrm{V}\) fallen am Vorwiderstand ab.
- Leistung am Vorwiderstand: \(P_V = U_V \cdot I = 3\,\mathrm{V} \cdot 0{,}4\,\mathrm{A} = 1{,}2\,\mathrm{W}\).
Allgemein gilt also \(P_V = (U - U_L) \cdot P_L/U_L\). Der Vorwiderstand setzt diese 1,2 W vollständig in Wärme um.
Elektrische Energie
Multipliziert man die Leistung mit der Betriebsdauer, erhält man die umgesetzte elektrische Energie. Da \(I \cdot t\) die transportierte Ladung \(Q\) ist, gibt es zwei gleichwertige Schreibweisen:
\[W = P \cdot t = U \cdot I \cdot t = U \cdot Q\]
Dabei ist \(W\) die Energie in J, \(t\) die Zeit in s und \(Q\) die Ladung in C, also A·s. Bei gleicher Leistung bedeutet doppelte Zeit doppelte Energie. Die Leistung selbst bleibt dabei gleich.
- \(P = U \cdot I\)
- Energie pro Zeit, unabhängig von der Dauer
- Einheit W = J/s
- \(W = U \cdot I \cdot t = U \cdot Q\)
- wächst mit der Betriebsdauer
- Einheit J = W·s
Steht die Zeit \(t\) als Faktor in einem Ausdruck, ist er eine Energie. Das gilt auch für \(U^2 \cdot t/R\) am ohmschen Widerstand, die zugehörige Leistung ist \(U^2/R\) (siehe Leistung am Widerstand).
Einheiten umrechnen
Aus \(W = U \cdot I \cdot t\) folgt direkt die Einheitenbeziehung \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{V \cdot A \cdot s}\). Aus der Mechanik kommt \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N \cdot m}\) hinzu. Stellt man um, erhält man jede andere Einheit:
- \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{W \cdot s} = 1\,\mathrm{V \cdot A \cdot s} = 1\,\mathrm{N \cdot m}\)
- \(1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{V \cdot A} = 1\,\mathrm{J/s}\)
- \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W/A} = 1\,\mathrm{J/C}\)
- \(1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{J/(V \cdot s)}\)
So lässt sich etwa \(\mathrm{N \cdot m/(A \cdot s)}\) schrittweise vereinfachen. Der Zähler ist ein Joule, der Nenner ein Coulomb. Das Ergebnis ist also ein Volt.
Die Wattstunde (Wh) ist die Energie, die bei 1 W Leistung in einer Stunde umgesetzt wird: \(1\,\mathrm{Wh} = 3600\,\mathrm{J}\). Entsprechend gilt \(1\,\mathrm{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\,\mathrm{J}\).
Batterien und Akkus
Eine Batterie oder ein Akku stellt eine bestimmte Ladung bei einer bestimmten Spannung bereit. Auf dem Gehäuse steht meist die Ladung in mAh, also Milliampere mal Stunde. Die gespeicherte Energie folgt aus \(W = U \cdot Q\). Wie die Zellen chemisch arbeiten, steht bei Batterien und Akkumulatoren.
Für die Umrechnung gilt \(1\,\mathrm{mAh} = 10^{-3}\,\mathrm{A} \cdot 3600\,\mathrm{s} = 3{,}6\,\mathrm{C}\). Bequemer ist oft der Weg über Wattstunden: Volt mal Amperestunden ergibt direkt Wh. Aus der Energie folgt je nach Frage:
- Betriebsdauer: \(t = W/P = Q \cdot U/P\)
- mittlere Leistung: \(P = U \cdot Q/t\)
- Ladezeit bei konstantem Ladestrom: \(t = W/(U \cdot I)\)
Beispiel: Laufzeit eines Akkus
Ein Akku mit 3,7 V und 2000 mAh versorgt ein Messgerät, das 0,5 W aufnimmt.
- Ladung in Ah: \(Q = 2000\,\mathrm{mAh} = 2{,}0\,\mathrm{Ah}\).
- Energie: \(W = 3{,}7\,\mathrm{V} \cdot 2{,}0\,\mathrm{Ah} = 7{,}4\,\mathrm{Wh}\).
- In Joule: \(7{,}4\,\mathrm{Wh} \cdot 3600\,\mathrm{J/Wh} \approx 2{,}7 \cdot 10^4\,\mathrm{J}\), das sind \(0{,}0074\,\mathrm{kWh}\).
- Betriebsdauer: \(t = 7{,}4\,\mathrm{Wh} / 0{,}5\,\mathrm{W} = 14{,}8\,\mathrm{h}\).
Umgekehrt lässt sich die mittlere Leistung aus der Laufzeit bestimmen. Eine Batterie mit 1,5 V und 2400 mAh speichert 3,6 Wh. Hält sie in einem Funkthermometer 3600 h, nimmt das Gerät im Mittel \(3{,}6\,\mathrm{Wh}/3600\,\mathrm{h} = 1\,\mathrm{mW}\) auf.
Auch die Ladezeit folgt aus der Energie. Ein Speicher von 10 Wh wird mit 5 V und 1 A geladen, also mit 5 W. Ohne Verluste ist er nach 2 h voll.
Solche Akkurechnungen werden im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist, mAh erst mit der Spannung in eine Energie zu verwandeln und dabei Stunden und Sekunden nicht zu vermischen. Typische Fehler:
- mAh als Energie behandeln, obwohl es eine Ladung ist
- den Faktor \(10^{-3}\) von „milli“ vergessen
- Wh und J ohne den Faktor 3600 gleichsetzen
Wirkungsgrad
Reale Maschinen geben nicht die ganze aufgenommene Leistung als Nutzleistung ab. Ein Teil geht meist als Wärme verloren. Das Verhältnis beider Leistungen beschreibt der Wirkungsgrad.
Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von abgegebener zu aufgenommener Leistung: \(\eta = P_{ab}/P_{zu}\). Er hat keine Einheit und liegt zwischen 0 und 1.
Beim Elektromotor ist die aufgenommene Leistung elektrisch. Daher gilt für die abgegebene mechanische Leistung \(P_{ab} = \eta \cdot U \cdot I\). Manche Aufgaben nennen den Faktor \(\eta\) hier auch Leistungsfaktor. Gemeint ist dann ebenfalls der Anteil, der als Nutzleistung herauskommt.
Im Energieflussdiagramm nimmt ein Motor 500 W elektrisch auf. Er gibt 400 W mechanisch ab, 100 W werden zu Wärme. Sein Wirkungsgrad beträgt also 0,8.
Umgestellt erhält man den Motorstrom: \(I = P_{ab}/(\eta \cdot U)\). Ein Motor soll 920 W abgeben, an 230 V mit \(\eta = 0{,}8\). Er zieht \(I = 920\,\mathrm{W}/(0{,}8 \cdot 230\,\mathrm{V}) = 5\,\mathrm{A}\). Ohne \(\eta\) käme man nur auf 4 A, der Strom wäre zu klein berechnet.
Im Kraftwerk läuft die Umwandlung umgekehrt. Die elektrische Leistung ist der Wirkungsgrad mal der zugeführten mechanischen Leistung. Beim Wasserkraftwerk ist das die Hubleistung des fallenden Wassers:
\[P_{el} = \eta \cdot \rho \cdot \dot V \cdot g \cdot h\]
Hier ist \(\rho\) die Dichte des Wassers in kg/m³, \(\dot V\) der Volumenstrom in m³/s, \(g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\) und \(h\) die Fallhöhe in m. Bei 2 m³/s, 50 m Fallhöhe und \(\eta = 0{,}9\) ergibt sich \(0{,}9 \cdot 1000 \cdot 2 \cdot 9{,}81 \cdot 50\,\mathrm{W} \approx 0{,}88\,\mathrm{MW}\).
Quiz
Aussage 1
Eine Kilowattstunde entspricht \(3{,}6 \cdot 10^6\) Joule.
\(1\,\mathrm{kWh} = 1000\,\mathrm{W} \cdot 3600\,\mathrm{s} = 3{,}6 \cdot 10^6\,\mathrm{J}\).
Aussage 2
Um die elektrische Leistung eines Verbrauchers zu bestimmen, genügen ein Voltmeter und ein Amperemeter.
Die Leistung ist \(P = U \cdot I\). Man misst Spannung und Strom und multipliziert, eine Zeit- oder Temperaturmessung ist nicht nötig.
Aussage 3
Das Produkt aus Spannung, Stromstärke und Zeit hat die Einheit Watt.
\(U \cdot I \cdot t\) ist eine Energie mit der Einheit Joule (W·s). Nur \(U \cdot I\) ist eine Leistung in Watt.
Aussage 4
Je länger eine Lampe eingeschaltet ist, desto größer wird ihre elektrische Leistung.
Die Leistung hängt nicht von der Dauer ab. Mit der Zeit wächst nur die umgesetzte Energie \(W = P \cdot t\).
Aussage 5
An derselben Spannung zieht eine 100-W-Lampe halb so viel Strom wie eine 50-W-Lampe.
Bei gleicher Spannung ist der Strom proportional zur Leistung. Die 100-W-Lampe zieht doppelt so viel Strom.
Aussage 6
Ein Gerät mit 1150 W Leistungsaufnahme zieht an 230 V einen Strom von 5 A.
\(I = P/U = 1150\,\mathrm{W}/230\,\mathrm{V} = 5\,\mathrm{A}\).
Aussage 7
Ein Akku mit 1,2 V und 1000 mAh speichert eine Energie von 1,2 Wh.
\(W = U \cdot Q = 1{,}2\,\mathrm{V} \cdot 1{,}0\,\mathrm{Ah} = 1{,}2\,\mathrm{Wh}\).
Aussage 8
Ein Motor mit dem Wirkungsgrad 0,8, der 400 W mechanisch abgibt, nimmt 320 W elektrische Leistung auf.
Die aufgenommene Leistung ist größer als die abgegebene: \(P_{zu} = P_{ab}/\eta = 400\,\mathrm{W}/0{,}8 = 500\,\mathrm{W}\).
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.