Sehwinkel, Lupe und Winkelvergrößerung
Wie der Sehwinkel die wahrgenommene Größe bestimmt, wie eine Lupe ein virtuelles Bild erzeugt und wie man ihre Vergrößerung aus Brennweite oder Brechwert berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Lupe ist eine Sammellinse kurzer Brennweite, die den Sehwinkel vergrößert, unter dem ein Gegenstand erscheint.
- Der Sehwinkel folgt aus \(\tan\varepsilon = G/g\), für kleine Winkel gilt \(\varepsilon \approx G/g\) im Bogenmaß; Umrechnung in Grad mit \(180°/\pi\).
- Bei der Lupe steht der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite, das Bild ist virtuell, aufrecht, vergrößert, liegt auf der Gegenstandsseite und weiter von der Linse entfernt als der Gegenstand.
- Das virtuelle Bild entsteht im Schnittpunkt der rückwärtigen Verlängerungen von Parallel- und Mittelpunktstrahl.
- Die Normalvergrößerung beträgt \(V = s_0/f = s_0 \cdot D\) mit der deutlichen Sehweite \(s_0 = 25\) cm, umgestellt \(f = s_0/V\).
- Der Linsendurchmesser beeinflusst die Vergrößerung nicht, nur das Gesichtsfeld.
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Worum es geht
Eine Lupe vergrößert nicht den Gegenstand selbst, sondern den Winkel, unter dem das Auge ihn sieht. Dieser Sehwinkel ist die Grundlage aller optischen Instrumente bis hin zum Mikroskop. In der Pharmazie begegnet die Lupe etwa bei der Begutachtung pflanzlicher Drogen.
Sehwinkel
Wie groß uns ein Gegenstand erscheint, hängt nicht allein von seiner Größe ab. Entscheidend ist der Sehwinkel \(\varepsilon\). Das ist der Winkel, unter dem die Enden des Gegenstands vom Auge aus erscheinen. Er bestimmt die Größe des Netzhautbildes.
Ein Gegenstand der Größe \(G\) im Abstand \(g\) bildet mit dem Auge ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus folgt exakt:
\[\tan\varepsilon = \frac{G}{g}\]
Für kleine Winkel gilt \(\tan\varepsilon \approx \varepsilon\), wenn \(\varepsilon\) im Bogenmaß (rad) steht. Dann ist der Sehwinkel einfach der Quotient \(\varepsilon \approx G/g\). Doppelte Entfernung bedeutet halben Sehwinkel. Deshalb wirkt ein Turm aus der Ferne klein.
Vom Bogenmaß in Grad rechnet man mit dem Faktor \(180°/\pi \approx 57,3°\) um. Ein Kirchturm von 40 m Höhe in 2 km Entfernung erscheint unter \(\varepsilon \approx 40\,\text{m}/2000\,\text{m} = 0,02\) rad. Das sind \(0,02 \cdot 57,3° \approx 1,15°\).
Den Sehwinkel vergrößert man, indem man den Gegenstand näher ans Auge holt. Das geht nur bis zu einer Grenze, denn das Auge kann nicht beliebig nah scharf stellen. Als Bezug dient die deutliche Sehweite \(s_0 = 25\) cm. In diesem Abstand sieht ein normalsichtiges Auge längere Zeit ohne Anstrengung scharf. Ohne Hilfsmittel ist der bequem erreichbare Sehwinkel daher \(\varepsilon_0 = G/s_0\).
Strahlengang der Lupe
Eine Lupe ist eine Sammellinse mit kurzer Brennweite, die man dicht vor das Auge hält. Mit ihr kann man den Gegenstand näher heranholen, als das Auge allein scharf sehen könnte. Dazu steht der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite, also zwischen Brennpunkt \(F\) und Linse.
In dieser Lage entsteht kein reelles Bild. Die Strahlen laufen hinter der Linse auseinander. Das Auge verlängert sie geradlinig rückwärts und sieht dort ein Bild, wo sich die Verlängerungen treffen. So entsteht ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild auf der Gegenstandsseite. Es liegt weiter von der Linse entfernt als der Gegenstand und lässt sich auf keinem Schirm auffangen. Anders als bei Gegenstandsweiten jenseits von \(f\) entsteht also kein umgekehrtes Bild hinter der Linse (siehe Bildarten der Sammellinse).
Bildkonstruktion erkennen
Die Konstruktion nutzt zwei Strahlen, die vom Pfeilkopf des Gegenstands ausgehen:
- Parallelstrahl: läuft parallel zur Achse ein und wird durch den bildseitigen Brennpunkt \(F'\) gebrochen.
- Mittelpunktstrahl: geht ungebrochen durch die Linsenmitte.
- Rückwärtige Verlängerungen: Beide Strahlen divergieren hinter der Linse. Ihre gestrichelten Verlängerungen schneiden sich vor der Linse im Bildpunkt.
Eine Skizze stellt die Lupe dar, wenn drei Merkmale zusammenkommen. Der Gegenstand steht zwischen \(F\) und Linse. Die Verlängerungen verlaufen gestrichelt auf der Gegenstandsseite. Das Bild ist aufrecht und größer als der Gegenstand. Rückt der Gegenstand genau in die Brennebene, treten die Strahlen parallel aus. Das Bild liegt dann im Unendlichen, und das Auge betrachtet es entspannt.
Vergrößerung der Lupe
Bei der Lupe vergleicht man nicht Bild- und Gegenstandsgröße, denn das virtuelle Bild kann beliebig weit entfernt liegen. Maßgeblich ist, was auf der Netzhaut ankommt. Die Winkelvergrößerung ist deshalb das Verhältnis der Sehwinkel mit und ohne Instrument. Ohne Lupe sieht man den Gegenstand bestenfalls in deutlicher Sehweite unter \(G/s_0\). Mit Lupe und Gegenstand in der Brennebene erscheint er unter \(G/f\). Der Quotient heißt Normalvergrößerung oder konventionelle Vergrößerung.
\[V = \frac{\varepsilon_{\text{mit}}}{\varepsilon_{\text{ohne}}} = \frac{s_0}{f} = s_0 \cdot D\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(V\) | Normal- bzw. Winkelvergrößerung | ohne Einheit |
| \(s_0\) | deutliche Sehweite, 25 cm | m |
| \(f\) | Brennweite der Lupe | m |
| \(D\) | Brechwert, \(D = 1/f\) | dpt = 1/m |
Die Vergrößerung ist umgekehrt proportional zur Brennweite: halbe Brennweite, doppelte Vergrößerung. Mit dem Brechwert steigt sie proportional. Eine Linse mit \(f = 25\) cm bringt gar nichts, denn \(V = 1\). Der Linsendurchmesser kommt in der Formel nicht vor und hat keinen Einfluss auf die Vergrößerung. Eine größere Linse bietet nur ein größeres Gesichtsfeld. Dasselbe Prinzip nutzt das Okular im Mikroskop.
Rechenbeispiel
Eine Lupe hat den Brechwert \(D = 12,5\) dpt. Wie stark vergrößert sie?
- Brennweite bestimmen: \(f = 1/D = 1/(12,5\,\text{m}^{-1}) = 0,08\,\text{m} = 8\) cm.
- Vergrößerung berechnen: \(V = s_0/f = 25\,\text{cm}/8\,\text{cm} \approx 3,1\).
- Gegenprobe mit dem Brechwert: \(V = s_0 \cdot D = 0,25\,\text{m} \cdot 12,5\,\text{m}^{-1} = 3,125\).
Umgekehrt liefert die Vergrößerungsangabe die Brennweite. Für eine Lupe mit der Aufschrift „8x“ gilt \(f = s_0/V = 25\,\text{cm}/8 \approx 3,1\) cm.
Bei \(V = s_0 \cdot D\) muss \(s_0\) in Meter stehen, also 0,25 m, weil 1 dpt = 1/m ist. Wer 25 cm direkt mit Dioptrien multipliziert, erhält einen hundertfach zu großen Wert.
Ein weiterer Fehler ist der Kehrwert \(f/s_0\). Er ergibt für eine starke Lupe einen Wert unter 1, was nicht stimmen kann. Stellt man das Auge auf ein Bild in 25 cm Entfernung ein, wird die Vergrößerung etwas größer, nämlich \(s_0/f + 1\). Als Normalvergrößerung gilt aber \(s_0/f\) für das entspannte Auge.
Quiz
Aussage 1
Eine Lupe mit größerem Linsendurchmesser liefert bei gleicher Brennweite eine stärkere Vergrößerung.
Die Vergrößerung \(V = s_0/f\) hängt nur von der Brennweite ab. Ein größerer Durchmesser vergrößert lediglich das Gesichtsfeld.
Aussage 2
Das Lupenbild liegt auf derselben Seite wie der Gegenstand und ist weiter von der Linse entfernt als dieser.
Die rückwärtigen Verlängerungen der divergierenden Strahlen schneiden sich vor der Linse, weiter außen als der Gegenstand. Das Bild ist virtuell, aufrecht und vergrößert.
Aussage 3
Eine Lupe mit dem Brechwert 16 dpt hat eine Normalvergrößerung von 4.
\(V = s_0 \cdot D = 0,25\,\text{m} \cdot 16\,\text{m}^{-1} = 4\).
Aussage 4
Bei der Abbildung durch eine Lupe befindet sich der Gegenstand zwischen einfacher und doppelter Brennweite.
Bei der Lupe steht der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite, also zwischen Brennpunkt und Linse. Zwischen \(f\) und \(2f\) entstünde ein reelles, umgekehrtes Bild.
Aussage 5
Für kleine Winkel entspricht der Sehwinkel im Bogenmaß näherungsweise dem Quotienten aus Gegenstandsgröße und Entfernung.
Für kleine Winkel gilt \(\tan\varepsilon \approx \varepsilon\), also \(\varepsilon \approx G/g\), sofern \(\varepsilon\) in rad angegeben wird.
Aussage 6
Eine Lupe mit zehnfacher Normalvergrößerung besitzt eine Brennweite von 2,5 mm.
\(f = s_0/V = 25\,\text{cm}/10 = 2,5\) cm, also 25 mm.
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