Kenngrößen sinusförmiger Wechselspannung
Scheitelwert, Spitze-Spitze-Wert, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz einer sinusförmigen Wechselspannung: was sie bedeuten, wie man sie umrechnet und aus Oszillogrammen abliest.
Das Wichtigste in Kürze
- Sinusförmige Wechselspannung verläuft symmetrisch um null, wechselt die Polarität und wird durch Scheitelwert, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschrieben.
- Der Scheitelwert \(\hat{u}\) ist die maximale Auslenkung aus der Nulllage, der Spitze-Spitze-Wert ist doppelt so groß: \(U_\text{ss} = 2\hat{u}\).
- Die Periodendauer ist der Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima oder Minima, benachbarte Nulldurchgänge liegen nur \(T/2\) auseinander.
- Es gilt \(f = n/t = 1/T\) und \(\omega = 2\pi f = 2\pi/T\): 50 Hz entsprechen 20 ms und \(\omega \approx 314\,\mathrm{s^{-1}}\), 4 ms entsprechen 250 Hz.
- Bei der Netzfrequenz von 50 Hz wird ein Kontakt 50-mal pro Sekunde positiv, die Polarität wechselt 100-mal pro Sekunde.
- Im Oszillogramm ergibt Kästchenzahl mal Zeitablenkung die Periode und Kästchenzahl mal Verstärkung die Spannung.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Die Spannung aus der Steckdose ist nicht konstant, sie wechselt periodisch ihr Vorzeichen. Beschreiben lässt sie sich mit wenigen Kenngrößen: Scheitelwert, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz. Mit ihnen wertet man Oszillogramme aus, wie sie Messgeräte in Labor und Analytik liefern.
Verlauf der Wechselspannung
Eine Wechselspannung entsteht zum Beispiel im Generator, wenn sich eine Leiterschleife gleichmäßig im Magnetfeld dreht. Technische Wechselspannung verläuft sinusförmig und symmetrisch um null. Sie ist also eine harmonische Schwingung der Spannung.
Die Kurve liegt gleich lange und gleich weit oberhalb wie unterhalb der Nulllinie. Bei jedem Nulldurchgang wechselt die Polarität: Der Anschluss, der eben Pluspol war, wird zum Minuspol. Den Augenblickswert zur Zeit \(t\) beschreibt
\[u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t)\]
Dabei ist \(\hat{u}\) der Scheitelwert und \(\omega\) die Kreisfrequenz. Beginnt man die Zeitzählung an einem Maximum, erhält man eine Kosinuskurve. Das verschiebt nur den Startpunkt. Alle Kenngrößen bleiben gleich.
Scheitelwert
Die Höhe einer Sinusspannung beschreibt man mit ihrem größten Ausschlag. Er heißt Scheitelwert und entspricht der Amplitude der Schwingung.
Der Scheitelwert \(\hat{u}\) ist die maximale Auslenkung der Spannung aus der Nulllage, gemessen auf der Spannungsachse. Bei der Stromstärke heißt er entsprechend \(\hat{i}\).
Weil die Kurve symmetrisch um null liegt, erreicht sie im Minimum \(-\hat{u}\). Der Abstand vom tiefsten zum höchsten Punkt ist daher doppelt so groß. Diese Differenz zwischen Maximal- und Minimalwert heißt Spitze-Spitze-Wert:
\[U_\text{ss} = \hat{u} - (-\hat{u}) = 2\hat{u}\]
Eine Sinusspannung mit \(\hat{u} = 12\) V hat also \(U_\text{ss} = 24\) V. Für den Strom gilt dasselbe: Ein Strom zwischen +3 A und −3 A hat den Spitze-Spitze-Wert 6 A.
Den Spitze-Spitze-Wert liest man am Oszilloskop oft bequemer ab als den Scheitelwert, weil man die Nulllinie dafür nicht kennen muss. Man misst einfach von Tal zu Gipfel.
Die Differenz zwischen Maximum und Minimum ist der Spitze-Spitze-Wert, nicht der Effektivwert. Der Effektivwert ist sogar kleiner als der Scheitelwert.
Periode und Frequenz
Nach einer bestimmten Zeit wiederholt sich der Verlauf exakt. Diese Zeit ist die Periodendauer \(T\), eingeführt bei den periodischen Vorgängen. Im Diagramm ist sie der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima. Genauso gut kann man den Abstand zweier aufeinanderfolgender Minima nehmen. Bei einer Kosinuskurve, die mit einem Maximum beginnt, misst man oft von Tal zu Tal.
Allgemein gilt: Man braucht zwei Punkte mit gleichem Wert und gleicher Steigungsrichtung. Zwei benachbarte Nulldurchgänge erfüllen das nicht. Einmal fällt die Kurve, einmal steigt sie. Diese Punkte liegen nur \(T/2\) auseinander.
Frequenz
Die Frequenz \(f\) zählt, wie viele Perioden in einer Zeiteinheit ablaufen. Ihre Einheit ist das Hertz, \(1\,\text{Hz} = 1\,\mathrm{s^{-1}}\). Dauert eine Periode kurz, passen viele in eine Sekunde. Frequenz und Periodendauer sind deshalb Kehrwerte voneinander.
\[f = \frac{n}{t} = \frac{1}{T} \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\]
\(n\): Zahl der Perioden, \(t\): Beobachtungszeit in s, \(T\): Periodendauer in s, \(f\): Frequenz in Hz, \(\omega\): Kreisfrequenz in \(\mathrm{s^{-1}}\).
Umgestellt ergibt sich \(T = 1/f\). Die Netzspannung mit 50 Hz hat also \(T = 1/(50\,\mathrm{s^{-1}}) = 0{,}02\) s \(= 20\) ms. Umgekehrt gehören zu \(T = 4\) ms genau \(f = 1/(0{,}004\,\text{s}) = 250\) Hz.
Das Umrechnen mit \(f = 1/T\) wird im Examen gerne gefragt, etwa 50 Hz in 20 ms oder 4 ms in 250 Hz. Rechne Millisekunden vor dem Kehrwert in Sekunden um: \(1/(1\,\text{ms}) = 1000\) Hz \(= 1\) kHz.
Kreisfrequenz
Die Kreisfrequenz \(\omega\) stammt aus dem Bild der rotierenden Leiterschleife. Sie entspricht der Winkelgeschwindigkeit: In einer Periode überstreicht die Schleife den Winkel \(2\pi\). Daraus folgt \(\omega = 2\pi/T\) und umgestellt \(T = 2\pi/\omega\). Für die Netzspannung gilt \(\omega = 2\pi \cdot 50\,\mathrm{s^{-1}} \approx 314\,\mathrm{s^{-1}}\).
Ist die Kreisfrequenz gegeben, erhält man die Periodendauer direkt. Bei \(\omega = 1257\,\mathrm{s^{-1}}\) ist \(T = 2\pi/1257\,\mathrm{s^{-1}} = 0{,}005\) s \(= 5\) ms, also \(f = 200\) Hz.
| Frequenz \(f\) | Periodendauer \(T\) | Kreisfrequenz \(\omega\) |
|---|---|---|
| 50 Hz | 20 ms | \(\approx 314\,\mathrm{s^{-1}}\) |
| 100 Hz | 10 ms | \(\approx 628\,\mathrm{s^{-1}}\) |
| 250 Hz | 4 ms | \(\approx 1571\,\mathrm{s^{-1}}\) |
| 1 kHz | 1 ms | \(\approx 6283\,\mathrm{s^{-1}}\) |
Netzfrequenz und Halbwellen
Das öffentliche Stromnetz arbeitet in Europa mit 50 Hz. Die Frequenz \(16\frac{2}{3}\) Hz gehört dagegen zum Bahnstrom, nicht zur Steckdose.
Jede Periode besteht aus einer positiven und einer negativen Halbwelle. Ein bestimmter Kontakt der Steckdose wird daher einmal je Periode positiv. Bei 50 Hz geschieht das 50-mal pro Sekunde. Die Polarität wechselt aber zweimal je Periode, beim Übergang von Plus nach Minus und zurück. Das ergibt 100 Polaritätswechsel pro Sekunde.
Oszillogramme auswerten
Ein Oszilloskop zeigt den Spannungsverlauf auf einem Raster aus Kästchen, den Divisions (Div). Zwei Einstellungen machen daraus Zahlen. Die Zeitablenkung gibt an, wie viel Zeit ein Kästchen waagerecht bedeutet, etwa 0,5 ms/Div. Die Verstärkung gibt an, wie viel Spannung ein Kästchen senkrecht bedeutet, etwa 2 V/Div.
Diagramme so auszuwerten wird im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist, die Periode zwischen gleichwertigen Punkten zu messen und Scheitelwert und Spitze-Spitze-Wert nicht zu verwechseln.
- Einstellung lesen: Zeit pro Kästchen und Spannung pro Kästchen notieren.
- Periode abzählen: Kästchen von Maximum zu Maximum zählen und mit der Zeitablenkung multiplizieren.
- Höhe abzählen: Kästchen von Tal zu Gipfel zählen, mit der Verstärkung multiplizieren und halbieren. So erhält man \(\hat{u}\).
- Rechnen: \(f = 1/T\) und \(\omega = 2\pi f\).
Im Beispiel der Abbildung umfasst eine Periode 4 Kästchen. Bei 0,5 ms/Div ergibt das \(T = 2\) ms. Daraus folgen \(f = 1/(0{,}002\,\text{s}) = 500\) Hz und \(\omega = 2\pi \cdot 500\,\mathrm{s^{-1}} \approx 3142\,\mathrm{s^{-1}}\). Die Kurve ist 3 Kästchen hoch, also \(U_\text{ss} = 6\) V und \(\hat{u} = 3\) V.
Perioden abzählen
Oft ist es genauer, mehrere Perioden über den ganzen Schirm zu zählen. Dann gilt \(f = n/t\). Ein Beispiel: Der Schirm ist 10 Kästchen breit, die Zeitablenkung beträgt 2 ms/Div. Der ganze Durchlauf dauert also 20 ms. Passen genau 4 vollständige Perioden hinein, ist \(f = 4/(0{,}02\,\text{s}) = 200\) Hz.
Den passenden Verlauf auswählen
Soll man aus mehreren Diagrammen den Verlauf mit gegebener Frequenz und Amplitude finden, geht man rückwärts. Zuerst berechnet man \(T = 1/f\) oder \(T = 2\pi/\omega\). Dann sucht man das Diagramm, in dem die erste volle Periode genau bei diesem Wert der Zeitachse endet. Zuletzt prüft man an der Spannungsachse, ob das Maximum beim geforderten Scheitelwert liegt. Bei 100 Hz und 5 V muss die Kurve also nach 10 ms eine Periode vollendet haben und bis +5 V reichen, nicht bis +10 V.
Kippspannung
Dieselbe Auswertung gilt für nicht sinusförmige periodische Spannungen. Eine Kippspannung hat Sägezahnform. Sie steigt linear an und springt dann senkrecht auf den Anfangswert zurück. Die Periodendauer reicht von einem Rücksprung zum nächsten. Dauert ein Anstieg samt Rücksprung 8 ms, ist \(f = 1/(0{,}008\,\text{s}) = 125\) Hz.
Quiz
Aussage 1
Umfasst eine Periode im Oszillogramm 5 Kästchen bei einer Zeitablenkung von 1 ms/Div, beträgt die Frequenz 200 Hz.
5 Kästchen × 1 ms ergeben \(T = 5\) ms, also \(f = 1/T = 200\) Hz.
Aussage 2
Einer Periodendauer von 5 ms entspricht eine Frequenz von 200 Hz.
\(f = 1/T = 1/(0{,}005\,\text{s}) = 200\) Hz.
Aussage 3
Bei 50 Hz wird ein bestimmter Steckdosenkontakt 100-mal pro Sekunde positiv.
Je Periode gibt es eine positive Halbwelle, also wird der Kontakt 50-mal pro Sekunde positiv. 100-mal pro Sekunde wechselt die Polarität.
Aussage 4
Eine Sinusspannung mit dem Scheitelwert 8 V hat einen Spitze-Spitze-Wert von 16 V.
Die Kurve reicht von −8 V bis +8 V, also gilt \(U_\text{ss} = 2\hat{u} = 16\) V.
Aussage 5
Die Spannung an der Haushaltssteckdose hat eine Frequenz von \(16\frac{2}{3}\) Hz.
Das öffentliche Netz arbeitet mit 50 Hz. \(16\frac{2}{3}\) Hz ist die Frequenz des Bahnstroms.
Aussage 6
Zwei benachbarte Nulldurchgänge einer Sinusspannung liegen eine volle Periodendauer auseinander.
Zwischen benachbarten Nulldurchgängen liegt nur \(T/2\), weil die Kurve einmal fällt und einmal steigt. Die volle Periode reicht von Maximum zu Maximum oder von Minimum zu Minimum.
Aussage 7
Ein Wechselstrom mit der Kreisfrequenz \(\omega \approx 314\,\mathrm{s^{-1}}\) hat eine Periodendauer von etwa 20 ms.
\(T = 2\pi/\omega = 6{,}28/314\,\mathrm{s^{-1}} \approx 0{,}02\) s \(= 20\) ms, das entspricht 50 Hz.
Aussage 8
Die Differenz zwischen Maximal- und Minimalwert eines sinusförmigen Stroms bezeichnet man als seinen Effektivwert.
Diese Differenz ist der Spitze-Spitze-Wert. Der Effektivwert ist sogar kleiner als der Scheitelwert.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.