Leistung am ohmschen Widerstand, Joule’sche Wärme
Wie man die Leistung an ohmschen Widerständen und in einfachen Schaltungen berechnet und warum dabei Joule’sche Wärme entsteht.
Das Wichtigste in Kürze
- Am ohmschen Widerstand wird die elektrische Leistung \(P = U \cdot I\) vollständig in Wärme umgesetzt und lässt sich mit dem Ohm’schen Gesetz als \(P = I^2 R\) oder \(P = U^2/R\) schreiben.
- Bei festem Strom gilt \(P \sim R\), bei fester Spannung \(P \sim 1/R\).
- Doppelte Spannung an einem festen Widerstand ergibt die vierfache Leistung, halbe Spannung ein Viertel.
- Einzelleistungen addieren sich; zwei gleiche Widerstände an fester Spannung nehmen parallel die doppelte, in Reihe die halbe Leistung eines einzelnen auf.
- Die Joule’sche Wärme ist \(Q = I^2 R t = U^2 t/R\); bei gleichem Strom erwärmt sich der dünnste Drahtabschnitt am stärksten.
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Worum es geht
Am ohmschen Widerstand wird die elektrische Energie vollständig in Wärme umgewandelt. Mit dem Ohm’schen Gesetz lässt sich die Leistung allein aus Strom oder Spannung und dem Widerstand berechnen. Das erklärt, warum der Heizdraht eines Tauchsieders heiß wird, die Zuleitung aber kaum.
P = I²R und P = U²/R
Die Grundformel \(P = U \cdot I\) kennst du aus der Einheit zur elektrischen Leistung. Am ohmschen Widerstand gilt zusätzlich das Ohm’sche Gesetz \(U = R \cdot I\). Ersetzt man darin \(U\) durch \(R \cdot I\), folgt \(P = I^2 R\). Ersetzt man \(I\) durch \(U/R\), folgt \(P = U^2/R\).
\[P = U \cdot I = I^2 \cdot R = \frac{U^2}{R}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(P\) | am Widerstand umgesetzte Leistung | W (Watt) = V·A |
| \(U\) | Spannung am Widerstand | V (Volt) |
| \(I\) | Stromstärke durch den Widerstand | A (Ampere) |
| \(R\) | ohmscher Widerstand | Ω (Ohm) = V/A |
Welche Form wann?
Alle drei Formen liefern dasselbe Ergebnis. Man wählt die Form, deren Größen gegeben sind. Physikalisch steckt aber ein Unterschied darin, welche Größe festliegt.
Ist der Strom fest, etwa in einer Reihenschaltung, gilt \(P \sim R\). Der größere Widerstand setzt dann mehr Leistung um. Ist die Spannung fest, etwa an der Steckdose, gilt \(P \sim 1/R\). Bei konstanter Spannung ist die Leistung also umgekehrt proportional zum Widerstand. Der kleinere Widerstand lässt einen größeren Strom durch und nimmt mehr auf. Ein Wasserkocher hat deshalb einen kleinen Widerstand, eine Nachtlampe einen großen.
Spannung und Strom gehen quadratisch ein. Verdoppelt man die Spannung an einem festen Widerstand, verdoppelt sich nach Ohm auch der Strom. Beide Faktoren in \(P = U \cdot I\) wachsen, die Leistung vervierfacht sich. Halbe Spannung ergibt ein Viertel der Leistung. Für den Strom gilt dasselbe: dreifacher Strom, neunfache Leistung.
Die Formen \(P = I^2 R\) und \(P = U^2/R\) werden im Examen gerne gefragt. Quadriert wird immer \(I\) oder \(U\), nie \(R\). Ausdrücke wie \(P = I \cdot R^2\) oder \(P = U/R^2\) sind falsch, was eine Einheitenprobe sofort zeigt: Nur \(\mathrm{A^2 \cdot \Omega}\) und \(\mathrm{V^2/\Omega}\) ergeben Watt.
Rechnen mit Einheitenvorsätzen
Die meisten Rechenfehler entstehen bei den Vorsätzen Mega, Milli und Mikro. Rechne deshalb zuerst alles in Grundeinheiten um und setze dann ein.
Ein Mikroampere zum Quadrat ergibt \(10^{-12}\,\mathrm{A^2}\), nicht \(10^{-6}\,\mathrm{A^2}\). Wer den Vorsatz nur einmal zählt, liegt um den Faktor \(10^6\) daneben.
Beispiel: Durch einen Widerstand von \(2\,\mathrm{M\Omega}\) fließen \(5\,\mu\mathrm{A}\).
- Umrechnen: \(R = 2 \cdot 10^6\,\Omega\) und \(I = 5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{A}\).
- Quadrieren: \(I^2 = 25 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{A^2}\).
- Einsetzen: \(P = 25 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{A^2} \cdot 2 \cdot 10^6\,\Omega = 50 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{W} = 50\,\mu\mathrm{W}\).
Oft ist der Widerstand gesucht. Dann stellt man um: \(R = P/I^2\) oder \(R = U^2/P\). Ein häufiger Fehler ist hier der Kehrwert, etwa \(P/U^2\) statt \(U^2/P\). Die Einheit hilft: \(\mathrm{V^2/W}\) ergibt Ohm. Im Kurzschluss einer Quelle setzt allein ihr Innenwiderstand \(R_i\) die Leistung um, also \(P = I^2 R_i = U_0^2/R_i\) mit der Leerlaufspannung \(U_0\).
| Situation | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Einzelwiderstand in Reihe: \(I = 20\,\mathrm{mA}\), \(R = 150\,\Omega\) | \(P = (0{,}02\,\mathrm{A})^2 \cdot 150\,\Omega\) | \(0{,}06\,\mathrm{W} = 60\,\mathrm{mW}\) |
| Tauchsieder: \(P = 920\,\mathrm{W}\), \(I = 4\,\mathrm{A}\) | \(R = 920\,\mathrm{W}/16\,\mathrm{A^2}\) | \(57{,}5\,\Omega\) |
| Glühlampe: \(U = 230\,\mathrm{V}\), \(P = 40\,\mathrm{W}\) | \(R = 52900\,\mathrm{V^2}/40\,\mathrm{W}\) | \(\approx 1{,}3\,\mathrm{k\Omega}\) |
| Akku im Kurzschluss: \(U_0 = 12\,\mathrm{V}\), \(R_i = 0{,}05\,\Omega\) | \(P = 144\,\mathrm{V^2}/0{,}05\,\Omega\) | \(2880\,\mathrm{W}\) |
Leistung in Schaltungen
Jeder Verbraucher wandelt elektrische Energie um, und die Quelle muss sie liefern. Deshalb addieren sich die Einzelleistungen zur Gesamtleistung, ganz gleich, wie die Verbraucher geschaltet sind:
\[P_{ges} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots\]
Alternativ rechnet man mit dem Ersatzwiderstand und der Gesamtspannung. Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Wie groß die Einzelleistungen sind, hängt von der Schaltung ab. An fester Spannung gilt \(P = U^2/R\), entscheidend ist also der Gesamtwiderstand. Wie man ihn bestimmt, zeigen die Einheiten zur Reihenschaltung und zur Parallelschaltung.
- Jeder Widerstand liegt an der vollen Spannung \(U\).
- Jeder nimmt so viel auf wie allein.
- Der Gesamtwiderstand sinkt, die Gesamtleistung steigt.
- Zwei gleiche: \(R_{ges} = R/2\), \(P_{ges} = 2P\).
- Die Spannung teilt sich auf, zwei gleiche erhalten je \(U/2\).
- Derselbe Strom fließt durch alle.
- Der Gesamtwiderstand steigt, die Gesamtleistung sinkt.
- Zwei gleiche: \(R_{ges} = 2R\), \(P_{ges} = P/2\).
Eine Parallelschaltung nimmt an derselben Spannung also immer mehr Leistung auf als jeder ihrer Widerstände allein. Schaltet man dagegen einen zweiten gleichen Widerstand in Reihe, sinkt die Gesamtleistung auf die Hälfte. Das überrascht zunächst, denn es sind ja zwei Verbraucher. Doch der doppelte Widerstand halbiert den Strom, und jeder Widerstand erhält nur die halbe Spannung. Nach \(P = U^2/R\) setzt jeder ein Viertel um, beide zusammen die Hälfte.
Dieser Vergleich wird im Examen gerne gefragt. Unterscheide dabei sauber zwischen der Leistung einer einzelnen Lampe in Reihe (ein Viertel) und der Gesamtleistung (die Hälfte).
Beispiel: Zwei gleiche Lampen mit je \(60\,\mathrm{W}\) bei \(230\,\mathrm{V}\) werden in Reihe an \(230\,\mathrm{V}\) angeschlossen.
- Widerstand einer Lampe: \(R = U^2/P = (230\,\mathrm{V})^2/60\,\mathrm{W} \approx 882\,\Omega\).
- Ersatzwiderstand: \(R_{ges} = 2R \approx 1763\,\Omega\).
- Gesamtleistung: \(P_{ges} = 52900\,\mathrm{V^2}/1763\,\Omega = 30\,\mathrm{W}\).
- Kontrolle: Jede Lampe erhält \(115\,\mathrm{V}\) und setzt \((115\,\mathrm{V})^2/882\,\Omega = 15\,\mathrm{W}\) um, zusammen \(30\,\mathrm{W}\).
Schneller geht es mit Verhältnissen: doppelter Widerstand an gleicher Spannung, halbe Leistung. Parallel geschaltet nehmen dieselben Lampen zusammen \(120\,\mathrm{W}\) auf.
Die Rechnung nimmt an, dass \(R\) konstant bleibt. Ein echter Glühfaden ist kalt niederohmiger als heiß, die Werte sind also Näherungen.
Joule’sche Wärme
Fließt Strom durch einen Leiter, stoßen die Elektronen ständig mit den Atomrümpfen des Metallgitters zusammen. Dabei geben sie Energie ab. Das Gitter schwingt stärker, der Leiter wird warm. Am ohmschen Widerstand wird so die gesamte elektrische Leistung in Wärme umgewandelt.
Die Joule’sche Wärme ist die Wärmemenge, die beim Stromfluss in einem ohmschen Widerstand entsteht. Sie ist proportional zur dort umgesetzten elektrischen Leistung und zur Dauer des Stromflusses.
Die Wärmemenge ist Leistung mal Zeit. Mit den Leistungsformen aus dem ersten Abschnitt folgt:
\[Q = P \cdot t = I^2 \cdot R \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t\]
Dabei ist \(Q\) die Wärmemenge in Joule, \(t\) die Dauer in Sekunden, und es gilt \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{W \cdot s}\). Daraus lassen sich die Abhängigkeiten direkt ablesen:
- Bei konstantem Widerstand steigt die Wärme mit der Stromstärke, und zwar quadratisch.
- Bei konstantem Strom steigt die Wärme proportional zum Widerstand.
- Bei konstantem Strom wächst die Wärme linear mit der Zeit: doppelte Dauer, doppelte Wärmemenge.
- Bei konstanter Spannung sinkt die Wärme, wenn der Widerstand steigt.
Welcher Drahtabschnitt wird am heißesten?
Ein Draht mit wechselndem Querschnitt ist eine Reihenschaltung seiner Abschnitte. Durch alle fließt derselbe Strom, also gilt \(P \sim R\). Der Widerstand eines Leiters ist bei gleichem Material und gleicher Länge umgekehrt proportional zu seinem Querschnitt. Der dünnste Abschnitt hat daher den größten Widerstand und erwärmt sich am stärksten. Man kann ihn sich wie eine Engstelle im Flur vorstellen, durch die alle hindurchmüssen und an der das meiste Gedränge entsteht.
Nach diesem Prinzip arbeitet die Schmelzsicherung. Ihr dünner Draht schmilzt bei zu hohem Strom zuerst und unterbricht den Kreis. Wie die Wärme danach an die Umgebung abgegeben wird, behandelt die Wärmeleitung.
Gleicher Strom: Der dünne Draht glüht. Gleiche Spannung: Der kleine Widerstand zieht die große Leistung.
Beispiel: Eine Heizfolie mit \(R = 6\,\Omega\) liegt 5 Minuten an \(12\,\mathrm{V}\).
- Zeit umrechnen: \(t = 5\,\mathrm{min} = 300\,\mathrm{s}\).
- Leistung: \(P = U^2/R = (12\,\mathrm{V})^2/6\,\Omega = 24\,\mathrm{W}\).
- Wärmemenge: \(Q = 24\,\mathrm{W} \cdot 300\,\mathrm{s} = 7200\,\mathrm{J} = 7{,}2\,\mathrm{kJ}\).
- Probe über den Strom: \(I = U/R = 2\,\mathrm{A}\), also \(Q = (2\,\mathrm{A})^2 \cdot 6\,\Omega \cdot 300\,\mathrm{s} = 7200\,\mathrm{J}\).
Der typische Fehler liegt hier bei der Zeit. Setzt man Minuten oder Stunden ein, erhält man keine Joule. Mit Stunden ergeben sich Wattstunden, für Joule braucht man Sekunden.
Quiz
Aussage 1
Liegen zwei verschiedene ohmsche Widerstände einzeln an derselben Spannung, nimmt der größere Widerstand die größere Leistung auf.
Bei fester Spannung gilt \(P = U^2/R\), die Leistung ist umgekehrt proportional zum Widerstand. Der kleinere Widerstand nimmt mehr Leistung auf.
Aussage 2
Schaltet man an fester Spannung zu einem Widerstand einen zweiten gleichen in Reihe, nehmen beide zusammen nur noch die Hälfte der vorherigen Leistung auf.
Der Gesamtwiderstand verdoppelt sich, nach \(P = U^2/R\) halbiert sich die Gesamtleistung. Jeder einzelne setzt ein Viertel um.
Aussage 3
Eine Glühlampe mit \(100\,\mathrm{W}\) bei \(230\,\mathrm{V}\) hat im Betrieb einen Widerstand von \(529\,\Omega\).
\(R = U^2/P = 52900\,\mathrm{V^2}/100\,\mathrm{W} = 529\,\Omega\).
Aussage 4
Ein Widerstand von \(5\,\Omega\) an \(10\,\mathrm{V}\) erzeugt in einer Minute eine Wärmemenge von \(1200\,\mathrm{J}\).
\(P = U^2/R = 100\,\mathrm{V^2}/5\,\Omega = 20\,\mathrm{W}\), also \(Q = 20\,\mathrm{W} \cdot 60\,\mathrm{s} = 1200\,\mathrm{J}\).
Aussage 5
Fließt derselbe Strom durch einen Draht mit Abschnitten unterschiedlichen Querschnitts, erwärmt sich der dickste Abschnitt am stärksten.
Bei gleichem Strom gilt \(P \sim R\). Der dünnste Abschnitt hat den größten Widerstand und wird am heißesten.
Aussage 6
Verdreifacht man die Stromstärke durch einen festen ohmschen Widerstand, steigt die umgesetzte Leistung auf das Neunfache.
Wegen \(P = I^2 R\) geht der Strom quadratisch ein: \(3^2 = 9\).
Aussage 7
Die Leistung an einem ohmschen Widerstand erhält man als Produkt aus der Stromstärke und dem Quadrat des Widerstands.
Quadriert wird der Strom, nicht der Widerstand: \(P = I^2 R\). Die Einheit \(\mathrm{A \cdot \Omega^2}\) ergibt kein Watt.
Aussage 8
Zwei parallel geschaltete Widerstände nehmen an fester Spannung zusammen weniger Leistung auf als einer von ihnen allein.
Parallel liegt jeder an der vollen Spannung, die Einzelleistungen addieren sich. Die Gesamtleistung ist größer als die eines einzelnen Widerstands.
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