Gewichtskraft, Masse und Gravitation
Wie sich die ortsunabhängige Masse von der ortsabhängigen Gewichtskraft unterscheidet, wie das Gravitationsgesetz von Massen und Abstand abhängt und was eine Federwaage im beschleunigten Aufzug anzeigt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) ist die Anziehungskraft eines Himmelskörpers auf eine Masse, mit der Fallbeschleunigung \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) auf der Erde.
- Die Masse ist ortsunabhängig und auf dem Mond gleich groß, die Gewichtskraft ist dort wegen des kleineren \(g\) kleiner.
- Gleich große Kugeln unterschiedlicher Dichte haben verschiedene Massen und damit verschiedene Gewichtskräfte.
- Das Gravitationsgesetz \(F = G \cdot m_1 m_2 / r^2\): Kraft proportional zum Produkt der Massen, umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat; an der Erdoberfläche zeigt sie zum Erdmittelpunkt.
- Im nach oben beschleunigten Aufzug wirkt \(g + a\), die Federwaage zeigt \(m \cdot (g + a)/g\) und damit mehr als in Ruhe.
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Worum es geht
Jede Waage in der Apotheke misst eigentlich eine Kraft, nämlich die Gewichtskraft, und rechnet sie in eine Masse um. Deshalb muss man Masse und Gewichtskraft sauber trennen. Beide hängen über die Fallbeschleunigung zusammen, und diese folgt aus dem Gravitationsgesetz.
Masse und Gewichtskraft
Die Masse \(m\) gibt an, wie viel Materie ein Körper enthält und wie träge er ist. Sie hängt nicht vom Ort ab. Die Gewichtskraft \(F_G\) ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper den Körper anzieht. Sie folgt aus dem Grundgesetz der Dynamik, wenn man als Beschleunigung die örtliche Fallbeschleunigung \(g\) einsetzt.
\[F_G = m \cdot g\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_G\) | Gewichtskraft (oft auch \(G\)) | N = kg·m/s² |
| \(m\) | Masse | kg |
| \(g\) | Fallbeschleunigung | m/s² |
Die Fallbeschleunigung ist die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers ohne Luftreibung. Auf der Erde beträgt sie 9,81 m/s². Für Rechnungen genügt \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\). Ein Körper von 1 kg wiegt also rund 10 N.
Die Gewichtskraft ist proportional zur Masse: doppelte Masse, doppelte Gewichtskraft. Sie ist ebenso proportional zu \(g\). Wird \(g\) kleiner, sinkt auch \(F_G\), die Masse bleibt dabei unverändert.
Erde und Mond
Auf dem Mond beträgt \(g\) nur etwa 1,6 m/s², rund ein Sechstel des Erdwerts. Ein Astronaut mit 80 kg hat dort weiterhin 80 kg Masse. Seine Gewichtskraft sinkt aber von etwa 800 N auf etwa 130 N. Auf der Erde ist die Gewichtskraft eines Körpers also größer als auf dem Mond.
Dichte und Gewichtskraft
Die Masse eines Körpers ergibt sich aus Dichte und Volumen: \(m = \rho \cdot V\). Zwei gleich große Kugeln aus Aluminium (2,7 g/cm³) und Blei (11,3 g/cm³) haben deshalb verschiedene Massen. Auf die Bleikugel wirkt eine gut viermal so große Gewichtskraft.
Ein häufiger Fehler ist das Vermischen der Einheiten. Die Masse steht in Kilogramm, die Gewichtskraft in Newton. Eine Waage mit kg-Skala misst die Kraft und teilt sie durch den Normwert von \(g\).
Ein Examensklassiker: Die Masse ist ortsunabhängig und auf dem Mond gleich groß wie auf der Erde. Die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) ist dort kleiner, weil \(g\) kleiner ist. Achte darauf, welche der beiden Größen gemeint ist.
Gravitationsgesetz
Die Gewichtskraft ist ein Sonderfall der Gravitation. Je zwei Massen ziehen sich gegenseitig an. Das Gravitationsgesetz beschreibt, wie stark.
\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F\) | Gravitationskraft | N |
| \(G\) | Gravitationskonstante, \(6{,}67 \cdot 10^{-11}\) | N·m²/kg² |
| \(m_1\), \(m_2\) | die beiden Massen | kg |
| \(r\) | Abstand der Massenmittelpunkte | m |
Die Gravitationskonstante \(G\) ist eine Naturkonstante. Sie ist so winzig, dass die Anziehung zwischen zwei Tablettendosen unmessbar klein bleibt. Erst eine Masse wie die der Erde erzeugt eine spürbare Kraft. Verwechsle dieses \(G\) nicht mit dem Formelzeichen \(G\) für die Gewichtskraft.
Richtung der Anziehung
Die Gravitationskraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Mittelpunkte. An der Erdoberfläche zeigt sie deshalb überall zum Erdmittelpunkt. Das gilt am Pol, am Äquator und auf der Südhalbkugel gleichermaßen. Sie verläuft also nicht parallel zur Erdachse.
Auch ein Satellit auf seiner Umlaufbahn wird von der Erde angezogen. Gerade diese Anziehung hält ihn auf der Kreisbahn.
Proportionalitäten nutzen
Die Kraft wächst mit dem Produkt der Massen und fällt mit dem Quadrat des Abstands. Doppelter Abstand liefert ein Viertel der Kraft, dreifacher Abstand ein Neuntel.
Änderungen schätzt man ab, indem man die Faktoren in die Formel einsetzt und die Konstante weglässt.
| Änderung | Rechnung | neue Kraft |
|---|---|---|
| beide Massen verdoppelt | \(2 \cdot 2\) | \(4F\) |
| Abstand halbiert | \(1/(1/2)^2\) | \(4F\) |
| eine Masse halbiert, andere verdoppelt | \(\tfrac{1}{2} \cdot 2\) | \(F\) |
| beide Massen und Abstand verdoppelt | \((2 \cdot 2)/2^2\) | \(F\) |
| Abstand verdreifacht | \(1/3^2\) | \(F/9\) |
Entfernt sich ein Körper von der Mondoberfläche, wächst sein Abstand zum Mondmittelpunkt. Die Anziehung des Mondes nimmt dann ab. Zwei typische Fehler: Man vergisst das Quadrat, oder man misst \(r\) von der Oberfläche statt vom Mittelpunkt.
Gewicht im beschleunigten Aufzug
Ein Körper hängt an einer Federwaage in einer Aufzugkabine. Auf ihn wirken die Gewichtskraft nach unten und die Federkraft nach oben. In Ruhe oder bei gleichförmiger Fahrt sind beide gleich groß.
Beschleunigt der Aufzug mit \(a\) nach oben, muss der Körper mitbeschleunigt werden. Die Federkraft muss dann überwiegen: \(F_F - m \cdot g = m \cdot a\), also \(F_F = m \cdot (g + a)\). Der Körper verhält sich, als wirke eine größere Fallbeschleunigung \(g + a\). Die Waage zeigt deshalb mehr an als in Ruhe.
Eine in kg geeichte Federwaage teilt die Federkraft durch \(g\). Ihre Anzeige ist \(m_{\text{Anzeige}} = m \cdot \frac{g + a}{g}\), wobei \(m\) die Ruheanzeige ist.
- Ausgangswerte: Ruheanzeige 5,0 kg, Aufzugsbeschleunigung 2,0 m/s² nach oben, \(g = 10\,\mathrm{m/s^2}\).
- Wirksame Beschleunigung: \(g + a = 12\,\mathrm{m/s^2}\).
- Federkraft: \(F_F = 5{,}0\,\mathrm{kg} \cdot 12\,\mathrm{m/s^2} = 60\,\mathrm{N}\).
- Anzeige: \(60\,\mathrm{N} / 10\,\mathrm{m/s^2} = 6{,}0\,\mathrm{kg}\).
Beschleunigt der Aufzug nach unten, gilt entsprechend \(g - a\), und die Anzeige sinkt. Die Masse des Körpers ändert sich in keinem Fall, nur die angezeigte Kraft.
Quiz
Aussage 1
Eine Federwaage, die in Ruhe 4,0 kg anzeigt, zeigt im mit 2,5 m/s² nach oben beschleunigten Aufzug bei \(g = 10\,\mathrm{m/s^2}\) etwa 5,0 kg an.
\(m_{\text{Anzeige}} = 4{,}0\,\mathrm{kg} \cdot 12{,}5/10 = 5{,}0\,\mathrm{kg}\).
Aussage 2
Auf eine Bleikugel und eine gleich große Aluminiumkugel wirkt auf der Erde dieselbe Gewichtskraft.
Blei hat die größere Dichte. Bei gleichem Volumen ist seine Masse größer und damit auch seine Gewichtskraft.
Aussage 3
Werden beide Massen und zugleich ihr Abstand verdoppelt, bleibt die Gravitationskraft zwischen ihnen gleich.
Das Massenprodukt wird vervierfacht, das Abstandsquadrat ebenfalls. Die Faktoren heben sich auf.
Aussage 4
Ein Körper mit 60 kg Masse auf der Erde hat auf dem Mond ebenfalls 60 kg Masse, aber eine kleinere Gewichtskraft.
Die Masse ist ortsunabhängig. Die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) sinkt, weil \(g\) auf dem Mond nur etwa 1,6 m/s² beträgt.
Aussage 5
Am Äquator verläuft die Erdanziehungskraft parallel zur Erdachse.
Die Erdanziehung zeigt an jedem Punkt der Oberfläche zum Erdmittelpunkt, am Äquator also senkrecht zur Erdachse.
Aussage 6
Halbiert man den Abstand zweier Massen, verdoppelt sich ihre Gravitationskraft.
Die Kraft hängt vom Quadrat des Abstands ab. Halber Abstand ergibt die vierfache Kraft.
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