Potenzfunktionen im doppelt-logarithmischen Diagramm
Wie man Potenzgesetze durch doppelt-logarithmische Auftragung in Geraden verwandelt und aus einer solchen Geraden Exponent und Vorfaktor der Funktion abliest.
Das Wichtigste in Kürze
- Die doppelt-logarithmische Darstellung trägt \(\lg y\) gegen \(\lg x\) auf und macht jede Potenzfunktion \(y = a \cdot x^n\) zu einer Geraden mit \(\lg y = n \lg x + \lg a\).
- Die Steigung der Geraden ist der Exponent \(n\), mit \(\ln\) statt \(\lg\) ändert sie sich nicht. Umgekehrt zeigt eine doppelt-logarithmische Gerade ein Potenzgesetz an.
- \(y = 1/x\) ergibt eine fallende Gerade mit Steigung −1 durch (1, 1), wie jede Potenzfunktion mit \(a = 1\).
- \(b = C/\sqrt{J}\) gibt in \(\ln b\) gegen \(\ln J\) die Steigung −1/2. Beim Abstandsgesetz \(I = C/R^2\) gibt \(\lg I\) über \(\lg R\) die Steigung −2, und \(I\) über \(1/R^2\) eine Ursprungsgerade.
- Der Vorfaktor \(a\) ist der y-Wert bei \(x = 1\), nicht der Schnittpunkt mit einer beliebig gezeichneten Achse. Die Steigung liest man über ganze Dekaden ab.
Worum es geht
Viele Gesetze in Physik und Pharmazie sind Potenzgesetze der Form \(y = a \cdot x^n\), vom Abstandsgesetz der Strahlung bis zur Pendelformel. Trägt man beide Achsen logarithmisch auf, werden sie zu Geraden, deren Steigung direkt den Exponenten verrät. Damit lassen sich Messwerte prüfen und unbekannte Zusammenhänge aus einem Diagramm ablesen.
Potenzfunktion als Gerade
Eine Potenzfunktion hat die Form \(y = a \cdot x^n\). Der Vorfaktor \(a\) streckt die Kurve, der Exponent \(n\) bestimmt ihre Form. Im linearen Diagramm ist sie gekrümmt, außer im trivialen Fall \(n = 1\). Logarithmiert man beide Seiten, wird nach den Logarithmengesetzen aus dem Produkt eine Summe und aus dem Exponenten ein Faktor:
\[\lg y = n \cdot \lg x + \lg a\]
Setzt man \(Y = \lg y\) und \(X = \lg x\), steht dort \(Y = nX + \lg a\). Das ist eine Geradengleichung mit der Steigung \(n\) und dem Achsenabschnitt \(\lg a\).
Auftragung, bei der beide Achsen logarithmisch geteilt sind. Sie entspricht der Auftragung von \(\lg y\) gegen \(\lg x\) und macht jede Potenzfunktion \(y = a \cdot x^n\) zu einer Geraden.
Ob man mit \(\lg\) oder \(\ln\) logarithmiert, ändert die Steigung nicht. Beim Wechsel werden beide Achsen um denselben Faktor 2,303 gestreckt. Das Verhältnis von Höhe zu Breite bleibt also gleich, und auch \(\ln y\) gegen \(\ln x\) liefert die Steigung \(n\).
Die Gerade entsteht nur, wenn beide Achsen logarithmisch sind. Anders als die Exponentialfunktion, die schon im halblogarithmischen Diagramm gerade wird, bleibt die Potenzfunktion dort gekrümmt. Denn \(\lg y\) hängt bei ihr von \(\lg x\) linear ab, nicht von \(x\) selbst.
Der Schluss gilt auch rückwärts. Liegen Messpunkte im doppelt-logarithmischen Diagramm auf einer Geraden, folgen sie einem Potenzgesetz. Die Steigung der Geraden ist sein Exponent.
Ein einfaches Beispiel ist \(y = 1/x = x^{-1}\). Logarithmiert ergibt sich \(\lg y = -\lg x\), also eine fallende Gerade mit der Steigung −1. Bei \(x = 1\) ist \(y = 1\), die Gerade läuft durch den Punkt (1, 1). Das gilt für jede Potenzfunktion mit \(a = 1\), denn \(1^n = 1\). Deshalb schneiden sich in der Abbildung alle drei Geraden in diesem Punkt.
Wer Wurzeln und Brüche sicher als Potenzen schreibt, kennt die Steigung sofort:
| Funktion | als Potenz | Steigung doppelt-logarithmisch |
|---|---|---|
| \(y = x^2\) | \(x^{2}\) | 2 |
| \(y = \sqrt{x}\) | \(x^{1/2}\) | 1/2 |
| \(y = 1/x\) | \(x^{-1}\) | −1 |
| \(y = 1/\sqrt{x}\) | \(x^{-1/2}\) | −1/2 |
| \(y = 1/x^2\) | \(x^{-2}\) | −2 |
Wird im Examen gerne gefragt: \(y = a \cdot x^n\) wird erst bei doppelt-logarithmischer Auftragung (\(\lg y\) gegen \(\lg x\) oder \(\ln y\) gegen \(\ln x\)) zur Geraden, und zwar mit der Steigung \(n\). Achte auf das Vorzeichen: Steht \(x\) im Nenner, ist \(n\) negativ und die Gerade fällt.
Linearisierung von Potenzgesetzen
In der Praxis stehen Potenzgesetze selten in der Form \(a \cdot x^n\) da. Meist tauchen eine Wurzel oder ein Bruch auf. Der Weg zur Geraden ist trotzdem immer derselbe:
- Als Potenz schreiben: Wurzeln und Brüche in Exponenten übersetzen, etwa \(1/\sqrt{J} = J^{-1/2}\).
- Logarithmieren: Das Produkt wird zur Summe, der Exponent zum Faktor vor dem Logarithmus.
- Achsen zuordnen: Der Logarithmus der Variablen kommt auf die x-Achse, der Exponent ist die Steigung, der Logarithmus des Vorfaktors der Achsenabschnitt.
Für ein Wurzelgesetz wie \(b = C/\sqrt{J} = C \cdot J^{-1/2}\) ergibt das:
\[\ln b = \ln C - \tfrac{1}{2} \ln J\]
Trägt man \(\ln b\) gegen \(\ln J\) auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung −1/2. Ihr Achsenabschnitt ist \(\ln C\).
Beim quadratischen Abstandsgesetz fällt die Intensität \(I\) einer punktförmigen Quelle mit dem Quadrat des Abstands \(R\), also \(I = C/R^2\). Logarithmiert:
\[\lg I = \lg C - 2 \lg R\]
Die Auftragung von \(\lg I\) über \(\lg R\) liefert eine Gerade der Steigung −2.
Kennt man den Exponenten schon, geht es auch ohne Logarithmen. Man trägt \(I\) über \(1/R^2\) auf und erhält eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(C\). Die x-Achse muss dafür genau die Potenz von \(R\) enthalten, die im Gesetz steht. \(I\) über \(R\) ergibt dagegen eine fallende Kurve, die sich der Achse annähert.
Weil \(R^2\) im Nenner steht, linearisiert erst \(1/R^2\) die Messwerte. Die Auftragung von \(I\) über \(R^2\) bleibt eine gekrümmte, fallende Kurve.
Die doppelt-logarithmische Auftragung hat einen Vorteil. Sie setzt den Exponenten nicht voraus, sondern liefert ihn als Steigung. Deshalb eignet sie sich, um ein unbekanntes Potenzgesetz in Messwerten zu finden. Für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels gilt etwa \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\), also \(T \propto l^{1/2}\). Die Auftragung \(\lg T\) gegen \(\lg l\) ergibt eine Gerade der Steigung 1/2.
Funktion aus der Geraden
Der Weg vom Diagramm zur Funktion kehrt die Linearisierung um. Grundlage ist wieder \(\lg y = n \lg x + \lg a\). Aus der Steigung folgt der Exponent \(n\), aus dem Wert bei \(x = 1\) der Vorfaktor \(a\). Diese Auswertung wird im Examen gerne gefragt, für steigende wie für fallende Geraden.
- Exponent bestimmen: Zwei gut ablesbare Punkte wählen, am besten auf ganzen Zehnerpotenzen. Dann gilt \(n = \dfrac{\lg y_2 - \lg y_1}{\lg x_2 - \lg x_1}\).
- Vorfaktor ablesen: Den y-Wert bei \(x = 1\) suchen. Dort ist \(\lg x = 0\), also \(y = a\).
- Gleichung aufstellen: \(y = a \cdot x^n\) hinschreiben und an einem zweiten Punkt prüfen.
Die Steigung zählt man in Dekaden, nicht in Zentimetern. Steigt \(y\) über eine Dekade in \(x\) um zwei Dekaden, ist \(n = 2\). Mit dem Lineal messen darf man nur, wenn beide Achsen gleich lange Dekaden haben.
Der Vorfaktor liegt bei \(x = 1\), nicht unbedingt dort, wo die gezeichnete y-Achse sitzt. Ein logarithmisches Raster hat keinen Nullpunkt, die Achse beginnt oft bei \(x = 0{,}1\) oder \(x = 10\). In der folgenden Abbildung beginnt sie bei \(x = 0{,}1\). Der Schnittpunkt mit dieser Achse ist dort also nicht der Vorfaktor.
Doppelt-logarithmische Gerade: Steigung gleich Exponent, y-Wert bei \(x = 1\) gleich Vorfaktor.
Drei typische Ablesungen zeigen, wie das aussieht:
| Ablesung | Exponent \(n\) | Vorfaktor \(a\) | Funktion |
|---|---|---|---|
| Steigung 1, durch (1, 10) | 1 | 10 | \(y = 10\,x\) |
| Steigung 1/2, durch (1, 1) | 1/2 | 1 | \(y = \sqrt{x}\) |
| fallend durch (1, 100) und (10, 1) | \(\frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\) | 100 | \(y = 100/x^2\) |
Bei der fallenden Geraden lohnt die Probe: Für \(x = 10\) ergibt \(100/10^2\) genau 1, passend zum abgelesenen Punkt. Liegt \(x = 1\) nicht im Bild, rechnet man den Vorfaktor aus einem beliebigen Punkt der Geraden: \(a = y/x^n\). Eine Gerade der Steigung 2 durch (10, 500) liefert so \(a = 500/100 = 5\), also \(y = 5\,x^2\).
Quiz
Aussage 1
Eine doppelt-logarithmische Gerade mit der Steigung 1/2 durch den Punkt (1, 1) beschreibt die Funktion \(y = \sqrt{x}\).
Exponent \(n = 1/2\) aus der Steigung, Vorfaktor \(a = 1\) aus dem Wert bei \(x = 1\), also \(y = x^{1/2}\).
Aussage 2
Beim Abstandsgesetz \(I = C/R^2\) liefert die Auftragung von \(I\) über \(1/R^2\) eine Ursprungsgerade.
Mit \(u = 1/R^2\) gilt \(I = C \cdot u\), eine Ursprungsgerade mit Steigung \(C\). Über \(R\) oder \(R^2\) aufgetragen ergibt sich dagegen eine Kurve.
Aussage 3
Für \(b = C/\sqrt{J}\) hat die Gerade in der Auftragung \(\ln b\) gegen \(\ln J\) die Steigung \(+\frac{1}{2}\).
\(1/\sqrt{J} = J^{-1/2}\), daher \(\ln b = \ln C - \frac{1}{2}\ln J\) und die Steigung ist \(-\frac{1}{2}\).
Aussage 4
Die Potenzfunktion \(y = 3x^2\) wird bereits im halblogarithmischen Diagramm (\(\lg y\) gegen \(x\)) zu einer Geraden.
Halblogarithmisch werden Exponentialfunktionen gerade. Eine Potenzfunktion braucht zwei logarithmische Achsen, sie bleibt halblogarithmisch gekrümmt.
Aussage 5
Den Vorfaktor \(a\) einer doppelt-logarithmischen Geraden liest man immer dort ab, wo sie die gezeichnete y-Achse schneidet.
Der Vorfaktor ist der y-Wert bei \(x = 1\), weil dort \(\lg x = 0\) ist. Die gezeichnete Achse beginnt oft woanders, etwa bei \(x = 0{,}1\).
Aussage 6
Die Funktion \(y = 1/x\) erscheint im doppelt-logarithmischen Diagramm als fallende Gerade der Steigung −1, die durch den Punkt (1, 1) läuft.
\(y = x^{-1}\) ergibt \(\lg y = -\lg x\); bei \(x = 1\) ist \(y = 1\).
Aussage 7
Trägt man für \(y = a \cdot x^n\) den Wert \(\lg y\) gegen \(\lg x\) auf, entsteht eine Gerade, deren Steigung gleich \(n\) ist.
Logarithmieren ergibt \(\lg y = n \lg x + \lg a\), eine Geradengleichung mit Steigung \(n\).
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