Brechungsgesetz, planparallele Platte und Totalreflexion
Wie stark Licht an einer Grenzfläche abknickt, was eine planparallele Platte mit einem Strahl macht und warum Licht ab einem Grenzwinkel vollständig reflektiert wird und so durch Glasfasern läuft.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Brechungsgesetz \(n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta\) verknüpft Einfalls- und Brechungswinkel mit den Brechzahlen, beide Winkel werden gegen das Lot gemessen.
- Der Strahlengang ist umkehrbar: Beim Austritt aus Glas in Luft gilt \(\sin\delta/\sin\gamma = n_{Glas}/n_{Luft}\), der Strahl knickt vom Lot weg.
- Eine planparallele Platte gibt den Strahl parallel zum einfallenden, aber seitlich versetzt wieder ab (\(\alpha = \delta\), \(\beta = \gamma\)).
- Totalreflexion gibt es nur beim Übergang ins optisch dünnere Medium und oberhalb des Grenzwinkels mit \(\sin\alpha_G = n_2/n_1\), gegen Luft \(\sin\alpha_G = 1/n\).
- Lichtleiter führen Licht durch fortlaufende Totalreflexion, das Außenmedium braucht dafür eine kleinere Brechzahl.
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Worum es geht
Das Brechungsgesetz verknüpft die Winkel eines Lichtstrahls mit den Brechzahlen der beteiligten Medien. Aus ihm folgen der Parallelversatz an einer Glasplatte und die Totalreflexion. Diese ist die Grundlage von Lichtleitern, wie sie in Endoskopen stecken.
Snellius’sches Brechungsgesetz
Trifft Licht schräg auf die Grenzfläche zweier Medien, ändert es seine Richtung. Die Richtung des Knicks kennst du aus Reflexion und Brechung an Grenzflächen: Im optisch dichteren Medium läuft der Strahl näher am Lot. Das Brechungsgesetz nach Snellius sagt, wie stark er abknickt.
\[n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta \quad\Leftrightarrow\quad \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(n_1\) | Brechzahl des Mediums, aus dem das Licht kommt | 1 |
| \(n_2\) | Brechzahl des Mediums, in das das Licht eintritt | 1 |
| \(\alpha\) | Einfallswinkel, gegen das Lot gemessen | ° |
| \(\beta\) | Brechungswinkel, gegen das Lot gemessen | ° |
Die Brechzahl gibt an, wie stark das Licht im Medium gebremst wird. Je größer das Verhältnis \(n_2/n_1\), desto stärker knickt der Strahl ab. Fällt er senkrecht ein (\(\alpha = 0°\)), geht er ungebrochen durch. Für den Übergang von Luft (\(n \approx 1\)) in Wasser gilt \(\sin\alpha/\sin\beta = 1{,}33\).
Das Gesetz gilt für jede Brechung bei jedem Winkel. Vollständig polarisiertes Licht entsteht dagegen nur unter einem besonderen Winkel, dem Brewster-Winkel. Das Brechungsgesetz allein ist keine Bedingung dafür.
In der Abbildung gehören drei Winkel zum selben Lot. Der reflektierte Strahl erfüllt das Reflexionsgesetz \(\alpha' = \alpha\). Der gebrochene Strahl im Glas hat den kleineren Winkel \(\beta\).
- Gegeben: Licht fällt aus Luft unter \(\alpha = 45°\) auf Glas mit \(n_2 = 1{,}5\).
- Umstellen: \(\sin\beta = \frac{n_1}{n_2}\sin\alpha = \frac{1}{1{,}5}\cdot 0{,}707 = 0{,}471\).
- Ergebnis: \(\beta \approx 28{,}1°\), der Strahl liegt im Glas näher am Lot.
Der Strahlengang ist umkehrbar. Beim Austritt aus Glas in Luft gilt dasselbe Gesetz in Gegenrichtung: \(\sin\delta/\sin\gamma = n_{Glas}/n_{Luft}\). Dabei ist \(\gamma\) der Winkel im Glas und \(\delta\) der Winkel in Luft. Der Strahl knickt also vom Lot weg.
Das erklärt eine Lampe unter Wasser. Ihr Licht bricht an der Oberfläche vom Lot weg. Das Auge sieht die Lampe in der Richtung, aus der der Strahl zuletzt in Luft einfällt. Sie erscheint deshalb flacher und höher, als sie liegt. Bei einer Plankonvexlinse gilt an der planen Austrittsfläche dasselbe: Das Lot steht senkrecht auf der Fläche, und ein schräg auftreffender Strahl verläuft in Luft weiter vom Lot entfernt.
Winkel immer gegen das Lot messen, nie gegen die Grenzfläche. Den größeren Winkel hat stets der Strahl im Medium mit der kleineren Brechzahl, so erkennt man ein vertauschtes Verhältnis sofort.
Das Brechungsgesetz an Skizzen anzuwenden wird im Examen gerne gefragt. Ordne jeden Winkel dem Lot zu und prüfe, ob der Strahl im Medium mit größerer Brechzahl näher am Lot liegt, beim Eintritt wie beim Austritt.
Planparallele Platte
Eine planparallele Platte hat zwei parallele Flächen, etwa eine Fensterscheibe oder ein Objektträger. Der Strahl wird zweimal gebrochen. Beim Eintritt gilt \(n_{Luft}\sin\alpha = n_{Glas}\sin\beta\), beim Austritt \(n_{Glas}\sin\gamma = n_{Luft}\sin\delta\).
Weil beide Lote parallel sind, sind die Winkel im Glas gleich: \(\beta = \gamma\). Daraus folgt \(\alpha = \delta\). Der austretende Strahl läuft also parallel zum einfallenden, nur seitlich versetzt. Der Versatz wächst mit der Dicke der Platte und dem Einfallswinkel.
Für die Wahl des richtigen Strahlengangs aus mehreren Skizzen reichen drei Prüfungen:
- Der austretende Strahl ist parallel zum einfallenden.
- Im Medium mit der größeren Brechzahl liegt der Strahl näher am Lot.
- Bei schrägem Einfall gibt es einen Versatz, nur bei senkrechtem Einfall geht der Strahl gerade durch.
Liegt die Platte in einem Medium höherer Brechzahl, etwa eine Luftschicht zwischen zwei Glasblöcken, kehrt sich der Knick um. Im Inneren läuft der Strahl nun vom Lot weg. Er tritt trotzdem parallel aus, aber zur anderen Seite versetzt.
Totalreflexion
Geht Licht ins optisch dünnere Medium über, bricht es vom Lot weg. Mit wachsendem Einfallswinkel erreicht der Brechungswinkel irgendwann 90°. Der gebrochene Strahl läuft dann streifend an der Grenzfläche entlang. Diesen Einfallswinkel nennt man Grenzwinkel \(\alpha_G\).
Wird der Grenzwinkel überschritten, kann kein Strahl mehr in das dünnere Medium übertreten. Das Licht wird vollständig zurückgeworfen. Das ist die Totalreflexion. Sie braucht zwei Bedingungen:
- Das Licht kommt aus dem optisch dichteren Medium (\(n_1 > n_2\)).
- Der Einfallswinkel ist größer als der Grenzwinkel, also \(\sin\alpha > n_2/n_1\).
Beim Übergang von Luft in Glas gibt es daher nie Totalreflexion. Sie hängt außerdem vom Winkel ab. Unterhalb des Grenzwinkels wird das Licht gebrochen, nur ein schwacher Anteil wird reflektiert.
Den Grenzwinkel liefert das Brechungsgesetz mit \(\beta = 90°\):
\[n_1 \sin\alpha_G = n_2 \sin 90° \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha_G = \frac{n_2}{n_1}\]
Beim Übergang in Luft wird daraus \(\sin\alpha_G = 1/n\). Auch \(\alpha_G\) misst man zwischen einfallendem Strahl und Lot. Je größer das Brechzahlverhältnis, desto kleiner der Grenzwinkel.
- Grenzwinkel aus der Brechzahl: Glas mit \(n = 1{,}5\) gegen Luft ergibt \(\sin\alpha_G = 1/1{,}5 = 0{,}667\), also \(\alpha_G \approx 41{,}8°\).
- Zum Vergleich Wasser: \(\sin\alpha_G = 1/1{,}33 = 0{,}752\), also \(\alpha_G \approx 48{,}8°\).
- Brechzahlverhältnis aus dem Grenzwinkel: Bei \(\alpha_G = 30°\) gilt \(n_1/n_2 = 1/\sin 30° = 2\).
Zeigt eine Skizze einen vollständig zurückgeworfenen Strahl, muss er im Medium mit der größeren Brechzahl laufen. Anders als beim Grenzwinkel wird beim Brewster-Winkel weiter Licht gebrochen, dort tritt keine Totalreflexion auf. Refraktometer nutzen den Grenzwinkel, um Brechzahlen zu bestimmen.
Lichtleiter
Ein Lichtleiter ist ein dünner Faden aus durchsichtigem Material, meist Glas oder Kunststoff. Licht, das flach in den Faden eintritt, trifft unter großem Winkel zum Lot auf die Wand. Liegt dieser Winkel über dem Grenzwinkel, wird es total reflektiert. Es trifft auf die gegenüberliegende Wand und wird erneut reflektiert. So läuft es im Zickzack durch die Faser, auch durch Biegungen.
Dafür muss das Außenmedium eine kleinere Brechzahl haben als der Faden. Flüssig muss es nicht sein, schon Luft genügt. Technische Fasern tragen einen Glasmantel mit etwas kleinerer Brechzahl. Er schützt die reflektierende Grenzfläche vor Kratzern und Schmutz.
Totalreflexion wirft das Licht ohne Verlust zurück. Selbst eine 10 m lange Glasfaser schwächt das Licht deshalb nur sehr wenig ab. Lichtleiter reichen über viele Kilometer. Die Totalreflexion funktioniert für alle Wellenlängen und jede Polarisation. Glasfasern übertragen daher auch weißes, unpolarisiertes Licht.
In der Medizin leitet ein Endoskop Licht über Fasern in den Körper. Ein geordnetes Faserbündel bringt das Bild zurück. In der Datenübertragung transportieren Glasfasernetze Information als Lichtpulse.
Quiz
Aussage 1
Für Glas mit \(n = 1{,}5\) liegt der Grenzwinkel der Totalreflexion gegen Luft bei etwa 41,8°.
Es gilt \(\sin\alpha_G = 1/n = 0{,}667\), daraus folgt \(\alpha_G \approx 41{,}8°\).
Aussage 2
Fällt Licht aus Luft sehr flach auf eine Glasoberfläche, wird es total reflektiert.
Totalreflexion gibt es nur beim Übergang vom optisch dichteren ins dünnere Medium, also etwa von Glas in Luft.
Aussage 3
Im Brechungsgesetz werden Einfalls- und Brechungswinkel gegen die Grenzfläche gemessen.
Beide Winkel werden gegen das Lot gemessen, das senkrecht auf der Grenzfläche steht.
Aussage 4
Glasfasern leiten nur monochromatisches Licht durch Totalreflexion weiter.
Totalreflexion wirkt für alle Wellenlängen und jede Polarisation. Glasfasern übertragen auch weißes, unpolarisiertes Licht.
Aussage 5
Beim Übergang von Luft in Wasser beträgt das Verhältnis \(\sin\alpha/\sin\beta\) etwa 1,33.
Nach dem Brechungsgesetz gilt \(\sin\alpha/\sin\beta = n_2/n_1 = 1{,}33/1\).
Aussage 6
Ein Strahl, der schräg durch eine planparallele Glasplatte in Luft läuft, verlässt sie parallel zum einfallenden Strahl und seitlich versetzt.
Weil die Winkel im Glas gleich sind (\(\beta = \gamma\)), sind auch die Winkel in Luft gleich (\(\alpha = \delta\)). Der Strahl ist nur verschoben.
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