Druck und Schweredruck in Flüssigkeiten
Wie man Druck als Kraft pro Fläche berechnet, warum der Druck in einer Flüssigkeit mit der Tiefe nach \(p = \rho g h\) wächst und welche Kräfte daraus auf Boden und Wände wirken.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) ist der Druck, den eine ruhende Flüssigkeit durch ihr eigenes Gewicht ausübt: \(p = \rho g h\).
- Druck ist Kraft pro Fläche, \(p = F/A\), mit der Einheit Pascal: 1 Pa = 1 \(\mathrm{N/m^2}\), 1 bar = \(10^5\) Pa.
- Der Schweredruck steigt linear mit der Tiefe und hängt nur von Dichte und Füllhöhe ab, nicht von Gefäßform oder Viskosität.
- Faustregel: 10 m Wassersäule ≈ 1 bar = 100 kPa.
- In verbundenen Gefäßen herrscht in ruhender Flüssigkeit auf gleicher Höhe gleicher Druck, die Spiegel stehen gleich hoch.
- Die Druckkraft wirkt senkrecht auf jede Wand, die Bodenkraft ist \(F = \rho g h A\).
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Worum es geht
Der Druck in einer Flüssigkeit steigt mit der Tiefe, und zwar nur mit der Tiefe. Diese einfache Beziehung erklärt, warum eine Infusionsflasche höher hängen muss als die Vene. Sie ist die Grundlage für Manometer, Auftrieb und alle weiteren Seiten zu ruhenden Fluiden.
Fluide und Druck
Flüssigkeiten und Gase fassen wir unter einem Oberbegriff zusammen, weil sie sich in Ruhe gleich verhalten.
Ein Fluid ist ein Stoff, dessen Teilchen sich frei gegeneinander verschieben lassen. Dazu zählen Flüssigkeiten und Gase. Ein ruhendes Fluid nimmt jede Gefäßform an und kann keine Scherkräfte aufnehmen.
Weil die Teilchen ausweichen, drückt ein ruhendes Fluid in alle Richtungen gleich stark. Der Druck an einem Punkt hat deshalb keine Richtung. Er ist eine skalare Größe, also nur ein Zahlenwert mit Einheit. Eine Richtung bekommt erst die Kraft, die der Druck auf eine bestimmte Fläche ausübt.
Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal (Pa). Ein Pascal ist ein sehr kleiner Druck, etwa so viel, wie ein flach liegendes Blatt Papier ausübt. In der Praxis rechnet man daher oft in kPa oder bar.
| Einheit | Umrechnung |
|---|---|
| 1 Pa | 1 \(\mathrm{N/m^2}\) = 1 \(\mathrm{kg/(m \cdot s^2)}\) |
| 1 hPa | 100 Pa = 1 mbar |
| 1 kPa | 1000 Pa |
| 1 bar | \(10^5\) Pa = 100 kPa = 1000 hPa |
Der Druck von Gasen und seine Abhängigkeit von Volumen und Temperatur gehört zu den Gasgesetzen. Hier geht es um ruhende Flüssigkeiten.
Druck als Kraft pro Fläche
Druck beschreibt, wie sich eine Kraft auf eine Fläche verteilt. Wirkt die Kraft \(F\) senkrecht auf die Fläche \(A\), gilt:
\[p = \frac{F}{A}\]
Die gleiche Kraft erzeugt auf kleiner Fläche großen Druck. Deshalb sinkt man mit Schneeschuhen kaum ein, mit Pfennigabsätzen aber tief. Halbe Fläche bedeutet doppelten Druck, doppelte Kraft ebenfalls doppelten Druck.
Steht ein Körper auf einer Unterlage, ist die Kraft seine Gewichtskraft \(F = m \cdot g\). Der Druck auf die Unterlage ist dann \(p = \frac{m \cdot g}{A}\).
Rechenbeispiel: Druck unter den Schuhsohlen
Eine Person mit 70 kg steht auf beiden Füßen. Jede Sohle liegt mit 150 cm² auf.
- Fläche zusammenfassen: \(A = 2 \cdot 150\,\mathrm{cm^2} = 300\,\mathrm{cm^2}\).
- In m² umrechnen: \(300\,\mathrm{cm^2} = 300 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} = 0{,}03\,\mathrm{m^2}\).
- Kraft berechnen: \(F = 70\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \approx 687\,\mathrm{N}\).
- Druck berechnen: \(p = 687\,\mathrm{N} / 0{,}03\,\mathrm{m^2} \approx 22\,900\,\mathrm{Pa} \approx 23\,\mathrm{kPa}\).
Ein Zentimeter sind \(10^{-2}\) m, ein Quadratzentimeter aber \(10^{-4}\,\mathrm{m^2}\). Wer nur mit \(10^{-2}\) umrechnet, erhält einen Druck, der um den Faktor 100 zu klein ist.
Weitere Umrechnungen findest du bei den Flächen- und Volumeneinheiten.
Schweredruck
Eine Flüssigkeit drückt durch ihr eigenes Gewicht. Diesen Anteil nennt man Schweredruck oder hydrostatischen Druck. Man findet ihn mit einer gedachten Säule: Sie hat die Grundfläche \(A\) und reicht bis zur Oberfläche, also über die Höhe \(h\).
Die Säule hat das Volumen \(A \cdot h\) und mit der Dichte \(\rho\) die Masse \(m = \rho A h\). Ihre Gewichtskraft ist \(F = \rho A h g\). Teilt man durch die Grundfläche, kürzt sich \(A\) heraus.
\[p = \rho \cdot g \cdot h\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p\) | Schweredruck in der Tiefe \(h\) | Pa |
| \(\rho\) | Dichte der Flüssigkeit | \(\mathrm{kg/m^3}\) |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, rund 9,81 | \(\mathrm{m/s^2}\) |
| \(h\) | Tiefe unter der Oberfläche bzw. Füllhöhe | m |
Der Schweredruck wächst linear mit der Tiefe: doppelte Tiefe, doppelter Druck. Ebenso verhält er sich proportional zur Dichte. Quecksilber ist rund 13,6-mal dichter als Wasser und drückt bei gleicher Höhe 13,6-mal stärker. An der Oberfläche ist \(h = 0\) und der Schweredruck null. Die Fläche spielt keine Rolle, weil sie sich herauskürzt. Auch die Viskosität taucht nicht auf: Zähigkeit wirkt nur, wenn eine Flüssigkeit strömt. Honig und Wasser gleicher Dichte drücken in Ruhe also gleich.
Die Formel \(p = \rho g h\) ist ein Examensklassiker. Sicher können musst du, dass der Druck nur von Dichte und Tiefe abhängt, linear mit der Tiefe steigt und dass alle Größen in SI-Einheiten eingesetzt werden.
Faustregel für Wasser
Wasser hat eine Dichte von etwa 1000 \(\mathrm{kg/m^3}\). Mit \(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\) ergibt eine Säule von 10 m:
\[p \approx 1000\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \cdot 10\,\mathrm{m} = 10^5\,\mathrm{Pa}\]
10 m Wasser entsprechen also etwa 1 bar bzw. 100 kPa. Je 10 m Tauchtiefe steigt der Wasserdruck um rund 1 bar. Der Luftdruck über der Oberfläche kommt noch hinzu, das behandelt der Gesamtdruck.
Rechenbeispiel: Bodendruck eines Tanks
Ein Wassertank ist 2,5 m hoch gefüllt.
- Größen in SI: \(\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}\), \(g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\), \(h = 2{,}5\,\mathrm{m}\).
- Einsetzen: \(p = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5\,\mathrm{Pa} \approx 24\,500\,\mathrm{Pa}\).
- Plausibilität: 2,5 m sind ein Viertel von 10 m, also etwa 0,25 bar.
Förderhöhe einer Pumpe
Umgekehrt begrenzt der Pumpendruck, wie hoch eine Pumpe Wasser heben kann. Die Säule steigt, bis ihr Schweredruck den Pumpendruck ausgleicht. Aus \(h = \frac{p}{\rho g}\) folgt für eine Pumpe mit 3 bar: \(h = \frac{3 \cdot 10^5\,\mathrm{Pa}}{1000\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 10\,\mathrm{m/s^2}} = 30\,\mathrm{m}\).
Gefäßform und verbundene Gefäße
Die Herleitung zeigt: Im Schweredruck stecken nur Dichte und Füllhöhe. Die Gefäßform kommt nicht vor. Drei Gefäße mit gleich großem Boden und gleicher Füllhöhe haben deshalb denselben Bodendruck, auch wenn sie sehr unterschiedlich viel Wasser enthalten. Dieses hydrostatische Paradoxon wird im Examen gerne gefragt: Entscheidend ist allein die senkrechte Höhe des Spiegels über dem Boden.
Das Paradoxon löst sich über die Wände auf. Im nach oben erweiterten Gefäß tragen die schrägen Wände einen Teil des Wassergewichts. Im verengten Gefäß drückt das Wasser gegen die schräge Decke, und die Wand drückt mit gleicher Kraft zurück nach unten. In beiden Fällen bleibt am Boden genau \(\rho g h\).
Verbundene Gefäße
Verbundene Gefäße sind oben offene Gefäße, die unten miteinander verbunden sind. Beispiele sind die Gießkanne mit ihrer Tülle oder die Schlauchwaage. In einer zusammenhängenden, ruhenden Flüssigkeit herrscht auf gleicher Höhe gleicher Druck. Stünde der Spiegel in einem Schenkel höher, wäre der Druck dort unten größer. Die Flüssigkeit würde so lange fließen, bis die Spiegel gleich hoch stehen.
Das gilt nur, solange die Flüssigkeit ruht und überall dieselbe Dichte hat. Strömt sie, verschieben Reibung und Bewegung die Spiegel. Unterschiedliche Flüssigkeiten nutzt das U-Rohr-Manometer.
Sonderfall rotierendes Gefäß
Dreht sich ein Gefäß, treibt die Zentrifugalkraft die Flüssigkeit nach außen. Der Spiegel wölbt sich zu einem Paraboloid: Er sinkt in der Mitte und steigt am Rand.
Der Bodendruck folgt der örtlichen Höhe der Säule. Er ist in der Mitte am geringsten und am Rand am höchsten und damit nicht mehr über den Boden konstant. Am Rand liegt er über dem Wert im ruhenden Gefäß.
Druckkräfte auf Wände und Boden
Der Schweredruck wirkt allseitig. Eine Flüssigkeit drückt deshalb nicht nur auf den Boden, sondern auch auf senkrechte Seitenwände. Die Druckkraft steht dabei immer senkrecht auf der Wand, ganz gleich, wie die Wand liegt. Maßgeblich ist allein die Tiefe unter der Wasseroberfläche.
In der skizzierten Unterwasserkammer liegt das waagerechte Bodenfenster 6 m tief. Dort herrschen etwa \(1000 \cdot 10 \cdot 6\,\mathrm{Pa} = 60\,\mathrm{kPa}\), also rund 0,6 bar. Die Mitte des seitlichen Fensters liegt 9 m tief. Dort drückt das Wasser mit etwa 90 kPa senkrecht auf die Scheibe. Die Tiefe zählt immer ab der Oberfläche, nicht ab dem Dach der Kammer.
Kraft auf den Boden
Aus dem Druck wird über die Fläche wieder eine Kraft. Für eine waagerechte Bodenfläche gilt:
\[F = p \cdot A = \rho \cdot g \cdot h \cdot A\]
Ein Aquarium habe 0,5 m² Bodenfläche und 40 cm Füllhöhe.
- Höhe in m: \(h = 0{,}40\,\mathrm{m}\).
- Bodendruck: \(p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}40\,\mathrm{Pa} = 4000\,\mathrm{Pa}\).
- Bodenkraft: \(F = 4000\,\mathrm{Pa} \cdot 0{,}5\,\mathrm{m^2} = 2000\,\mathrm{N}\).
Beim geraden Quader entspricht diese Kraft der Gewichtskraft des Wassers. Bei schrägen Wänden ist das nicht so, wie das hydrostatische Paradoxon zeigt. Die Bodenkraft folgt dann trotzdem aus \(\rho g h A\). Für ein seitliches Fenster setzt man näherungsweise den Druck in Höhe seiner Mitte ein. Ein Fenster von 0,25 m² in 9 m Tiefe trägt so rund \(9 \cdot 10^4\,\mathrm{Pa} \cdot 0{,}25\,\mathrm{m^2} \approx 22\,500\,\mathrm{N}\).
Quiz
Aussage 1
In 20 m Wassertiefe beträgt der Schweredruck des Wassers etwa 2 bar.
Je 10 m Wasser steigt der Druck um rund 1 bar, also \(2 \cdot 10^5\) Pa bei 20 m.
Aussage 2
Die Druckkraft einer ruhenden Flüssigkeit auf ein seitliches Fenster wirkt senkrecht auf die Scheibe.
Der Druck wirkt allseitig, die resultierende Kraft steht immer senkrecht auf der Wandfläche.
Aussage 3
Verdoppelt man die Tiefe unter der Wasseroberfläche, verdoppelt sich der Schweredruck.
Nach \(p = \rho g h\) ist der Schweredruck proportional zur Tiefe \(h\).
Aussage 4
Eine zähflüssige Flüssigkeit erzeugt in Ruhe bei gleicher Dichte und Höhe einen größeren Schweredruck als Wasser.
Die Viskosität kommt in \(p = \rho g h\) nicht vor. Bei gleicher Dichte und Höhe ist der Schweredruck gleich.
Aussage 5
Eine Fläche von 200 cm² entspricht 0,2 m².
1 cm² = \(10^{-4}\) m², also sind 200 cm² = 0,02 m².
Aussage 6
Im rotierenden Gefäß ist der Bodendruck am Rand größer als in der Mitte.
Der Spiegel steigt am Rand an, die Säule ist dort höher. Deshalb ist der Bodendruck in der Mitte am kleinsten.
Aussage 7
Ein nach oben erweitertes Gefäß hat bei gleicher Bodenfläche und Füllhöhe einen höheren Bodendruck als ein Zylinder, weil es mehr Wasser enthält.
Der Bodendruck hängt nur von Füllhöhe und Dichte ab. Beide Gefäße haben denselben Bodendruck \(\rho g h\).
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